北京大学数学分析考研试题及解答

北京大学数学分析考研试题及解答判断无穷积分 的收敛性。解 根据不等式 ，得到 ， ； 从而 绝对收敛，因而收敛，再根据 是条件收敛的，由 ，可知积分 收敛，且易知是是条件收敛的。 例 5.3.39 设 ， 是 的实根，求证： ，且 。证明 （ 1 ）任意 ，当 时，有 ；当 且 充分大时，有 ，所以 的根 存在，又 ， 严格递增，所以根唯一， 。（2） 任意 ， ，所以 的根 ，（ ）。因为若 时， 的根， 不趋向于 。则存在 ，使得 中含有 的一个无穷子列，从而存在收敛子列 ，（ 为某有限数 ）；，矛盾。例、 设 ，讨论级数 的收敛性。解 显然当 时，级数 发散；由 ，得 ，（ 充分小），于是 ，（ 充分大）（1） 当 时， ， 收敛，收敛， ，收敛， 绝对收敛；（2） 当 时， 收敛， 收敛，于是 收敛，从而 收敛， 收敛，而 发散，由 ，得 发散，所以 发散，故此时 条件收敛。（3） 当 时， 发散，而 收敛，此时 发散。 北京大学 2007 年数学分析考研试题及解答1 、 用有限覆盖定理证明连续函数的介值定理。证明 这里只证明连续函数的零点定理，由此即可推证介值定理。命题：若 在 上连续，且 ，那么必然存在一点 ，满足 。采用反正法，若对于任意点 ，有 ，那么显然对于任意 ，仍然有 。 由于 的连续性，我们对于任意一点 ，可以找到一个邻域 ，使得 在 中保号，那么 区间被以上形式的 ， 开区间族所覆盖，由有限覆盖定理，可得存在有限个开区间 就能覆盖闭区间 ，再由覆盖定理的加强形式可得，存在 ，满足当 ， 时，存在 中的某个开集同时覆盖 。那么我们就证明了当 时，有 同号； 现取正整数 ，满足 ，令 ， ，那么我们有 ， 与 同号，从而证明了 与 同号，即 与 同号，这与题目中的 矛盾，证明完毕。2 、 设 在有限区间 内一致连续，证明： 也在 内一致连续。证明 首先证明 都在 上有界，因为 在有限区间 内一致连续，从而存在 ，满足当此 ， 时，有 ，现取正整数 ，满足 ，令 ， ；对任意 ，存在 ，使得 ， ，即得 在 上是有界的； 同理 在 上也是有界的； 下面证明，若 在区间 上有界，且都一致连续，则 在区间 上一致连续。 设 ，满足 ， ;那么由 得一致连续性得到，对于任意 ，存在 ，使得当 ， 时，有 ， 从而 ，即得 在 上一致连续。3 、 已知 在 上有四阶导数，且有 ，证明：存在 ，使得 。证明 不妨设 （这是因为否则可以考虑 ，而 的三、四阶导数与 的相同）。从而我们要证明存在 ，使得 。下面分两种情形来证明之，（ 1 ） ，当 ，由带 Peano 余项的 Taylor 展开式，我们得到 ，那么在 足够小的邻域内有 ，取 ，满足 ，不妨设 ，由于 ，那么存在 ，使得 ，从而取 ， ；当 时，同理可得；（ 2 ） ，那么有 ， ，可以同样 Taylor 展开， ，做法与（ 1 ）相同，证毕。4 、构造一个函数在 上无穷次可微，且 ， ， 并说明满足条件的函数有任意多个。解 构造函数项级数，显然此幂级数的收敛半径为 ，从而可以定义函数： ，容易验证此函数满足： ， ，考虑到函数 ，由我们熟知的结论知， 在 上无穷次可微，且 ， ，对任意 在 上无穷次可微的函数，从而 也满足题目要求条件，结论得证。5 、设 ， 是 上的连续函数，证明满足 的 点有无穷多个。证明 设 ， 。那么我们有 ， ，下面分两种情况讨论：（1） 若 或 有一个成立时，当 ，我们有 ， ，从而有 ， ，从而 为常数，此时结论显然成立；当 时，我们有 ， ，从而 为常数，此时结论显然成立；（ 2 ） 我们可以选取无穷多条连接 和 的不相交的连续曲线， ；显然 连续， ，由连续函数的介值定理，存在 ， ，使得 ，即 ，结论得证。6 、求 ，其中 是 ，方向向上。解法 1 设 ， ；。解法 2 记 ，利用高斯公式，得。7 、 设 是 上的连续函数，试作一无界区域 , 使 在 上的广义积分收敛。解 首先取 ，使得 ，满足 ；再选取 ，使得 ，满足 ；依次选取 ，使得 ，满足 ，取 ， 是一个无界区域，可以验证 在 上的广义积分收敛。8 、 设 ，讨论不同的 对 在 上积分的敛散性。解 显然在 时， 发散，下面只对 时讨论。由 ，当 时， 收敛，时， 发散，当 时， 发散； 时， 收敛；当 时， 收敛；所以（ 1 ）当 时，由 ，得 绝对收敛；（2） 当 时， ，（ 充分大），收敛， ，由于 发散，此时， 发散，于是 发散，而 ， 收敛， 收敛；故当 时， 条件收敛；（ 3 ） 时， ，（ 充分大）；由于 发散，于是 发散，而 收敛，故此时 发散。9 、 记 ，是否存在 以及函数 在 上可导，且 ， 。解 设 ，知级数 在 内是收敛的，从而 在 内有定义；显然 ；由于 ， 都在 ， （ 为任意大于 0 的常数）内都是一致收敛的。所以 ，从而 在 的某个邻域 上偏导数 都存在，且是连续的，又有 ，到这里我们已经验证了隐函数定理的三条件：（ 1 ） ， 为刚刚解答中 的某个邻域，（ 2 ） ，（ 3 ） ，从而根据隐函数定理可知存在这样的 满足题目中的条件，结论得证。事实上， ，显然 ，是方程 的唯一解。10 、设 在 上黎曼可积，证明： 的傅里叶展开式有相同系数的充要条件是 。证明 在这里我们只证明 的情况（对于一般的情况只是区间的平移和拉伸）。记 为 的傅里叶系数；为 的傅里叶系数，