2016年4月广西柳州市高考数学模拟试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年广西柳州市高考数学模拟试卷（文科）（ 4 月份） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） 1已知集合 A=x|x（ x 2） 0， B= 2， 1， 0， 1， 2，则 AB=（ ） A 2， 1 B 1， 2 C 1， 0， 1， 2 D 0， 1， 2 2已知 zi=i 1，则复数 z 在复平面上所对应的点位于（ ） A实轴上 B虚轴上 C第一象限 D第二象限 3命题 “ x R， 1”的否定是（ ） A x R， 1 B x R， 1 C x R， D x R， 1 4已知等差数列 ，若 a6+20，则 2值为（ ） A 24 B 24 C 20 D 20 5已知函数 f（ x） =x+）（ 0 ）的部分图象如图所示， f（ =f（ 0），则正确的选项是（ ） A B C D 6设双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点为 F，点 F 到渐近线的距离为 2a，则该双曲线的离心率等于（ ） A B C D 3 7若 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x 2y 的最小值是（ ） A 5 B C 0 D 2 8阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ） 第 2 页（共 21 页） A 2 B C 1 D 2 9函数 g（ x） =+3b（ b R）在 x=1 处的切线过点（ 0， 5），则 b=（ ） A B C D 10某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（ ）A 4 B 2 C D 11已知抛物线 C： p 0）的焦点为 F，过点 F 的直线与抛物线 C 交于点 A， B 两点，且直线 l 与圆 px+=0 交于 C， D 两点，若 |2|则直线 l 的斜率为（ ） A B C 1 D 12函数 f（ x）的定义域为实数 R， f（ x） = 对任意的 x R 都有 f（ x+2） =f（ x 2）若在区间 5， 3上函数 g（ x） =f（ x） mx+m 恰好有三个不同的零点，则实数 m 的取值范围是（ ） 第 3 页（共 21 页） A B C D 二、填空题（本答题共 4 小题，每小题 5 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上） 13在长为 2 的线段 任意取一点 C，以线段 半径的圆面积小于 的概率为_ 14已知向量 =（ x， y）， =（ 1， 2 ），且 + =（ 1， 3），则 等于 _ 15已知正实数 x， y 满足 xy=x+y，若 m 2 恒成立，则实数 m 的最大值是 _ 16数列 足 ，且 n（ n N*），则数列 的前 10 项和为 _ 三、解答题（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17在 ，角 A， B， C 的对应边分别为 a， b， c，且三角形的面积为 S= （ ）求角 B 的大小； （ ）若 c=8，点 D 在 ，且 ， ，求 b 的值 18某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活水平用水量逐年上升，下表是 2011 至 2015年的统计数据： 年份 2011 2012 2013 2014 2015 居民生活用水量（万吨） 236 246 257 276 286 （ ）利用所给数据求年居民生活 用水量与年份之间的回归直线方程 y=bx+a； （ ）根据改革方案，预计在 2020 年底城镇化改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预计该城市 2023 年的居民生活用水量 参考公式： 19如图，在三棱锥 P ， 是以 斜边的等腰直角三角形，若 ， D 是 中点 （ 1）证明： （ 2）求 平面 成角的正弦值 第 4 页（共 21 页） 20已知椭圆 =1（ a 0， b 0）的右焦点为 F（ 1， 0），左顶点到点 F 的距离为+1 （ ）求椭圆 E 的方程； （ ）设过点 F，斜率为 k 的直线 l 与椭圆 E 交于 A， B 两点，且与短轴交于点 C，若 面积相等，求直线 l 的方程 21已知函数 f（ x） = x+a R） （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）设 g（ x） =2x+2a，若对任意 （ 0， +），均存在 0， 1，使得 f（ g（ 求 a 的取值范围 四 2， 23， 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号 .选修 4何证明选讲 22如图， O 的直径，过点 B 作 O 的切线 O 于点 E， 延长线交 点 D （ ）求证： D （ ）若 D 为 中点，且 ，求 长 选修 4标系与参数方程 23在直角坐标系 ，圆 参数方程分别是 （ 为参数）和（ 为参数），以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （ 1）求圆 极坐标方程； 第 5 页（共 21 页） （ 2）射线 =a 与圆 交点为 O、 P，与圆 交点为 O、 Q，求 |最大值 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x a|+m|x+a| （ ）当 m=a= 1 时，求不等式 f（ x） x 的解集； （ ）不等式 f（ x） 2（ 0 m 1）恒成立时，实数 a 的取值范围是 a|a 3 或 a 