2016年陕西省高考数学二模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年陕西省高考数学二模试卷（文科） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1设集合 M=x| ，函数 f（ x） =1 ）的定义域为 N，则 MN 为（ ） A ， 1 B ， 1） C（ 0， D（ 0， ） 2已知命题 p： x R， 0，则（ ） A p： x R， 0 B p： x R， 0 C p： x R， 0D p： x R， 0 3若 ，则 值为（ ） A B C D 4等比数列 前 n 项和为 知 S3=0，则 ） A B C D 5某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ） A 28 B 32 C 36 D 40 6已知抛物线 C： y2=x 的焦点为 F， A（ C 上一点，若 | 于（ ） A 1 B 2 C 4 D 8 7如果执行如图所示的框图，输入 N=5，则输出的 S 等于（ ） 第 2 页（共 19 页） A B C D 8在长方形 ， ， ， O 为 点，在长方形 随机取一点，取到的点到点 O 的距离不大于 1 的概率是（ ） A B 1 C D 1 9曲线 y=e 在点（ 6， 的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A B 3 6 90已知函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）的部分图象如图所示，且 f（ ） =1， （ 0， ），则 2 ） =（ ） A B C D 11若 f（ x）是定义在（ ， +）上的偶函数， 0， +）（ 有，则（ ） A f（ 3） f（ 1） f（ 2） B f（ 1） f（ 1） f（ 3） C f（ 2） f（ 1） f（ 3）D f（ 3） f（ 2） f（ 1） 12若直线 y=x， y=x+2 与圆 C： x2+22 的四个交点把圆 C 分成的四条弧长相等，则 m=（ ） 第 3 页（共 19 页） A 0 或 1 B 0 或 1 C 1 或 1 D 0 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13设 a 是实数，且 是一个纯虚数，则 a=_ 14已知正项数列 足 （ 2=9 a ，若 ，则 _ 15若向量 =（ 3， 1）， =（ 7， 2），则 的单位向量的坐标是 _ 16已知 F 是双曲线 C： =1 的右焦点，若 P 是 C 的左支上一点， A（ 0， 6 ）是 积的最小值为 _ 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17在 ，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a， b， c已知 a+c=3 ， b=3 （ I）求 最小值； （ ）若 =3，求 A 的大小 18某种产品的质量以其指标值来衡量，其指标值越大表明质量越好，且指标值大于或等于102 的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方）做试验，各生产了 100件这种产品，并测量了每件产品的指标值，得到了下面的试验结果： A 配方的频数分布表 指标值分组 90， 94） 94， 98） 98， 102） 102， 106） 106， 110 频数 8 20 42 22 8 B 配方的频数分布表 指标值分组 90， 94） 94， 98） 98， 102） 102， 106） 106， 110 频数 4 12 42 32 10 （ 1）分别估计用 A 配方， B 配方生产的产品的优质品率； （ 2）已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y（单位：元）与其指标值 t 的关系式为y= ，估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率，并求用 B 配方生产的上述产品平均每件的利润 19四棱锥 P ，底面 矩形， 底面 D， E， F 分别为中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）设 ，求三棱锥 P 体积 第 4 页（共 19 页） 20设 O 是坐标原点，椭圆 C： 的左右焦点分别为 P， Q 是椭圆 C 上不同的两点， （ I）若直线 椭圆 C 的右焦点 倾斜角为 30，求证： | | |等差数列； （ ）若 P， Q 两点使得直线 斜率均存在且成等比数列 求直线 斜率 21已知函数 f（ x） =（ a+1） （ ）讨论函数 f（ x）的单调性； （ ）设 a 2，证明：对任意 （ 0， +）， |f（ f（ | 4| 选做题：请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 选修 4何证明选讲 22如图所示，已知 交于 A、 B 两点，过点 A 作 切线交 点 C，过点 B 作两圆的割线，分别交 点 D、 E， 交于点 P （ ）求证： （ ）若 切线，且 ， ， ，求 长 选修 4标系与参数方程 23以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数， 0 ），曲线 C 的极坐标方程为 （ ）求曲线 C 的直角坐标方程； （ ）设直线 l 与曲线 C 相交于 A、 B 两点，当 变化时，求 | 最小值 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x+1| 2|x| （ 1）求不等式 f（ x） 6 的解集； （ 2）若存在实数 x 满足 f（ x） =实数 a 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2016 年陕西省高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1设集合 