2016年山东省高考数学二模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年山东省高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A=x|（ x+1）（ x 2） 0， B=x|x 1 0，则 AB=（ ） A 2， 1） B（ 1， +） C（ 1， 2 D（ 2， +） 2已知复数 复平面内对应的点分别为 A（ 1， 1）、 B（ 3， 1），则 =（ ） A 1+2i B 2+i C 1+3i D 3+i 3已知命题 p： x （ 0， ）， x 下列说法正确的是（ ） A命题 p 为假命题； p： x （ 0， ）， x 命题 p 为假命题； p： x （ 0， ）， x 命题 p 为真命题； p： x （ 0， ）， x 命题 p 为真命题； p： x （ 0， ）， x 已知向量 ， ， ，若 ，则 x=（ ） A 2 或 4 B 2 或 4 C D 5已知指数函数 y=f（ x）的图象过点 P（ 3， 27），则在（ 0， 10内任取一个实数 x，使得 f（ x） 81 的概率为（ ） A B C D 6如图为某几何体的三视图，则其体积为（ ） A B C D 7函数 的图象大致为（ ） 第 2 页（共 19 页） A B CD 8已知 x， y 满足 ， z=2x+y 的最大值为 m，若正数 a， b 满足 4a+b=m，则的最小值为（ ） A 3 B C 2 D 9已知直线 l： 与圆 O： x2+ 交于 A、 B 两点，若 直角三角形，则点 M（ m， n）到点 P（ 2， 0）、 Q（ 2， 0）的距离之和（ ） A最大值为 6 B最小值为 3 C是一个常数 4 D是一个常数 4 10已知函数 ，若 m n，且 f（ m） =f（ n），则 n m 的取值范围是（ ） A 3 22） B 3 22 C e 1， 2 D e 1， 2） 二、填空题（每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸上） 11函数 f（ x） =x3+016（ x R），若 f（ a） =2015，则 f（ a） =_ 12已知离心率等于 2 的双曲线的 一个焦点与抛物线 的焦点重合，则该双曲线的方程为 _ 13 2016 年 2 月，某品牌汽车对某地区的八家 4S 店该月的销售量进行了统计，统计数据如茎叶图所示，由于工作人员失误不慎丢掉两个数据，已知这些数据的平均数与方差分别为293 与 残缺的两个数字中较小的数字为 _ 14如图，若 n=4 时，则输出的结果为 _ 第 3 页（共 19 页） 15对 a， b R，定义运算： a b=a（ a b）， ab=b（ a+b）则下列判断正确的是 _ 2016 2017=2017； （ x+1） 1=1x； f（ x） =x（ x 1）的零点为 1， ； a b=b a 的必要不充分条件是 a=b； ab=ba 的充要条件是 a b=b a 三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16已知 ，边 a， b， c 的对角分别为 A， B， C，且 ， ， （ ）求 B， C 及 面积； （ ）已知函数 f（ x） =函数 y=f（ x）的图象向左平移 个单位得函数 y=g（ x）的图象，求函数 y=g（ x）（ x 0， 2）上的单调递增区间 17 2016 年 1 月，微信宣布：微信朋友圈除夕前后 10 天的所有 广告收入，均将变为免费红包派送至全国网民的口袋，金额至少达到 9 位数，由此引发微友们在圈中抢红包大战某商业调查公司对此进行了问卷调查，其中男性 500 人，女性 400 人，为了了解性别对 “抢红包 ”的喜爱程度的影响，采用分层抽样方法从中抽取了 45 人的测评结果，并作出频数统计表如下： 表 1：男性 等级 喜欢 一般 不喜欢 频数 15 x 5 表 2：女性 等级 喜欢 一般 不喜欢 频数 15 3 y （ ）由表中统计数据填写下边 2 2 列联表，并判断是否有 90%的把握认为 “喜欢抢红包与性别有关 ” 男性 女性 总计 喜欢 非喜欢 总计 （ ）从表一 “一般 ”与表二 “不喜欢 ”的人中随机选取 2 人进行交谈，求所选 2 人中至少有一人 “不喜欢 ”的概率 参考数据与公式： ，其中 n=a+b+c+d 第 4 页（共 19 页） 临界值表： P（ 8如图，在四棱锥 P ，平面 底面 中 B，四边形 N 为 中点， M 是 中线 中点 （ ）证明： 平面 （ ）证明：平面 平面 19已知数列 前 n 项和 足 2 ，且 （ ）求数列 通项公式 （ ）求数列 前 n 项和 20已知函数 （ a R） （ ）若函数 f（ x）为单调递减函数，求实数 a 的取值范围； （ ）当 （ 0， +）时，不等式 恒成立，求a 的取值范围 21已知椭圆 （ a b 0）的离心率为 ，且过点 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）已知直线 l： y=kx+m（ k 0， m 0）与椭圆 C 相交于 M、 N 两点， （ ）若 ， m （ 1， 1）， Q（ 2m， 0），证明： |+| 为定值； （ ）若以线段 直径的圆经过点 O，求实数 m 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2016 年山东省高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A=x|（ x+1）（ x 2） 0， B=x|x 1 0，则 AB=（ ） A 2， 1） B（ 1， +） C（ 1， 2 D（ 2， +） 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A、 B，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解：由 A 中不等式解 得： 1 x 2，即 A= 1， 2， 由 B 中不等式解得： x 1，即 B=（ 1， +）， 则 AB=（ 1， 2， 故选： C 2已知复数 复平面内对应的点分别为 A（ 1， 1）、 B（ 3， 1），则 =（ ） A 1+2i B 2+i C 1+3i D 3+i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 = ，则答案可求 【解答】 解：复数 复平面上对应的点分别为 A（ 1， 1）、 B（ 3， 1）， 则 = = 故选： A 3已知命题 p： x （ 0， ）， x 下列说法正确的是（ ） A命题 p 为假命题； p： x （ 0， ）， x 命题 p 为假命题； p： x （ 0， ）， x 命题 p 为真命题； p： x （ 0， ）， x 命题 p 为真命题； p： x （ 0， ）， x 考点】 命题的否定 【分析】 判断命题的真假，利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可 【解答】 解： x （ 0， ）， x 真命题， 因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题 p： x （ 0， ）， x 题 p 为真命题； p： x （ 0， ）， x 选： C 4已知向量 ， ， ，若 ，则 x=（ ） 第 6 页（共 19 页） A 2 或 4 B 2 或 4 C D 【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示 【分析】 根据平面向量的坐标运算与共线定理，列出方程求方程的解即可 【解答】 解：向量 ， ， ， =（ 2， 2 x）， 又 ， 2 4 x（ 2 x） =0， 整理得 2x 8=0， 解得 x= 2 或 x=4 故选： B 5已知指数函数 y=f（ x）的图象过点 P（ 3， 27），则在（ 0， 10内任取一个实数 x，使得 f（ x） 81 的概率为（ ） A B C D 【考点】 指数函数的图象与性质 【分析】 设函数 f（ x） =a 0 且 a 1，把点（ 3， 27），求得 a 的值，可得函数的解析式，进而结合几何概型可得到答案 【解答】 解：设函数 f（ x） =a 0 且 a 1， 把点（ 3， 27），代入可得 7， 解得 a=3， f（ x） =3x 又 x （ 0， 10， 若 f（ x） 81，则 x （ 4， 10， f（ x） 81 的概率 P= = ， 故选： D 6如图为某几何体的三视图，则其体积为（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 第 7 页（共 19 页） 【分析】 由三视图可知：该几何体由左右两部分组成，左面是一个圆柱的一半，右面是多面体（可以看做是由一个三棱柱去掉一个三棱锥后剩下的几何体） 【解答】 解：由三视图可知：该几何体由左右两部分组成，左面是一个圆柱的一半， 右面是多面体（可以看做是由一个三棱柱去掉一个三棱锥后剩下的几何体） 该几何体的体积 = + = 故选： D 7函数 的图象大致为（ ） A B CD 【考点】 函数的图象 【 分析】 