3，求实数 m 的集合 第 6 页（共 21 页） 2016 年广西柳州市高考数学模拟试卷（文科）（ 4 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） 1已知集合 A=x|x（ x 2） 0， B= 2， 1， 0， 1， 2，则 AB=（ ） A 2， 1 B 1， 2 C 1， 0， 1， 2 D 0， 1， 2 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 A 中不等式的解集确定出 A，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解：由 A 中的不等式解得： 0 x 2，即 A=0， 2， B= 2， 1， 0， 1， 2， AB=0， 1， 2， 故选： D 2已知 zi=i 1，则复数 z 在复平面上所对应的点位于（ ） A实轴上 B虚轴上 C第一象限 D第二象限 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义 【分析】 利用复数的运算法则、几何意义即可得出 【解答】 解： zi=i 1， i（ i 1），化为： z=1+i， 则复数 z 在复平面上所对应的点（ 1， 1）位于第一象限 故选： C 3命题 “ x R， 1”的否定是（ ） A x R， 1 B x R， 1 C x R， D x R， 1 【考点】 命题的否定 【分析】 根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可 【解答】 解：命题是特称命题，则命题的否定是： x 0， 1， 故选： D 4已知等差数列 ，若 a6+20，则 2值为（ ） A 24 B 24 C 20 D 20 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 由已知条件利用等差数列的通项公式能求出 2值 【解答】 解： 等差数列 ， a6+20， 5（ d） =120， d=24， 2a8=d=24 故选： A 第 7 页（共 21 页） 5已知函数 f（ x） =x+）（ 0 ）的部分图象如图所示， f（ =f（ 0），则正确的选项是（ ） A B C D 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 根据函数 f（ x）的部分图象知 f（ 0） = ，分别验证 A、 B、 C、 D 选项是否满足条件即可 【解答】 解：根据函数 f（ x） =x+）（ 0 ）的部分图象知， f（ 0） = ， 对于 A， + ） = ，满足题意； 对于 B， + ） = ，不满足题意； 对于 C， + ） =，不满足题意； 对于 D， + ） = ，不满足题意； 故选： A 6设双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点为 F，点 F 到渐近线的距离为 2a，则该双曲线的离心率等于（ ） A B C D 3 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设 F（ c， 0），渐近线方程为 y= x，运用点到直线的距离公式可得 b=2a，由 a， b，c 的关系和点到直线的距离公式，可得 c= a，运用离心率公式计算即可得到所求值 【解答】 解：由题意可设 F（ c， 0），渐近线方程为 y= x， 由题意可得 d= =b=2a， 第 8 页（共 21 页） 可得 c= = a， 即有离心率 e= = 故选： C 7若 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x 2y 的最小值是（ ） A 5 B C 0 D 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值 即可 【解答】 解：由 z=x 2y 得 y= ， 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分 平移直线 y= ， 由图象可知当直线 y= ，过点 A 时，直线 y= 的截距最大，此时 z 最小， 由 ，解得 ，即 A（ 3， 4） 代入目标函数 z=x 2y， 得 z=3 8= 5， 目标函数 z=x 2y 的最小值是 5 故选： A 8阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ） 第 9 页（共 21 页） A 2 B C 1 D 2 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 A 的值，模拟程序 的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：模拟执行程序，可得： i=0， A=2 执行循环体， i=1， A= ， 不满足条件 i 2016，执行循环体， i=2， A= 1； 不满足条件 i 2016，执行循环体， i=3， A=2； 不满足条件 i 2016，执行循环体， i=4， A= ， 循环下去，而 20116=3 672， i=2017 时，与 i=4 输出值相同，即 A= 故选： B 9函数 g（ x） =+3b（ b R）在 x=1 处的切线过点（ 0， 5），则 b=（ ） A B C D 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出 g（ x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用两点的斜率公式，解方程，即可得到 b 的值 【解答】 解：函数 g（ x） =+3b 的导数为 g（ x） =3x+ ， 第 10 页（共 21 页） 可得 g（ x）在 x=1 处的切线斜率为 k=11，切点为（ 