M=x| ，函数 f（ x） =1 ）的定义域为 N，则 MN 为（ ） A ， 1 B ， 1） C（ 0， D（ 0， ） 【考点】 交集及其运算 【分析】 先分别求出集合 M 和集合 N，然后再求出集合 MN 【解答】 解：集合 M=x| = ， 3），函数 f（ x） =1 ） =0， 1）， 则 MN= ， 1）， 故选： B 2已知命题 p： x R， 0，则（ ） A p： x R， 0 B p： x R， 0 C p： x R， 0D p： x R， 0 【考点】 复合命题的真假 【分析】 利用命题的否定即可判断出 【解答】 解：命题 p： x R， 0，则 p： x R， 0 故选： C 3若 ，则 值为（ ） A B C D 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【分析 】 由条件利用平方差公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值 【解答】 解： 则 （ = = = ， 故选： B 4等比数列 前 n 项和为 知 S3=0，则 ） A B C D 【考点】 等比数列的前 n 项和 第 6 页（共 19 页） 【分析】 设等比数列 公比为 q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到，解出即可 【解答】 解：设等比数列 公比为 q， S3=0， ，解得 故选 C 5某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ） A 28 B 32 C 36 D 40 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知几何体是一个圆柱和一个圆台的组合体，求解其体积相加即可 【解答】 解：图为三视 图复原的几何体是一圆台和一个圆柱的组合体，圆柱的底面半径为 2，高为 2，体积为： 222=8 圆台的底面半径为 4，上底面半径为 2，高为 3，体积为： =28， 几何体的体积为： 36 故选： C 6已知抛物线 C： y2=x 的焦点为 F， A（ C 上一点，若 | 于（ ） A 1 B 2 C 4 D 8 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 利用抛物线的定义、焦点 弦长公式即可得出 【解答】 解：抛物线 C： y2=x 的焦点为 F（ ， 0） A（ C 上一点， | x0=， 解得 故选： A 第 7 页（共 19 页） 7如果执行如图所示的框图，输入 N=5，则输出的 S 等于（ ） A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知，该程序的功能是计算出输出S= 的值 【解答】 解： n=5 时， k=1， S=0， 第一次运行： S=0+ = ， k=1 5， 第二次运行： k=1+1=2， S= = ， k=2 5， 第三次运行： k=2+1=3， = ， k=3 5， 第四次运行： k=3+1=4， S= = ， k=4 5， 第五次运行： k=4+1=5， S= = ， k=5， 结束运行，输出 S= 故选： D 8在长方形 ， ， ， O 为 点，在长方形 随机取一点，取到的点到点 O 的距离不大于 1 的概率是（ ） A B 1 C D 1 【考点】 几何概型 【分析】 本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点到 O 的距离不大于 1 的点对应的图形的面积，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解 第 8 页（共 19 页） 【解答】 解：已知如图所示： 长方形面积为 2， 以 O 为圆心， 1 为半径作圆， 在矩形内部的部分（半圆）面积为 ， 因此 取到的点到 O 的距离不大于 1 的概率 P= = 故选 A 9曲线 y=e 在点（ 6， 的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A B 3 6 9考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出 函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程，分别令 x=0，y=0 求得与 y， x 轴的交点，运用三角形的面积公式计算即可得到所求值 【解答】 解： y=e 的导数为 y= e ， 可得在点（ 6， 的切线斜率为 即有在点（ 6， 的切线方程为 y x 6）， 即为 y= 令 x=0，可得 y= y=0，可得 x=3 即有切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 3 故选： A 10已知函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）的部分图象如图所示，且 f（ ） =1， （ 0， ），则 2 ） =（ ） 第 9 页（共 19 页） A B C D 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由图象可得 A 值和周期，由周期公式可得 ，代入点（ ， 3）可得 值，可得解析式，再由 f（ ） =1 和同角三角函数基本关系可得 【解答】 解：由图象可得 A=3， =4（ ），解得 =2， 故 f（ x） =32x+），代入点（ ， 3）可得 3+） = 3， 故 +） = 1， +=2， =2， k Z 结合 0 可得当 k=1 时， = ，故 f（ x） =32x+ ）， f（ ） =32+ ） =1， 2+ ） = ， （ 0， ）， 2+ （ ， ）， 2 ） = = ， 故选： C 11若 f（ x）是定义在（ ， +）上的偶函数， 0， +）（ 有，则（ ） A f（ 3） f（ 1） f（ 2） B f（ 1） f（ 1） f（ 3） C