根据函数的定义域，奇偶性，以及函数值的变化趋势，即可判断 【解答】 解： 0， x 1 或 x 1， 函数 f（ x）的定义域为（ ， 1） （ 1， +）， g（ x） = g（ x） = g（ x）， g（ x）为奇函数， y=偶函数， f（ x） =f（ x）， f（ x）为偶函数， 当 x+时， g（ x） 0， f（ x） 1， 第 8 页（共 19 页） 故选： C 8已知 x， y 满足 ， z=2x+y 的最大值为 m，若正数 a， b 满足 4a+b=m，则的最小值为（ ） A 3 B C 2 D 【 考点】 简单线性规划；基本不等式 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得 m，再利用基本不等式求得最值 【解答】 解：由约束条件 ，作出可行域如图， A（ 3， 0）， 化目标函数 z=2x+y 为 y= 2x+z， 由图可知，当直线 y= 2x+z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最大值为 2 3=6 即 4a+b=6， ， 则 =（ ）（ ） = = 当且仅当 ，即 b=2a，也就是 a=1， b=2 时取等号 故选： B 9已知直线 l： 与圆 O： x2+ 交于 A、 B 两点，若 直角三角形，则点 M（ m， n）到点 P（ 2， 0）、 Q（ 2， 0）的距离之和（ ） A最大值为 6 B最小值为 3 C是一个常数 4 D是一个常数 4 【考点】 直线与圆的位置关系 【分 析】 根据题意求出弦长 |点到直线的距离公式表示出圆心到直线 ax+ 的距离，根据弦长公式列出方程并化简，即可求出点 M 的轨迹方程和轨迹，根据椭圆的性质和定义可得答案 【解答】 解： 直角三角形，且 |1， 0， | ， 第 9 页（共 19 页） 圆心（ 0， 0）到直线 l： 的距离： d= ， ，化简得 ，即 ， 则点 M（ m， n）的轨迹是焦点为点 P（ 2， 0）、 Q（ 2， 0）的椭圆， 由椭圆的定义知， 点 M（ m， n）到点 P（ 2， 0）、 Q（ 2， 0）的距离之和是 2a=4 ， 故选： D 10已知函数 ，若 m n，且 f（ m） =f（ n），则 n m 的取值范围是（ ） A 3 22） B 3 22 C e 1， 2 D e 1， 2） 【考点】 分段函数的应用 【分析】 作出函数 f（ x）的图象如图：利用消元法转化为关于 n 的函数，构造函数求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值即可得到结论 【解答】 解：作出函数 f（ x）的图象如图： 若 m n，且 f（ m） =f（ n）， 则当 x+1） =1 时，得 x+1=e，即 x=e 1， 则满足 0 n e 1， 2 m 0， 则 n+1） = m+1，即 m=2n+1） 2， 则 n m=n+2 2n+1）， 设 h（ n） =n+2 2n+1）， 0 n e 1 则 h（ n） =1 = = ， 当 h（ x） 0 得 1 n e 1， 当 h（ x） 0 得 0 n 1， 即当 n=1 时，函数 h（ n）取得最小值 h（ 1） =1+2 2 2 当 n=0 时， h（ 0） =2 2， 当 n=e 1 时， h（ e 1） =e 1+2 2e 1+1） =1+e 2=e 1 2， 则 3 2h（ n） 2， 即 n m 的取值范围是 3 22）， 故选： A 第 10 页（共 19 页） 二、填空题（每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸上） 11函数 f（ x） =x3+016（ x R），若 f（ a） =2015，则 f（ a） =2017 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 可由 f（ a） =2015 求得 a3+ 1，而 f（ a） =（ a3+2016，这样便可得出 f（ a）的值 【解答】 解： f（ a） =a3+016=2015； a3+ 1； f（ a） =（ a） 3+ a） +2016=（ a3+2016=1+2016=2017 故答案为： 2017 12已知离心率等于 2 的双曲线的一个焦点与抛物线 的焦点重合，则该双曲线的方程为 =1 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 求出抛物线的焦点坐标即双曲线的焦 点坐标，利用待定系数法求出双曲线方程 【解答】 解：抛物线的标准方程为 x， 