湖南省高中数学 1.1相似三角形的判定及有关性质配套课件 理 新人教A版.ppt

第一节相似三角形的判定及有关性质,三年7考高考指数:1.了解平行线分线段成比例定理.2.会证明、应用直角三角形射影定理.,1.利用平行线分线段成比例定理及直角三角形的射影定理进行有关的证明和计算是高考重点.2.本部分主要以填空题为主，其中以相似三角形为背景的综合题是热点题型，同时相似三角形与圆、方程、三角、函数等知识的结合多以探索性、阅读性命题类型出现.,1.平行线等分线段定理(1)定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也.(2)推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必_第三边.(3)推论2:经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线另一腰.,相等,平分,平分,【即时应用】(1)如图，abc中，d是ab的中点,debc,ac=6,则ae=_.(2)如图，梯形abcd中，efadbc，e是ab的中点,dc=m,则fc=_.,【解析】(1)d是ab的中点，debc,点e是ac的中点,ae=ac=6=3.(2)efadbc,e是ab的中点，df=fc=dc=m,即fc=m.答案：(1)3(2)m,2.平行线分线段成比例定理(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的线段成比例.(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段.,对应,成比例,【即时应用】(1)如图，adbecf,且abbc=23,则efdf=_.(2)如图，在abc中，debc,bd=ad,则aeac=_.,【解析】(1)adbecf,abbc=23,deef=abbc=23,efdf=35.(2)debc,又bd=ad,ab=ad,答案：(1)35(2)34,3.相似三角形的判定与性质(1)定义:对应角，对应边的两个三角形叫做相似三角形.（2）预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线），所构成的三角形与原三角形.（3）判定：定理1：两角对应，两三角形相似.定理2：两边对应且夹角，两三角形相似.定理3：三边对应，两三角形相似.,相等,成比例,相交,相似,相等,成比例,相等,成比例,（4）直角三角形相似的判定：,(5)性质：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于.相似三角形周长的比等于.相似三角形面积的比等于相似比的.相似三角形外接圆的直径比、周长比等于,外接圆的面积比等于相似比的.,相似比,相似比,平方,相似比,平方,【即时应用】(1)已知：如图所示，在abc中，d、e分别在ac、ab边上，要使adeabc成立的条件可以是_.（只填写一个即可）(2)如图所示，在abc中，c=90,ac=3,d为bc上一点，过点d作debc交ab于e，若ed=1，bd=2，则dc的长为_,sbdesabc=_.,【解析】(1)此题属开放题，答案不唯一，可根据判定定理的条件填写，如ade=b或aed=c或等.(2)bde=c=90,b=b,bdebca,bc=6,dc=4,sbdesbca=de2ac2=19.答案：(1)ade=b(或aed=c或)(答案不唯一)(2)419,4.直角三角形的射影定理定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例；两直角边分别是它们在斜边上与的比例中项.,中项,射影,斜边,【即时应用】(1)在rtabc中，acb=90，cdab于d，ac=3,bc=4，则ad=_.(2)一直角三角形两条直角边之比是12，则它们在斜边上射影的比是_.,【解析】（1）先由勾股定理，得ab=5，再由射影定理，得ac2=adab,ad=（2）ac、ab在斜边bc上的射影为dc、db，由射影定理得：ac2=cdbc,ab2=bdbc,cdbd=ac2ab2=14.答案：(1)(2)14,平行线分线段成比例定理【方法点睛】1.平行线等分线段定理的理解及应用平行线等分线段定理及推论1、推论2是证明线段相等或求线段长度的重要理论依据之一,在应用这个定理时一定要看清条件中是否是一组平行线已截得相等的线段，若是就可以用该定理.,2.利用平行线分线段成比例定理的注意事项利用平行线分线段成比例定理解决问题时要特别注意被平行线所截的直线，找准成比例的线段，得到相应的比例式，有时需要进行适当的变形，从而得到最终的结果.,【例1】(1)如图，abcd中，ac与bd相交于点o，ab=6,oebc，则ec=_.