1， +b）， 由两点的斜率公式可得 11= ， 解得 b= 故选： B 10某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（ ）A 4 B 2 C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度、线面的位置关系，由线面垂直的定义判断几何体四个面中的直角三角形，由勾股定理和 三角形面积公式求出直角三角形的面积和 【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，且 平面 底面是的等腰三角形，底 ， 上的高为 2， 平面 直角三角形， ， 直角三角形的面积和 S= =2+ 故选： D 11已知抛物线 C： p 0）的焦点为 F，过点 F 的直线与抛物线 C 交于点 A， B 两点，且直线 l 与圆 px+=0 交于 C， D 两点，若 |2|则直线 l 的斜率为（ ） 第 11 页（共 21 页） A B C 1 D 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 由 F ，由 px+=0 配方为： +y2=得：|2p设直线 l 的方程为 y=k ， A（ B（ 与抛物线方程联立化为： x+ =0，利用根与系数的 关系及其抛物线的定义可得：|x1+x2+p=2p+ 利用 |2|即可得出 【解答】 解：由 F ，由 px+=0 配方为： +y2=得：|2p 设直线 l 的方程为 y=k ， A（ B（ 联立 ，化为： x+ =0， x1+x2=p+ |x1+x2+p=2p+ 由 |2| 2p+ =4p，可得 ，解得 k= 1 故选： C 12函数 f（ x）的定义域为实数 R， f（ x） = 对任意的 x R 都有 f（ x+2） =f（ x 2）若在区间 5， 3上函数 g（ x） =f（ x） mx+m 恰好有三个不同的零点，则实数 m 的取值范围是（ ） A B C D 【考点】 分段函数的应用；函数零点的判定定理 【分析】 由函数的性质得到周期性，由函数零点转换为两图象相交，由数形结合得到 m 的范围 【解答】 解： 任意的 x R 都有 f（ x+2） =f（ x 2） 函数 f（ x）的周期是 4， 在区间 5， 3上函数 g（ x） =f（ x） mx+m 恰好有三个不同的零点， 即函数 f（ x）与函数 h（ x） =m 在区间 5， 3上有三个不同的交点， 在同一直角坐标系上画出两个函数的图象： 第 12 页（共 21 页） 得到 m 即 m ， 故选 B 二、填空题（本答题共 4 小题，每小题 5 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上） 13在长为 2 的线段 任意取一点 C，以线段 半径的圆面积小于 的概率为 【考点】 几何概型 【分析】 设 AC=x，根据圆的面积 小于 ，得到 0 x 1，然后结合几何概型的概率公式进行计算即可 【解答】 解：设 AC=x， 若以线段 半径的圆面积小于 ， 则 ，则 0 x 1， 则对应的概率 P= ， 故答案为： 14已知向量 =（ x， y）， =（ 1， 2 ），且 + =（ 1， 3），则 等于 5 【考点】 向量的模；向量的加法及其几何意义 【分析】 根据向量 =（ x， y）， =（ 1， 2 ），且 + =（ 1， 3）三个条件得到 的坐标，本题要求一个向量的模长，这种问题一般对要求的结果先平方，变为已知的向量的模长和数量积的问题 【解答】 解： 向量 =（ x， y）， =（ 1， 2 ）， =（ x 1， y+2） + =（ 1， 3）， （ x 1， y+2） =（ 1， 3） x 1=1， y+2=3， 第 13 页（共 21 页） x=2， y=1， =（ 2， 1） | |= ， | |= ， =0， | 2 |= = =5， 故答案为： 5 15已知正实数 x， y 满足 xy=x+y，若 m 2 恒成立，则实数 m 的最大值是 6 【考点】 基本不等式 【分析】 求出 最大值，问题转化为 m 2 4，求出 m 的最大值即可 【解答】 解：由 x 0， y 0， xy=x+y 2 ， 得： 4， 于是由 m 2 成立， 得： m 2 4， 解得： m 6， 故答案为： 6 16数列 足 ，且 n（ n N*），则数列 的前 10 项和为 【考点】 数列的求和 【分析】 由 ，且 n，利用 “累加求和 ”方法可得 利用等比数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 解： ，且 n， n 2 时， 1） +（ 1 2） +（ +n 1+2n 2+2+2= +1=2n，当 n=1 时也成立， n = 数列 的前 10 项和 = = 故答案为： 三、解答题（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17在 ，角 A， B， C 的对应边分别为 a， b， c，且三角形的面积为 S= （ ）求角 B 的大小； （ ）若 c=8，点 D 在 ，且 ， ，求 b 的值 第 14 页（共 21 页） 【考点】 正弦定 理；余弦定理 【分析】 （ I）由 S 得出 ，故而 B= ； （ 使用正弦定理求出 使用余弦定理计算 【解答】 解：（ I）在 ， S ， B= （ ， ， 在 ，由正弦定理得 ，即 ， 解得 在 ，由余弦定理得 29+4 4=49， 即 b=7 18某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活水平用水量逐年上升，下表是 2011 至 2015年的统计数据： 年份 2011 2012 2013 2014 2015 居民生活用水量（万吨） 236 246 257 276 286 （ ）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归直线方程 