抛物线的焦点坐标为（ 2， 0） 即（ 2， 0）为双曲线的一个焦点， 设双曲线的方程为 ， 则 ，解得 ， 双曲线方程为 =1 故答案为： =1 第 11 页（共 19 页） 13 2016 年 2 月，某品牌汽车对某地区的八家 4S 店该月的销售量进行了统计，统计数据如茎叶图所示，由于工作人员失误不慎丢掉两个数据，已知这些数据的平均数与方差分别为293 与 残缺的两个数字中较小的数字为 1 【考点】 茎叶图 【分析】 设残缺的两个数字中较小的数字为 x，另一个为 y，根据平均数与方差的概念列出方程组，结合茎叶图的特征，即可求出 x、 y 的值 【解答】 解：设残缺的两个数字中较小的数字为 x，另一个为 y，则 =293， 2+2+2+2+2 +2+2+2= 化简 得， x+y=3； 化简 得，（ x 3） 2+（ y 3） 2=5； 又 x、 y N，且 x y； x=1， y=2； 即残缺的两个数字中较小的数字为 1 故答案为： 1 14如图，若 n=4 时，则输出的结果为 【考点】 程序框图 【分析】 模拟程 序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S= + + + 的值，用裂项法即可计算得解 【解答】 解：模拟执行程序，可得 n=4， k=1， S=0 第 12 页（共 19 页） S= ，满足条件 k 4， k=2 S= + ，满足条件 k 4， k=3 S= + + ，满足条件 k 4， k=4 S= + + + ，不满足条件 k 4，退出循环，输出 S 的值 由于 S= + + + = （ 1 ） +（ ） +（ ） +（ ） = 故答案为： 15对 a， b R，定义运算： a b=a（ a b）， ab=b（ a+b）则下列判断正确的是 2016 2017=2017； （ x+1） 1=1x； f（ x） =x（ x 1）的零点为 1， ； a b=b a 的必要不充分条件是 a=b； ab=ba 的充要条件是 a b=b a 【考点】 进行简单的合情推理 【分析】 根据对 a， b R，定义运算： a b=a（ a b）， ab=b（ a+b），分别判断 5 个命题，即可得出结论 【解答】 解： 2016 2017=2016 = 2016，不正确； （ x+1） 1=（ x+1） x， 1x=1（ 1 x） =1 x，所以不正确； f（ x） =x（ x 1） =x 1）的零点为 0， 1，所以不正确； a=b，则 a b=b a； a b=a（ a b）， b a=b（ b a），若 a b=b a，则 a（ a b） =b（ b a）， a=b 或 a= b，所以 a b=b a 的必要不充分条件是 a=b，正确； ab=ba，则 b（ a+b） =a（ a+b）， a=b 或 a= b，由 知道 a b=b a，所以 ab=ba b=b a，正确 故答案为： 三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16已知 ，边 a， b， c 的对角分别为 A， B， C，且 ， ， （ ）求 B， C 及 面积； （ ）已知函数 f（ x） =函数 y=f（ x）的图象向左平移 个单位得函数 y=g（ x）的图象 ，求函数 y=g（ x）（ x 0， 2）上的单调递增区间 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；函数 y=x+）的图象变换；正弦定理；余弦定理 【分析】 （ ）由正弦定理和大边对大角可得 C，进而可得 B，由三角形的面积公式可得； （ ）由和差角的三角函数公式和函数图象变换可得 g（ x） =x+ ），解 2x+ 2可得函数 y=g（ x）的单调递增区间和 0， 2取交集可得 第 13 页（共 19 页） 【解答】 解：（ ） ， ， ， 由正弦定理可得 = = ， 由大边对大角可得 C A，故 C= ， B= A C= ， 面积 S= = ； （ ）由（ ）知 f（ x） = x+B） = x+ ）， 把函数 y=f（ x）的图象向左平移 个单位得函数 y=g（ x）的图象， g（ x） = x+ + ） =x+ ）， 令 2 x+ 2，解得 2k x 2k+ ， k Z， 函数 y=g（ x）的单调递增区间为 2k ， 2k+ ， k Z 和 x 0， 2取交集可得函数的递增区间为 0， 和 ， 2 17 2016 年 1 月，微信宣布：微信朋友圈除夕前后 10 天的所有广告收入，均将变为免费红包派送至全国网民的口袋，金额至少达到 9 位数，由此引发微友们在圈中抢红包大战某商业调查公司对此进行了问卷调查，其中男性 