f（ 2） f（ 1） f（ 3）D f（ 3） f（ 2） f（ 1） 【考点】 奇偶性与单调性的综 合 【分析】 根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行比较即可 【解答】 解： 0， +）（ 有 ， 当 x 0 时函数 f（ x）为减函数， f（ x）是定义在（ ， +）上的偶函数， f（ 3） f（ 2） f（ 1）， 即 f（ 3） f（ 2） f（ 1）， 第 10 页（共 19 页） 故选： D 12若直线 y=x， y=x+2 与圆 C： x2+22 的四个交点把圆 C 分成的四条弧长相等，则 m=（ ） A 0 或 1 B 0 或 1 C 1 或 1 D 0 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 直线 C 分成的四条弧长相等， C 可化为（ x m） 2+（ y n）2=m2+ m=0， n=1 时及当 m= 1， n=0 时，满足条件 【解答】 解： y=x， y=x+2 与圆 C： x2+22， 直线 C 分成的四条弧长相等， 画出图形，如图所示 又 C 可化为（ x m） 2+（ y n） 2=m2+ 当 m=0， n=1 时，圆心为（ 0， 1），半径 r=1， 此时 C 的四个交点（ 0， 0），（ 1， 1），（ 0， 2），（ 1， 1）把 C 分成的四条弧长相等； 当 m= 1， n=0 时，圆心为（ 1， 0），半径 r=1， 此时 C 的四个交点（ 0， 0），（ 1， 1），（ 2， 0），（ 1， 1）也把 C 分成的四条弧长相等； 故选： B 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13设 a 是实数，且 是一个纯虚数，则 a= 2 【考点】 复 数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求得 a 值 【解答】 解： = 是纯虚数， ，解得 a= 2 故答案为： 2 14已知正项数列 足 （ 2=9 a ，若 ，则 8 第 11 页（共 19 页） 【考点】 数列递推式 【分析】 由已知数列递推式变形得到 ，即数列 公差为 3 的等差数列，求出等差数列的通项公式得答案 【解答】 解：由 （ 2=9 ，得 ， 即 ， 3， 又数列是正项数列， ， 即数列 公差为 3 的等差数列， ， an= n 1） d=1+3（ n 1） =3n 2， 则 10 2=28 故答案为： 28 15若向量 =（ 3， 1）， =（ 7， 2），则 的单位向量的坐标是（ ， ） 【考点】 平面向量的坐标运算 【分析】 求出向量 ，从而求出 的单位向量的坐标即可 【解答】 解： 向量 =（ 3， 1）， =（ 7， 2）， 则 =（ 4， 3）， 由 =5， 得单位向量的坐标是（ ， ）， 故答案为：（ ， ） 16已知 F 是双曲线 C： =1 的右焦点，若 P 是 C 的左支上一点， A（ 0， 6 ）是 积的最小值为 6+9 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得 双曲线的焦点，直线 方程以及 长，设直线 y= 2 x+t 与双曲线相切，且切点为左支上一点，联立双曲线方程，消去 y，由判别式为 0，求得 m，再由平行直线的距离公式可得三角形的面积的最小值 【解答】 解：双曲线 C： =1 的右焦点为（ 3， 0）， 由 A（ 0， 6 ），可得直线 方程为 y= 2 x+6 ， | =15， 第 12 页（共 19 页） 设直线 y= 2 x+t 与双曲线相切，且切点为左支上一点， 联立 ，可得 164 tx+=0， 由判别式为 0，即有 964 16（ ） =0， 解得 t= 4（ 4 舍去）， 可得 P 到直线 距离为 d= = ， 即有 面积的最小值为 d| 15=6+9 故答案为： 6+9 三、解答题（本大 题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17在 ，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a， b， c已知 a+c=3 ， b=3 （ I）求 最小值； （ ）若 =3，求 A 的大小 【考点】 平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理 【分析】 （ I）根据基本不等式求出 最大值，利用余弦定理得出 最小值； （ 用余弦定理列方程解出 a， c， 用正弦定理得出 【解答】 解：（ I）在 ，由余弦定理得 = （ ） 2= 当 时， 得最小值 （ 余弦定理得 b2=a2+2 = 9=a2+6， a2+5 又 a+c=3 ， a=2 ， c= 或 a= ， c=2 ， 由正弦定理得 ， =1 或 A= 或 A= 第 13 页（共 19 页） 18某种产品的质量以其指标值来衡量，其指标值越大表明质量越好，且指标值大于或等于102 的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方）做试验，各生产了 100件这种产品，并测量了每件产品的指标值，得到了下面的试验结果： A 配方的频数分布表 指标值分组 90， 94） 94， 98） 98， 102） 102， 106） 106， 110 频数 8 20 42 22 8 B 配方的频数分布 表 指标值分组 90， 94） 94， 98） 98， 102） 102， 106） 106， 110 频数 4 12 42 32 10 （ 1）分别估计用 A 配方， B 配方生产的产品的优质品率； （ 2）已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y（单位：元）与其指标值 t 的关系式为y= ，估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率，并求用 B 配方生产的上述产品平均每件的利润 【考点】 