基于MATLAB的蒙特卡洛方法对可靠度的计算

基基于于 M MA AT TL LA AB B 的的蒙蒙特特卡卡洛洛方方法法对对可可靠靠度度的的计计算算 可靠性工程大作业 2 目录目录 目录目录.2 摘要摘要.3 绪论绪论.4 一、编写一、编写 MONTE CARLO 模拟程序模拟程序.5 二、关于两个服从正态分布的可靠性验证二、关于两个服从正态分布的可靠性验证.8 三、非正态分布的验证三、非正态分布的验证 .10 四、总结四、总结.11 参考文献参考文献.12 3 摘要摘要 对于简单的概率计算，我们可以用离散或者连续的概率分布模型进行求解； 但是对于复杂的模型的近似解的求解，蒙特卡洛方法是一种非常方便的方法。蒙 特卡洛方法将最复杂的计算部分交给了电机计算机来完成，极大的方便了我们的 求解过程。 本文主要是用 MATLAB 编写蒙特卡洛的模拟程序，然后分别验证两个正态分 布的模型和两个非正态分布的模型。非正态分布的模型中的随机变量序列都是独 立同分布的，这样我们可以方便的用列维-林德伯格中心极限定理进行处理。 【关键字关键字】：复杂模型、蒙特卡洛、：复杂模型、蒙特卡洛、MATLABMATLAB、正太分布、独立同分布的非正、正太分布、独立同分布的非正 态模型、列维态模型、列维- -林德伯格中心极限定理林德伯格中心极限定理 4 绪论绪论 计算机技术的发展，促进了蒙特卡洛方法的推广、普及以及完善等。蒙特卡 洛方法诞生之初是不被重视的，因为当时的计算机技术没有达到与之匹配的程度。 蒙特卡洛模拟也称为随机模拟方法，或随机抽样技术。它是一种以概率论和 数理统计为基础，通过对随机变量的统计实验、随机模拟来求解问题近似解的数 值方法。它的主要思想是：为了求解数学、物理、化学及工程问题，建立一个概 率模型或随机过程，使它的参数等于问解；然后通过对模型或过程的观察或抽样 来计算所求参数的统计特征（如均值、概率等） ，作为待解问题的数值解，最后 给出所求解的近似值，而解的精度可用估计值的方差来表示。蒙卡洛模拟的步骤 是：首先建立简单而又便于实现的概率分布模型，使分布模型的某些特征（如模 型的概率分布或数学期望）恰好是所求问题的解；然后根据概率分布模型的特点 和计算的需要改进模型，以便减少方差，降低费用，提高计算效率；再对分布模 型进行随机模拟，其中包括建立产生伪随机数的方法和建立对所遇到的分布产生 随机变量样本的随机抽样方法；最后建立各种统计量的估计，获得所求解的统计 估计值及其方差。蒙特卡洛模拟方法可分为直接蒙特卡洛模拟、间接蒙特卡洛模 拟和蒙特卡洛积分。 （1）直接蒙特卡洛模拟采用随机数来模拟本身具有复杂随机过程的效应。该方 法是按照实际问题所遵循的概率统计规律，用计算机进行直接的抽样，然后计算 其统计参数。直接蒙卡洛模拟法能充分体现蒙特卡洛方法的特殊性和优越性，因 而在物理中得到了广泛的应用，该方法也就是通常所说的“计算机实验” 。 （2）间接蒙特卡洛模拟是人为地构造出一个合适的概率模型，依照该模型进行 大量的统计实验，使它的某些统计参数恰好是待求问题的解。Buffon 投针实验 就是运用间接蒙特卡洛模拟来求解 。 （3）蒙特卡洛积分是利用随机数系列计算积分的方法，积分维数越高，效率越 高。定积分的计算是蒙特卡洛方法被引入计算数学的开端，这里以定积分的计算 说明其处理确定性问题的方法。如计算定积分： dxxfks 1 0 )(1)(0xf 此时，求定积分亦即求边长为 1 的正方形中一个曲边梯形的面积问题，如图 2 所示。可以随机地向正方形内投点，然后统计落在曲线下的点数M，当总的投点 N充分大时，NkM /就近似等于积分值s。 5 6 一、编写一、编写 MonteMonte CarloCarlo 模拟程序模拟程序 1模型的建立 本章节根据抛掷骰子编制 Monte Carlo 模拟程序，验证各点出现的概率均为 1/6。 2模拟流程图绘制 初始化 i=i+1 K=？ K=1K=2K=3K=4K=5K=6 K1+1K2+1K3+1K4+1K5+1K6+1 i P1P2P3P4P5P6 Y N 图 1.1 流程图 3Monte Carlo 程序编写 Monte Carlo 模拟程序(Matlab) clear N=; 7 K_1=0; K_2=0; K_3=0; K_4=0; K_5=0; K_6=0; K=randi(6,N,1); for i=1:N if K(i,1)=1 K_1=K_1+1; end if K(i,1)=2 K_2=K_2+1; end if K(i,1)=3 K_3=K_3+1; end if K(i,1)=4 K_4=K_4+1; end if K(i,1)=5 K_5=K_5+1; end if K(i,1)=6 K_6=K_6+1; end end P_1=K_1/N 8 P_2=K_2/N P_3=K_3/N P_4=K_4/N P_5=K_5/N P_6=K_6/N hist(K,6) 4模拟结果及结论 Monte Carlo 模拟得到，P_1=16.639%；P_2=16.605%;P_3=16.712%; P_4=16.710%;P_5=16.625%;P_6=16.710%。各项约为总数的 1/6，符合理论情况。 通过模拟可以得到分布直方图(图 1.2)。 123456 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 104 图 1.2 分布直方图 9 二、关于两个服从正态分布的可靠性验证二、关于两个服从正态分布的可靠性验证 机械结构的可靠性设计中的应力-强度干涉理论的理论计算和采用蒙的卡罗方 法对其进行验证。MATLAB 自带有产生正态分布的随机数，所以我们用 MATLAB 对 N=实验次数进行验证。计算次数为 3 次。 理论计算：首先根据可靠度 R=0.999，可得可靠度系数 Z=3.191，然后我们确定应力 XL（正态分布）的参数，均值 22 LS LS =200，方差=5776,；然后再确定强度 XS（正太分布）的参数，均值 L 2 L =500，方差=3062.71。 S 2 S 流程图的绘制 初始化 Z=S-L i=i+1 Z0 n=n+1 i0 P(j)=P(j)+1; end end R(j)=P(j)/N end 11 三、非正态分布的验证三、非正态分布的验证 对于非正态分布的强度-应力随机变量的可靠度计算，我们再 MATLAB 上用 蒙的卡罗方法来验证。验证时我们取样本值 n=，分别验证强度服从期望为 10（及 =）指数分布（x0 时，概率密度为 0）和应力服从期望为 5（及 10 1 =）指数分布（x0 p(j)=p(j)+1; end end R(j)=p(j)/n; end 12 四、四、总结总结 根据强度-应力干涉模型求解系统的可靠度，对于强度和应力都服从正态分布 的干涉模型，查表计算法和蒙的