500 人，女性 400 人，为了了解性别对 “抢红包 ”的喜爱程度的影响，采用分层抽样方法从中抽取了 45 人的测评结果，并作出频数统计表如下： 表 1：男性 等级 喜欢 一般 不喜欢 频数 15 x 5 表 2：女性 等级 喜欢 一般 不喜欢 频数 15 3 y （ ）由表中统计数据填写下边 2 2 列联表，并判断是否有 90%的把握认为 “喜欢抢红包与性别有关 ” 男性 女性 总计 喜欢 非喜欢 总计 （ ）从表一 “一般 ”与表二 “不喜欢 ”的人中随机选取 2 人进行交谈，求所选 2 人中至少有一人 “不喜欢 ”的概率 参考数据与公式： ，其中 n=a+b+c+d 第 14 页（共 19 页） 临界值表： P（ 考点】 独立性检验的应用 【 分析】 （ ）先由分层抽样求出 x=5， y=2，得到 2 2 列联表，求出 而得到没有 90%的把握认为 “喜欢抢红包与性别有关 ” （ ）先求出基本事件总数，再求出所选 2 人中至少有一人 “不喜欢 ”的基本事件个数，由此能求出所选 2 人中至少有一人 “不喜欢 ”的概率 【解答】 解：（ ） 男性 500 人，女性 400 人，为了了解性别对 “抢红包 ”的喜爱程度的影响，采用分层抽样方法从中抽取了 45 人的测评结果， 抽取男性人数为： 500 =25，抽取的 女性人数为： 400 =20， x=25 15 5=5， y=20 15 3=2， 由表中统计数据得到 2 2 列联表： 男性 女性 总计 喜欢 15 15 30 非喜欢 10 5 15 总计 25 20 45 1 P（ = = 没有 90%的把握认为 “喜欢抢红包与性别有关 ” （ ）表一 “一般 ”有 5 人，表二 “不喜欢 ”的 有 2 人 随机选取 2 人进行交谈，有 =21 种 所选 2 人中至少有一人 “不喜欢 ”的，有 =10 种， 所选 2 人中至少有一人 “不喜欢 ”的概率为 18如图，在四棱锥 P ，平面 底面 中 B，四边形 N 为 中点， M 是 中线 中点 （ ）证明： 平面 （ ）证明：平面 平面 【考点】 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 第 15 页（共 19 页） 【分析】 （ ）连 N，连结 点 E，连结 N 而平面 平面 此能证明 平面 （ ）取 点 O，连结 导出 平面 而 平面 此能证明平面 平面 【解答】 证明：（ ）连 N，连结 点 E，连结 四边形 菱形， N 为 中点， M 是 中线 中点， N 是 点， B=B， N=E， 面 面 平面 平面 平面 平面 （ ）取 点 O，连结 在四棱锥 P ，平面 底面 B，四边形 菱形， N 为 中点， M 是 中线 中点， 平面 平面 平面 平面 平面 19已知数列 前 n 项和 足 2 ，且 （ ）求数列 通项公式 （ ）求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ I）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出； （ 用等比数列的前 n 项和公式、 “错位相减法 ”即可得出 【解答】 解：（ I） 2 ，且 当 n 2 时， 21=0，可得 2 2an= = 数列 等比数列，公比为 ， （ 数列 前 n 项和 +2 +3 + ， + +（ n 1） +n ， 第 16 页（共 19 页） 由 得 =1+ + n = n =（ 2 n） 2， 2n 4） +4 20已知函数 （ a R） （ ）若函数 f（ x）为单调递减函数，求实数 a 的取值范围； （ ）当 （ 0， +）时，不等式 恒成立，求a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出函数的导数，问题转化为 a 在（ 0， +）恒成立，令 g（ x） = ，（ x 0），根据函数的单 调性求出 a 的范围即可； （ ）问题转化为 h（ x） =x）在（ 0， +）递减，求出 h（ x）的导数，得到 a ，（ x 0），令 m（ x） = ，（ x 0），根据函数的单调性求出 a 的范围即可 【解答】 解：（ ） ，（ x 0）， f（ x） = ，（ x 0）， 若函数 f（ x）为单调递减函数， 则 f（ x） 0 在（ 0， +）恒成立， 即 a 在（ 0， +）恒成立， 令 g（ x） = ，（ x 0）， g（ x） = ， 令 g（ x） 0，解得： x 1，令 g（ x） 0，解得： 0 x 1， g（ x）在（ 0， 1）递减，在（ 1， +）递增， g（ x） g（ 1） = 1， a 1； 第