y=bx+a； （ ）根据改革方案，预计在 2020 年底城镇化改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预计该城市 2023 年的居民生活用水量 参考公式： 【考点】 线性回归方程 【分析】 （ I）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程； （ 于到 2020 年用水量趋于稳定，故 2023 年的用水量约等于 2020 年的用水量，把 x=2020代入回归方程求出用水量的估计值 【解答】 解：（ I） =2013， = = 第 15 页（共 21 页） =（ 2） （ +（ 1） （ +0+1 30 =4+1+0+1+4=10 b= =13， 回归方程为 y 3（ x 2013），即 y=13（ x 2013） + （ x=2020 时， y=13+吨） 答：该城市 2023 年的居民生活用水量预计为 吨 19如图，在三棱锥 P ， 是以 斜边的等腰直角三角形，若 ， D 是 中点 （ 1）证明： （ 2）求 平面 成角的正弦值 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质 【分析】 （ 1）利用直线平面的垂直来证明得出 平面 利用转为直线直线的垂直证明 （ 2）作出 平面 成角的角，转化为三角形求解即可 【解答】 证明：（ 1）取 点 E， 是以 斜边的等腰直角三角形 E=E， 面 ：（ 2） ， 角形 正三角形， 过 P 作 平面 过 D 作 行 平面 连 所求角 第 16 页（共 21 页） ， ， 20已知椭圆 =1（ a 0， b 0）的右焦点为 F（ 1， 0），左顶点到点 F 的距离为+1 （ ）求椭圆 E 的方程； （ ）设过点 F，斜率为 k 的直线 l 与椭圆 E 交于 A， B 两点，且与短轴交于点 C，若 面积相等，求直线 l 的方程 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）由题意可得 c=1， a+c=1+ ，解得 a，由 b= ，可得 b，进而得到椭圆方程； （ ）设过点 F，斜率为 k 的直线 l 的方程为 y=k（ x 1）， C（ 0， k），联立椭圆方程，消去 y，可得 x 的方程，运用韦达定理，由三角形的面积公式可得 |即有线段中点和线段 中点重合，运用中点坐标公式，解方程可得斜率 k，进而得到所求直线的方程 【解答】 解：（ ）哟题意可得 c=1， a+c=1+ ， 解得 a= ， b= =1， 即有椭圆的方程为 +； （ ）设过点 F，斜率为 k 的直线 l 的方程为 y=k（ x 1）， C（ 0， k）， 联立 ，可得（ 1+242=0， 设 A（ B（ 则 =164（ 1+2 22） =8+80 成立， x1+， 由 面积相等，可得 | 即有线段 中点和线段 中点重合， 中点的横坐标为 ， 中点的横坐标为 ， 即有 = ， 解得 k= 第 17 页（共 21 页） 则 所求直线的方程为 y= （ x 1），即为 x y 1=0 21已知函数 f（ x） = x+a R） （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）设 g（ x） =2x+2a，若对任意 （ 0， +），均存在 0， 1，使得 f（ g（ 求 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的 单调区间即可； （ ）问题转化为 f（ x） g（ x） 别求出其最大值，得到关于 a 的不等式，解出即可 【解答】 解：（ ） f（ x） = 1+ = （ x 0）， a 0 时，由于 x 0，故 x a 0， f（ x） 0， f（ x）在（ 0， +）递减， a 0 时，由 f（ x） =0，解得： x=a， 在区间（ 0， a）上， f（ x） 0，在区间（ a， +）上， f（ x） 0， 函数 f（ x）在（ 0， a）递增，在（ a， +）递减， 综上， a 0 时， f（ x）在（ 0， +）递减，无递增区间， a 0 时，函数 f（ x）在（ 0， a）递增，在（ a， +）递减； （ ）由已知，转化为 f（ x） g（ x） g（ x） a， 由（ ）得： a 0 时， f（ x）在（ 0， +）递减，值域是 R，不合题意， a=0 时， f（ x） = x 0=g（ x） 合题意， a 0 时， f（ x）在（ 0， a）递增，在（ a， +）递减， 故 f（ x）的极大值即为最大值， f（ a） = a+ 2a a+得： 0 a 综上， a 的范围是 0， 四 2， 23， 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号 .选修 4何证明选讲 22如图， O 的直径，过点 B 作 O 的切线 O 于点 E， 延长线交 点 D （ ）求证： D （ ）若 D 为 中点，且 ，求 长 【考点】 与圆有关的比例线段；相似三角 形的性质 第 18 页（共 21 页） 【分析】 （ ）连接 切线的性质和相似三角形的判定定理可得 可得证； （ ）由（ ）知 B合条件可得 ，运用直角三角形的勾股定理可得 ，由勾股定理可得 由切割线定理可得 E可得到所求值 【解答】 解：（ ）证明：连接 圆 O 的切线， 可得 0， A， 由 E，可得 A= 由 得 又 C= C，可得 即有 = ， 可得 B （ ）由（ ）知 B D 为 中点，且 ， 可得 =4，即 ， 又 C） 2=（ E） 2， =， 解得 ， ， 又 = = ， 由切割线定理可得 E 则 = = 选修 4标 系与参数方程 23在直角坐标系 ，圆 参数方程分别是 （ 为参数）和（ 为参数），以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （ 1）求