07反函数与复合函数 王振堂 高等数学 教学课件

1.7反函数与复合函数,一、反函数,二、复合函数,一、反函数,销售量x是销售收益y的函数,我们称上述两个函数为互为反函数,设某种商品销售总收益为y销售量为x已知该商品的单价a则销售总收益是x的函数yax反过来对每一个给定的销售总收益y则可以由yax确定出销售量x,一、反函数,定义114(反函数)设函数yf(x)的定义域为D值域为Z如果对于每个yZ存在唯一xD使f(x)y则x是一个定义在Z上的函数记为xf1(y)(yZ)称为yf(x)(xD)的反函数,函数yf(x)与函数xf1(y)是互为反函数,习惯上我们将xf1(y)改写为以x为自变量、以y因变量的函数yf1(x)这时我们说yf1(x)是yf(x)的反函数,例1求y3x1的反函数,由yf(x)3x1可以求出,解,将上式中的x换成y将y换成x得出y3x1的反函数是,一、反函数,定义114(反函数)设函数yf(x)的定义域为D值域为Z如果对于每个yZ存在唯一xD使f(x)y则x是一个定义在Z上的函数记为xf1(y)(yZ)称为yf(x)(xD)的反函数,yf(x)与yf1(x)的关系是x与y互换所以它们的图形是对称于直线yx,一、反函数,定义114(反函数)设函数yf(x)的定义域为D值域为Z如果对于每个yZ存在唯一xD使f(x)y则x是一个定义在Z上的函数记为xf1(y)(yZ)称为yf(x)(xD)的反函数,一个函数如果有反函数它必定是一一对应的函数关系,例如在()内yx2不是一一对应的函数关系所以它没有反函数,而在(0)内yx2有反函数,在(,0)内yx2有反函数,例2求函数的反函数.,解当x0时,由y=x1得,x=y+1,因此所求反函数为,互换自变量和因变量字母,所求反函数为,图形见课本图1-43.,二、复合函数,设yf(u)ug(x)如果将ug(x)代入f(u)中得到的表达式fg(x)是有意义的则yfg(x)是一个以x为自变量y为因变量的新函数称为由yf(u)和ug(x)复合而成的复合函数,二、复合函数,定义115(复合函数)设函数yf(u)的定义域为Df函数ug(x)的值域为G若GDf则yfg(x)确定一个以x为自变量、y为因变量的函数称为yf(u)与ug(x)复合而成的复合函数u称为中间变量,例2设yf(u)lguug(x)1sin2x因为ug(x)的值域G(,)yf(u)的定义域Df(0,)GDf所以y=lg(1sin2x)是复合函数,例3设yf(u)arcsinuug(x)2x2因为ug(x)的值域G2,)yf(u)的定义域Df1,1GDf所以yarcsin(2x2)不是复合函数,二、复合函数,定义115(复合函数)设函数yf(u)的定义域为Df函数ug(x)的值域为G若GDf则yfg(x)确定一个以x为自变量、y为因变量的函数称为yf(u)与ug(x)复合而成的复合函数u称为中间变量,三个函数复合而成,二、复合函数,定义115(复合函数)设函数yf(u)的定义域为Df函数ug(x)的值域为G若GDf则yfg(x)确定一个以x为自变量、y为因变量的函数称为yf(u)与ug(x)复合而成的复合函数u称为中间变量,(2)令0xa1得ax1a所以f(xa)的定义域为a,1a,例5设f(x