山东省临沂市2016年高考数学一模试卷（文科）含答案解析

山东省临沂市 2016 年高考数学一模试卷（文科） （解析版） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 有一个是符合题目要求的 . 1已知集合 U=0， 1， 2， 3， 4， M=1， 3， N=1， 2， 4，则为（ N（ ） A 1， 3， 4 B 0， 2， 4 C 2， 4 D 3， 4 2如果复数 z= ，则（ ） A |z|=2 B z 的实部为 1 C z 的虚部为 1 D z 的共轭复数为 1+i 3命题 m 0， 1，则 的否定形式是（ ） A m 0， 1，则 B m 0， 1，则 C m （ ， 0） （ 1， +），则 D m 0， 1，则 4 “= ”是 ） =（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5某产品在某零售摊位的零售价 x（单位：元）与每天的销售量 y（单位：个）的统计资料如表所示： X 11 0 y 5 6 8 10 11 由此表可得回归直线方程 = ，据此模型预测零售价为 5 元时，每天的销售量为（ ） A 23 个 B 24 个 C 25 个 D 26 个 6下列函数中，既是奇函数又在区间（ 1， 1）上单调递减的函数是（ ） A f（ x） = f（ x） =2 C f（ x） =2x 1 D 7一个几何体的三视图如图所示，根据图中数据，该几何体的体积是（ ） A B 3 C 4 D 8已知 O 是坐标原点，点 A（ 1， 1），若点 M（ x， y）为平面区域 ，上的一个动点，则 的取值范围是（ ） A 1， 0 B 0， 1 C 0， 2 D 1， 2 9已知 a 是常数，函数 的导函数 y=f（ x）的图象如图所示，则函数 g（ x） =|2|的图象可能是（ ） A B C D 10双曲线 =1 的渐近线方程与圆（ x ） 2+（ y 1） 2=1 相切，则此双曲线的离心率为（ ） A B 2 C D 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 . 11函数 y=（ x+a） x=0 处的切线与直线 x+y+1=0 垂直，则 a 的值为 12已知 三个内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且满足，则角 C= 13将函数 f（ x）的图象向左平移 个单位长度后，得到 的图象，则 f（ x）的解析式为 14如图所示的程序框图，当 ， k=2016 时，输出的结果为 15已知 x 0， y 0，且 x+y=1，则 的最小值为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 16（ 12 分）（ 2016临沂一模）某校组织学生参加数学竞赛，共有 15 名学生获奖，其中10 名男生和 5 名女生，其成绩如茎叶图所示（单位：分）规定：成绩在 80 分以上者为一等奖， 80 分以下者为二等奖，已知这 5 名女生的平均成绩为 73 （ I）求男生成绩的中位数及 m 的值； （ ）如果用分层抽样的方法，从一等奖和二等奖学生中共选取 5 人，再从 这 5 人中选取 2人，求至少有 1 人是一等奖的概率 17（ 12 分）（ 2016临沂一模）已知函数 f（ x） =x ） +x ） 2 0）的周期为 （ I）求 的值； （ ）若 x 0， ，求 f（ x）的最大值与最小值 18（ 12 分）（ 2016临沂一模）在正三 角形 ， E， F， P 分别是 上的点满足 F： P： ： 2（如图 1），将 起到 位置上，连接 图 2） （ I）求证： 面 （ ）求证： 19（ 12 分）（ 2016临沂一模）已知正数列 前 n 项和 足 （ I）求数列 通项公式； （ ）符号 x表示不超过实数 x 的最大整数，如 1， 2记，求数列 的前 n 和 20（ 13 分）（ 2016临沂一模）已知函数 （ I）证明：函数 f（ x）在 1， e上存在唯一的零点； （ ）若 g（ x） x）在 1， e上恒成立，求 a 的取值范围 21（ 14 分）（ 2016临沂一模）已知椭圆 =1（ a b 0）的离心率为 ，其短轴的下端点在抛物线 y 的准线上 （ ）求椭圆 方程； （ ）设 O 为坐标原点， M 是直线 l： x=2 上的动点， F 为椭圆的右焦点，过点 F 作 垂线与以为 径的圆 交于 P， Q 两点，与椭圆 交于 A， B 两点，如图所示 若 ，求圆 方程； 设 四边形 面积分别为 的取值范围 2016 年山东省临沂市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 有一个是符合题目要求的 . 1已知集合 U=0， 1， 2， 3， 4， M=1， 3， N=1， 2， 4，则为（ N（ ） A 1， 3， 4 B 0， 2， 4 C 2， 4 D 3， 4 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 由全集 U 及 M，求出 M 的补集，找出 M 补集与 N 的交集即可 【解 答】 解： U=0， 1， 2， 3， 4， M=1， 3， N=1， 2， 4， 0， 2， 4， 则（ N=2， 4， 故选： C 【点评】 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键 2如果复数 z= ，则（ ） A |z|=2 B z 的实部为 1 C z 的虚部为 1 D z 的共轭复数为 1+i 【考点】 复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 【分析】 直接利用复数的除法运算化简，求出复数的模，然后逐一核对选项 