互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式 【分析】 （ 1）根据 所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值 （ 2）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值 【解答】 解：（ 1）由试验结果知，用 A 配方生产的产品中优质的频率为 = 用 A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 由试验结果知，用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 = 用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为 （ 2）用 B 配方生产的 100 件产品中，其质量指标值落入区间 90， 94）， 94， 102）， 102， 110的频率分别为 P（ X= 2） =P（ X=2） =P（ X=4） = 即 X 的分布列为 X 2 2 4 P X 的数学期望值 2 19四棱锥 P ，底面 矩形， 底面 D， E， F 分别为中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）设 ，求三棱锥 P 体积 第 14 页（共 19 页） 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）取 点 G，连结 题意可得四边形 平行四边形，得到 G，再由 底面 得平面 平面 一步得 到平面平面 D， A，可得 面 到 平面 而得到 平面 （ 2）连接 得 ，求解直角三角形得到 ，然后利用等积法把三棱锥 P 体积转化为 B 体积求解 【解答】 （ 1）证明：取 点 G，连结 由题意可得 P，则 ， 由 D，可得 ， 则 E，且 四边形 平行四边形，则 G， 又 底面 平面 平面 又 平面 则平面 平面 由 D， A，可得 面 平面 又 平面 （ 2）解：连接 ， ， ，则 ， B = = 20设 O 是坐标原点，椭圆 C： 的左右焦点分别为 P， Q 是椭圆 C 上不同的两点， 第 15 页（共 19 页） （ I）若直线 椭圆 C 的右焦点 倾斜角为 30，求证： | | |等差数列； （ ）若 P， Q 两点使得直线 斜率均存在且成等比数列求直线 斜率 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ I）求得椭圆的 a， b， c，设出直线 方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式可得 |再由椭圆的定义可得 |4a，由等差数列的中项的性质，可得结论； （ ）设出直线 方程，代入椭圆方程，运用韦达定 理和判别式大于 0，由等比数列的中项的性质，结合直线的斜率公式，化简整理，解方程即可得到直线 斜率 【解答】 解：（ I）证明： 即为 + =1， 即有 a= ， b= ， c= =2， 由直线 椭圆 C 的右焦点 2， 0），且倾 斜角为 30， 可得直线 方程为 y= （ x 2）， 代入椭圆方程可得， 2x 1=0， 即有 x1+， 1， 由弦长公式可得 | = = ， 由椭圆 的定义可得 |4a=4 ， 可得 |4 = =2| 则有 | | |等差数列； （ ）设直线 方程为 y=kx+m，代入椭圆方程 ， 消去 y 得：（ 1+3（ 2） =0， 则 =3612（ 1+3 2） =12（ 6） 0， x1+ ， ， 故 m）（ m） =x1+ 直线 斜率依次成等比数列， = = 即 x1+，即有 +， 第 16 页（共 19 页） 由于 m 0，故 ， 直线 斜率 k 为 21已知函数 f（ x） =（ a+1） （ ）讨论函数 f（ x）的单调性； （ ）设 a 2，证明：对任意 （ 0， +）， |f（ f（ | 4| 【考点】 利用导 数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （ 1）先求出函数的定义域，然后对函数 f（ x）进行求导，根据导函数大于 0 时原函数单调递增、导函数小于 0 时原函数单调递减对 a 分 3 种情况进行讨论 （ 2）先根据 a 的范围对函数 f（ x）的单调性进行判断，然后根据单调性去绝对值，将问题转化为证明函数 g（ x） =f（ x） +4x 的单调性问题 【解答】 解：（ ） f（ x）的定义域为（ 0， +）， 当 a 0 时， f（ x） 0，故 f（ x）在（ 0， +）单调增加； 当 a 1 时， f（ x） 0，故 f（ x）在（ 0， +）单调减少； 当 1 a 0 时，令 f（ x） =0，解得 x= 当 x （ 0， ）时， f（ x） 0； x （ ， +）时， f（ x） 0， 故 f（ x）在（ 0， ）单调增加，在（ ， +）单调减 少 （ ）不妨假设 于 a 2，故 f（ x）在（ 0， +）单调递减 所以 |f（ f（ | 4|价于 f（ f（ 44 即 f（ +4f（ +4 令 g（ x） =f（ x） +4x，则 +4= 于是 g（ x） = 0 从而 g（ x）在（ 0， +）单调减少，故 g（ g（ 即 f（ +4f（ +4对任意 （ 0， +）， |f（ f（ | 4|x1 选做题：请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 选修 4何证明选讲 22如图所示，已知 交于 A、 B 两点，过点 A 作 切线交 点 C，过点 B 作两圆的割线，分别交 点 D、 E， 交于点 P （ ）求证： （ ）若 切线，且 ， ， ，求 长 第 17 页（共 19 页） 【考点】 圆的切线的性质定理的证明；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；与圆有关的比例线段 【分析】 （ I）连接 据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到 D，又根据同弧所