(2)(2012长沙模拟)如图，在abc中，debc,efcd，若bc=3，de=2,df=1，则ab的长为_.,【解题指南】(1)可利用平行四边形的性质和平行线等分线段定理求线段ec的长.(2)这是一道利用平行线分线段成比例定理的计算题，由已知条件分析知，需要中间比例式进行转换可以得到最终结果，即由等可以得出ab的长.,【规范解答】(1)在abcd中，ob=od,ab=dc=6，又oebc,de=ec=dc=3,即ec=3.答案：3,(2)debc，,又efcd,af=2fd=2,ad=3,又debc,bd=,ab=ad+bd=.答案：,【互动探究】本例(2)中若bc=4，de=3，df=1，其他条件不变，则ab的长为_.【解析】debc,又efcd,af=3fd=3,ad=4,又debc,bd=ab=ad+bd=4+答案：,【反思感悟】本题灵活运用了平行线分线段成比例定理，先利用debc，efcd得到比例式后，再进行巧妙的转化比例式，从而解决问题，这是在比例式的证明和计算中常见的一种方法.,相似三角形的判定和性质【方法点睛】1.相似三角形的判定思路,一对等角,找一对等角或找夹边成比例,两边成比例,找两边的夹角相等,含有等腰三角形,找顶角相等或找一对底角相等或找腰和底对应成比例,2.相似三角形性质的应用(1)运用相似三角形的性质解决问题，主要考虑相似三角形的对应边、对应角、周长、面积之间的关系.(2)相似三角形的性质多用于求某条线段的长度，求证比例式的存在、求证等积式的成立等.【提醒】在做题时应注意认真观察图形特点，确定好对应边、对应角等.,【例2】(1)如图，光源p在横杆ab的正上方，ab在灯光下的影子为cd，abcd,ab=2m，cd=6m，点p到cd的距离是2.7m，则ab与cd间的距离是_m.(2)如图，梯形abcd中，abcd,且ab=2cd,e，f分别是ab，bc的中点，ef与bd相交于点m.若db=9，则bm=_.,【解题指南】(1)先判定pab与pcd相似，再利用相似三角形对应高的比等于相似比，求出ab与cd间的距离.(2)由已知条件可判定四边形bcde是平行四边形，所以bcde，从而证明edmfbm，再根据对应边成比例可求出bm的值.,【规范解答】(1)根据abcd，知pabpcd.设p到ab的距离为xm，根据相似三角形对应边上高的比等于相似比，得，解得x=0.9，ab与cd间的距离为2.7-0.9=1.8(m).答案：1.8,(2)e是ab的中点，ab=2be,又ab=2cd,cd=eb,又abcd,四边形bcde是平行四边形,cbde,edmfbm.f是bc中点,de=bc=2fb,dm=2bm,bm=db=3.答案：3,【互动探究】本例(2)中在所有条件不变的情况下，求sfbmsedm=_.【解析】由fbmedm可知fbde=12，所以sfbmsedm=14.答案：14,【反思感悟】判定三角形相似时，首先找出两个三角形中已经具备了哪些已知条件，再通过推理推出隐含的条件，选择相似三角形的判定方法作出判定即可；当三角形判定相似后，可再根据相似三角形的性质，求出线段的长、三角形的周长及面积等.,【变式备选】已知：如图，在abc中，d、e分别是bc、ab上任意点，efmcdm，ef=1,cd=3，则efm与cdm的周长之比为_.【解析】efmcdm,efm与cdm的周长之比为efcd=13.答案：13,射影定理的应用【方法点睛】射影定理的理解及解题思路(1)射影定理建立了直角三角形中边与射影之间的关系，揭示了直角三角形的内在关系.(2)利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影，再就是要善于将有关比例式进行适当的变形转化，有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式，并且注意射影定理的其他变式.,【例3】(1)在abc中，acb=90,cdab于d，adbd=23,则acd与cbd的相似比为_.(2)如图，在rtabc中，acb=90,cdab于点d，deac于点e，dfbc于点f，ce=3,cf=4,则ab=_.,【解题指南】(1)可由射影定理用ad表示出cd的长，再求相似比.(2)先由勾股定理求cd的长，再由射影定理求ac、bc的长，最后由勾股定理求出ab的长.【规范解答】(1)设ad=2，则bd=3，abc中，acb=90,cdab,cd2=addb=23=6,cd=acd与cbd的相似比=adcd=2答案：,(2)由勾股定理得cd=5,在rtacd中，由射影定理，得cd2=ceac,ac=在rtbcd中，由射影定理，得cd2=cfcb,cb=ab=答案：,【互动探究】本例(2)中条件不变，则abc的面积为_.【解析】由例题中可知所以abc的面