即可得到答案 【解答】 解：由 z= = ， 所以 ， z 的实部为 1， z 的虚部为 1， z 的共轭复数为 1+i， 故选 C 【点评】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 3命题 m 0， 1，则 的否定形式是（ ） A m 0， 1，则 B m 0， 1，则 C m （ ， 0） （ 1， +），则 D m 0， 1，则 【考点】 命题的否定 【分析】 利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可 【解答】 解：因为全称命题是否定是特称命题，所以，命题 m 0， 1，则 的否定 形式是： m 0， 1，则 故选： D 【点评】 本题考查命题的否定，特称命题与全称命题否定关系，是基础题 4 “= ”是 ） =（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 = ） =之 不成立，例如取 = 【解答】 解： = ） =之不成立，例如取 = = ”是 ） =充分不必要条件 故选： A 【点评】 本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 5某产品在某零售摊位的零售价 x（单位：元）与每天的销售量 y（单位：个）的统计资料如表所示： X 11 0 y 5 6 8 10 11 由此表可得回归直线方程 = ，据此模型预测零售价为 5 元时，每天的销售量为（ ） A 23 个 B 24 个 C 25 个 D 26 个 【考点】 线性回归方程 【分析】 求出数据中心，代入回归方程得出 ，将 x=5 代入回归方程得出答案 【解答】 解： =10， =8 8= 10+ ， =40 回归方程为 = 0 当 x=5 时， = 5+40=24 故选 ： B 【点评】 本题考查了线性回归方程的特点，属于基础题 6下列函数中，既是奇函数又在区间（ 1， 1）上单调递减的函数是（ ） A f（ x） = f（ x） =2 C f（ x） =2x 1 D 【考点】 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断 【分析】 根据奇函数、偶函数的定义，正弦函数的单调性，指数函数的图象，奇函数图象的对称性，以及复合函数、对数函数和反比例函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项 【解答】 解： A f（ x） =（ 1， 1）上单调递增， 该选项错误； B f（ x） =2 是偶函数，不是奇函数， 该选项错误； C f（ x） =2x 1 的图象不关于原点对称，不是奇函数， 该选项错误； D解 得， 1 x 1，且 ； f（ x）为奇函数； ； 在（ 1， 1）上单调递减， y=调递增； f（ x）在（ 1， 1）上单调递减， 该选项正确 故选： D 【点评】 考查奇函数、偶函数的定义，奇函数图象的对称性，指数函数的图象，以及对数函数、反比例函数及复合函数的单调性 7一个几何体的三视图如图所示，根据图中数据，该几何体的体积是（ ） A B 3 C 4 D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成，上面是一个圆锥，下面是一个圆柱即可得出 【解答】 解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成，上面是一个圆锥，下面是一个圆柱 该几何体的体积 = 12 3+ = 故选： A 【点评】 本题考查了三视图的有关计算、圆锥与圆柱的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 8已知 O 是坐标原点，点 A（ 1， 1），若点 M（ x， y）为平面 区域 ，上的一个动点，则 的取值范围是（ ） A 1， 0 B 0， 1 C 0， 2 D 1， 2 【考点】 简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算 【分析】 先画出满足约束条件 的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入 分析比较后，即可得到 的取值范围 【解答】 解：满足约束条件 的平面区域如下图所示： 将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式 当 x=1， y=1 时， = 1 1+1 1=0 当 x=1， y=2 时， = 1 1+1 2=1 当 x=0， y=2 时， = 1 0+1 2=2 故 和取值 范围为 0， 2 解法二： z= = x+y，即 y=x+z 当经过 P 点（ 0， 2）时在 y 轴上的截距最大，从而 z 最大，为 2 当经过 S 点（ 1， 1）时在 y 轴上的截距最小，从而 z 最小，为 0 故 和取值范围为 0， 2 故选： C 【点评】 本题考查的知识点是线性规划的简单应用，其中画出满足条件的 平面区域，并将三个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式，进而判断出结果是解答本题的关键 9已知 a 是常数，函数 的导函数 y=f（ x）的图象如图所示，则函数 g（ x） =|2|的图象可能是（ ） A B C D 【考点】 指数函数的图象变换 【分析】 求出原函数的导函数，由导函数的图象得到 a 1，然后利用指数函数的图象平移得答案 【解答】 解： ， f（ x） = 1 a） x a， 由函数 y=f（ x）的图象可知 ， a 1， 则函数 g（ x） =|2|的图象是把函数 y=下平移 2 个单位，然后取绝对值得到，如图 故可能是 D 故选： D 【点评】 