基本模型教学法之全等模型

基本模型教学法之全等模型肥乡县第三中学 陈志强 我们知道三角形全等的判断和证明是初中学生的“看家本领”，几乎所有的学生对全等的知识都有或多或少的理解。根据中考的常见题目类型和教辅类联系资料，我们可以把全等分为三大类变换，平移、轴对称和旋转，平移和轴对称比较容易看出来，在此不再列举。今天我们重点来研究旋转中的全等。一条线段绕一个端点旋转，就会形成等腰三角形，如图1，图2. 图1 图2一个三角形绕其一个顶点旋转，则会形成两个相似的等腰三角形。如图3. 反过来，如果两个相似的等腰三角形的顶点重合则必然有全等的出现，而且证明全等的条件是SAS.在等腰三角形中比较特殊的就是等腰直角三角形和等边三角形。所以在遇到等腰直角三角形和等边三角形时我们首先应该想到的是全等。这样的例子数不胜数，我们随便举几个中考中的例子。 这类题目由于考查属于直接的考查，难度不大。还近两年，各地中考另辟蹊径，觉得这样直接考查过于简单，把上面的条件和结论做了个微调，给出一个等边或等腰直角或是自己构造等边或等腰直角三角形来证明另一个是等边或等腰直角三角形。 ABCDP图1例4.（2015年北京28题）在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合），连接AP，平移，使点D移动到点C，得到，过点Q作于H，连接AH，PH。(1)若点P在线段CD上，如图1。依题意补全图1；来源:学+科+网Z+X+X+K判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；在证明AH与PH垂直且相等（也就是是等腰直角三角形）时，就是上述结论的逆用。从全等和等腰直角三角形证明另一个为等腰直角三角形.再看一道人教课本上的题目：方法一：在AB上截取BM，使BMBP.（如图）这个方法，尤其是辅助线给人的想法有点不太好想。由于AP=PF.所以APF为等腰直角三角形.由此我们可以想到在点P的位置构造等腰直角三角形（如下图）。例6（2015年重庆25题）如图1，在ABC中，ACB=90，BAC=60，点E角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的线段，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DHAC，垂足为H，连接EF，HF。（1）如图1，若点H是AC的中点，AC=，求AB，BD的长。（2）如图1，求证：HF=EF。（3）如图2，连接CF，CE，猜想：CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由。 图1 图2（3）取AB的中点M，连接CM、FM在RTADE中，AD=2AEFM是ABD的中位线，故AD=2FMFM=AE易证ACM为等边三角形，故AC=CM故ACEMCF 故易证：CEF为等边三角形此题与上面例3,类似，也是从顶点重新构造出一个等边三角形，从全等和等边三角形证明另一个为等边三角形.例7、已知：O是ABC的外接圆，AB=AC，点M为O上一点，且在弦BC下方.（1）如图，若ABC=60，BM=1，CM=3，则AM的长为 ；（2）如图，若ABC=45，BM=1，CM=3，则AM的长为 ；（3）如图，若ABC=30，BM=1，CM=3，则AM的长为 ；（4）如图，若ABC=n，（其中），求出AM的长(答案用含有a，b及n的三角函数的代数式表示). 图 图 图 图 此题中连续四问，都可以运用上述的模型，或者运用旋转。可见此全等模型的重要性，不仅适用于等腰直角三角形、等边三角形，还能适用于一般的等腰三角形。特殊的，如果拓展至正方形乃至正多边形也成立.在此，就不再一一列举。所以我们在日常教学中，应注意模型思想的渗透，当然还有不足之处。我们可以将图3中的线段、角的关系进一步分析研究，会发现更多的结论。也能互换条件、弱化某些线段、