本题考查指数式的图象平移，考查了导数的综合运用，是中档题 10双曲线 =1 的渐近线方程与圆（ x ） 2+（ y 1） 2=1 相切，则此双曲线的离心率为（ ） A B 2 C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设出双曲线的渐近线方程为 y= x，运用直线和圆相切的条件： d=r，化简可得 b=a，由 a， b， c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值 【解答】 解：设双曲线 的一条渐近线方程为 y= x， 由渐近线与圆 相切， 可得圆心（ ， 1）到渐近线的距离为 1， 即为 =1， 化为 b= a， 可得 c= =2a， 即有 e= =2 故选： B 【点评】 本题考查双曲线的离心率的求法，注 意运用点到直线的距离公式，考查直线和圆相切的条件： d=r，考查运算能力，属于中档题 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 . 11函数 y=（ x+a） x=0 处的切线与直线 x+y+1=0 垂直，则 a 的值为 0 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求函数的导数，根据导数的几何意义结合直线垂直的直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可 【解答】 解： 函数 y=（ x+a） x=0 处的切线与直线 x+y+1=0 垂直， 函数 y=（ x+a） x=0 处的切线斜率 k=1， f（ x） =（ x+a+1） f（ 0） =（ a+1） e0=a+1=1， 得 a=0， 故答案为： 0 【点评】 本题主要考查直线垂直的应用以及导数的几何意义，根据条件建立方程关系是解决本题的关键 12已知 三个内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且满足，则角 C= 【考点】 两角和与差的余弦函数；三角函数中的 恒等变换应用 【分析】 由条件利用正弦定理和余弦定理求得 ，可得角 C 的值 【解答】 解： ， ， =a b， a2+c2= = ， C= ， 故答案为： 【点评】 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题 13将函数 f（ x）的图象向左平移 个单位长度后，得到 的图象，则 f（ x）的解析式为 f（ x） = 2 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由条件利用诱导公式，函数 y=x+）的图象变换规律，得出结论 【解答】 解：由题意可得，把 的图象向右平移 个单位长度后， 得到 f（ x） =2（ x ） + =22x ） = 2图象， 故答案为： f（ x） = 2 【点评】 本题主要考查诱导公式的应用，函数 y=x+）的图象变换规律，属于基础题 14如图所示的程序框图，当 ， k=2016 时，输出的结果为 【考点】 程序框图 【分析】 题目给出了当型循环结构框图，首先引入累加变量 s 和循环变量 i，由判断框得知，算法执行的计算并输出 S= + 的值，用裂项法即可计算求值 【解答】 解：模 拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出 S=+ 的值， 由于 S= + =（ 1 ） +（ ） +（ ） =1= 故答案为： 【点评】 本题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环结构是先判断再执行，若满足条件进入循环，否则结束循环，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构中框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等 15已知 x 0， y 0，且 x+y=1，则 的最小值为 【考点】 基本不等式 【分析】 由题意可得（ 2x+y） +y=2，整体代入可得 = （ 5+ + ），由基本不等式可得 【解答】 解： x 0， y 0，且 x+y=1， 2x+2y=2， 即（ 2x+y） +y=2， = （ ） （ 2x+y） +y = （ 5+ + ） （ 5+2 ） = 当且仅当 = 即 2x+y=2y 即 y=2x= 时取等号 故答案为： 【点评】 本题考查基本不等式求最值，整体代入并变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 出文字说明，证明过程或演算步骤 16（ 12 分）（ 2016临沂一模）某校组织学生参加数学竞赛，共有 15 名学生获奖，其中10 名男生和 5 名女生，其成绩如茎叶图所示（单位：分）规定：成绩在 80 分以上者为一等奖， 80 分以下者为二等奖，已知这 5 名女生的平均成绩为 73 （ I）求男生成绩的中位数及 m 的值； （ ）如果用分层抽样的方法，从一等奖和二等奖学生中共选取 5 人，再从这 5 人中选取 2人，求至少有 1 人是一等奖的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；众数、中位数、平均 数 【分析】 （ ）利用中位数、平均值的意义即可得出； （ ）利用分层抽样及列举法、古典概型的计算公式即可得出 【解答】 解：（ ）男生成绩的中位数为 =80， 这 5 名女生的平均成绩为 73， （ 65+66+77+（ 70+m） +85） =73， 解得 m=2， （ ）由题意知一等奖获得者有 6 人，二等奖获得者为 9 人， 则用分层抽样的选取的一等奖人数为 5=2 人，记为 选取的二等奖的人数为 =3 人，记为 从这 5 人中选 2 人的所以可能情况为： （ （ （ （ （ （ （ 3），（ （ （ 共 10 种， 这 10 个基本事件是等可能性的， 其中至少有 1 人是至少有 1 人是一等奖的结果有 7 种， 至少有 1 人是一等奖的概率 P= 【点评】 本题考查了由茎叶图求数据的平均数及古典概型的概率计算，熟练掌握茎叶图是解答问题的关键 17（ 12 分）（ 2016临沂一模）已知函数 f（ x） =x ） +x ） 2 0）的周期为 （ I）求 的值； （ ）若 x 0， ，求 f（ x）的最大 值与最小值 【考点】 三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用 【分析】 （ I）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论 （ ）由 x 0， ，利用正弦函数的定义域和值域求得 f（ x）的值域 【解答】 解：（ I） 函数 f（ x） =x ） +x ） 2= 2 = 1=2x+ ） 1（ 0）的周期为 =， =2 （ ）若 x 0， ，则 2x+ ， ， x+ ） ， 1， f（ x） =2x+ ） 1 的值域为 2， 1 【点评】 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题 18（ 12 分）（ 2016临沂一模）在正三角形 ， E， F， P 分别是 上的点满足 F： P： ： 2（如图 1），将 起到 位置上，连接 图 2） （ I）求证： 面 （ ）求证： 【考点】 直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ ）由 F： P： ： 2，得 此能证明 平面 （ ）设正三角形 边长为 3，则 ， ，由余弦定理得 ，由勾股定理得 此能证明 【解答】 证明：（ ） 正三角形 ， E， F， P 分别是 上 的点满足F： P： ： 2， 又 面 面 平面 （ ）设正三角形 边长为 3，则 ， ， 0， 2+4 2 1 2 3， ， 在 ， 则在图 2 中，有 面 又 面 【点评】 本题考查线面平行、线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养 19（ 12 分）（ 2016临沂一模）已知正数列 前 n 项和 足 （ I）求数列 通项公式； （ ）符号 x表示不超过实数 x 的最大整数，如 1， 2记，求数列 的前 n 和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ I）由 ，当 n=1 时， 4+1，化为 =0，解得 n 2 时，化为：（ an+1）（ 1 2） =0，由于 0，可得 1=2利用等差数列的通项公式即可得出 （ （ I）可知： n 1，可得 =n+1） ，利用 x的定义可得： = =n再利用 “错位相减法 ”与等比数列的前 n 项和公式即可得出数列 的前 n 和 【解答】 解：（ I） ， 当 n=1 时， 4+1，化为 =0，解得 当 n 2 时， 4（ 1） = +2 ，化为：（ an+1）（ 1 2） =0， 0， 1=2 +2（ n 1） =2n 1 （ （ I）可知： n 1，可得 =n+1） ， 由 x的定义可知： 1， 2， ， = =n 数列 的前 n 和 2+2 22+3 23+n2n， 22+2 23+（ n 1） 2n+n2n+1， +22+2n n2n+1= n2n+1=（ 1 n） 2n+1 4， n 1） 2n+1+4 【点评】 本题考查了 “错位相减法 ”、等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、新定义函数 x的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 20（ 13 分）（ 2016临沂一模）已知函数 （ I）证明：函数 f（ x）在 1， e上存在唯一的零点； （ ）若 g（ x） x）在 1， e上恒成立，求 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析 】 （ ）求出函数的导数，得到函数的单调性，求出 f（ 1） f（ e） 0，证出结论即可； （ ）问题转化为 x+ 0 在 1， e上恒成立，令 h（ x） =x+ x 1，e，通过讨论 a 的范围，结合函数的单调性求出 a 的具体范围即可 【解答】 解：（ ）证明： f（ x） =， x 1， e， 则 f（ x） = + 0 在 1， e恒成立， 则 f（ x）在 1， e递增， 又 f（ 1） = 1 0， f（ e） =1 0，即 f（ 1） f（ e） 0， 函数 f（ x）在 1， e上存在唯一的零点； （ ）由 g（ x） x）在 1， e上恒成立， 则 x+ a（ ），即 x+ 0 在 1， e上恒成立， 令 h（ x） =x+ x 1， e， 则 h（ x） = ， x 1， e， x+1 0， 1+a e 即 a e 1 时， h（ x） 0， h（ x）在 1， e递减， h（ x） h（ e） =e+ a，由 h（ x） 0，得： a ， 即 e 1 a ； 1+a 1 即 a 0 时， h（ x） 0， h（ x）在 1， e递增， h（ x） h（ 1） =2+a 0，解得： a 2， 此时： 2 a 0； 1 1+a e，即 0 a e 1 时， 在 1， a+1）上， h（ x） 0， h（ x）递减， 在（ a+1， e上， h（ x） 0， h（ x）递增， h（ x） h（ a+1） =a+2 a+1）， 1 1+a e， 0 a+1） 1， a+2 1+a） a+2 a=2 0， 即 h（ x） 0 恒成立， 0 a e 1 符合题意， 综上， a