高考数学大一轮复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 13.2 综合法、分析法与反证法课件 理 北师大版.ppt

基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.综合法,知识梳理,(1)定义：从出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过，一步一步地接近要证明的，直到完成命题的证明.我们把这样的思维方法称为.,(2)框图表示：(其中p表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，q表示要证明的结论).,命题的条件,演绎推理,结论,综合法,2.分析法,(1)定义：从出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等.我们把这样的思维方法称为.,求证的结论,充分条件,分析法,3.反证法,我们可以先假定命题结论的，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立.这种证明方法叫作反证法.反证法的证题步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出；(3)否定假设，肯定.,反面成立,矛盾,结论,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明.()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.()(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”.()(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.()(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.(),考点自测,1.若a，b，c为实数，且a0，abb2，由得a2abb2.,2.(2016北京)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则a.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球b.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多c.乙盒中红球不多于丙盒中红球d.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多,答案,解析,取两个球往盒子中放有4种情况：红红，则乙盒中红球数加1；黑黑，则丙盒中黑球数加1；红黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；黑红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样，所以和的情况一样多.和的情况完全随机，和对b选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响.和出现的次数是一样的，所以对b选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上选b.,a2b21a2b20(a21)(b21)0.,答案,解析,a0，b0且ab,答案,解析,答案,解析,f(x)sinx在区间(0，)上是凸函数，且a、b、c(0，).,题型分类深度剖析,题型一综合法的应用,例1(2016重庆模拟)设a，b，c均为正数，且abc1.证明：,证明,由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，得a2b2c2abbcca，由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.,证明,(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性.(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.,思维升华,跟踪训练1对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足：对任意的x0,1，总有f(x)0；f(1)1；若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数.(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)0；,证明,取x1x20，则x1x201，f(00)f(0)f(0)，f(0)0.又对任意的x0,1，总有f(x)0，f(0)0.于是f(0)0.,解答,对于f(x)2x，x0,1，f(1)2不满足新定义中的条件，f(x)2x(x0,1)不是理想函数.对于f(x)x2，x0,1，显然f(x)0，且f(1)1.对任意的x1，x20,1，x1x21，f(x1x2)f(x1)f(x2),即f(x1x2)f(x1)f(x2).f(x)x2(x0,1)是理想函数.,综上，f(x)x2(x0,1)是理想函数，,即f2(x1x2)f(x1)f(x2)2.,f(x1x2)f(x1)f(x2)，不满足条件.,题型二分析法的应用,证明,所以cosx1cosx20，sin(x1x2)0,1cos(x1x2)0，,故只需证明1cos(x1x2)2cosx1cosx2，,即证1cosx1cosx2sinx1sinx22cosx1cosx2，,即证cos(x1x2)0,0，,(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.,思维升华,跟踪训练2(2016重庆月考)设a0，b0,2cab，求证：(1)c2ab；,证明,证明,(ac)2c2aba(ab2c)2)，使函数h(x)是区间a，b上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.,解答,解得ab，这与已知矛盾.故不存在.,命题点3证明唯一性命题例5已知m是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意f(x)m，方程f(x)x0有实数根；函数f(x)的导数f(x)满足0f(x)1.,解答,当x0时，f(0)0，所以方程f(x)x0有实数根0；,(2)集合m中的元素f(x)具有下面的性质：若f(x)的定义域为d，则对于任意m，nd，都存在x0(m，n)，使得等式f(n)f(m)(nm)f(x0)成立.试用这一性质证明：方程f(x)x0有且只有一个实数根.,证明,假设方程f(x)x0存在两个实数根，()，则f()0，f()0.不妨设，根据题意存在c(，)，满足f()f()()f(c).因为f()，f()，且，所以f(c)1.与已知0f(x)1；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是a.b.c.d.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,但a2，故推不出；若a2，b3，则ab1，故推不出；对于，即ab2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a1且b1，则ab2与ab2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,7.(2016全国甲卷)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_.,答案,解析,1和3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，又甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,若二次函数f(x)0在区间1,1内恒成立，,8.若二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1，在区间1,1内至少存在一点c，使f(c)0，则实数p的取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,所以要证的不等式成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由函数f(x1)与f(x)的图像关于y轴对称，可知f(x1)f(x).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,证明,(1)证明：函数f(x)在(1，)上为增函数；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,证明,任取x1，x2(1，)，不妨设x10.a1，1且ax10，0.又x110，x210，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,故函数f(x)在(1，)上为增函数.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)用反证法证明方程f(x)0没有负数根.,证明,假设存在x01，0ax01，,故方程f(x)0没有负数根.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.(2015陕西)设fn(x)是等比数列1，x，x2，xn的各项和，其中x0，nn，n2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,证明,fn(x)fn(x)21xx2xn2，则fn(1)n10，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,又fn(x)12xnxn10(x0)，,因为xn是fn(x)的零点，所以fn(xn)0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x)，比较fn(x)与gn(x)的大小，并加以证明.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,设h(x)fn(x)gn(x),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,当x1时，fn(x)gn(x)；,所以h(x)在(0,1)上递增，在(1，)上递减，所以h(x)h(1)0，即fn(x)gn(x)，综上所述，当x1时，fn(x)gn(x)；当x1时，fn(x)gn(x).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,方法二由题设，fn(x)1xx2xn，,当x1时，fn(x)gn(x)，当x1时，用数学归纳法可以证明fn(x)gn(x)，,所以f2(x)g2(x)成立，,假设nk(k2)时，不等式成立，即fk(x)gk(x)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,那么，当nk1时，,fk1(x)fk(x)xk1gk(x)xk1,令hk(x)kxk1(k1)xk1(x0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,则hk(x)k(k1)xkk(k1)xk1k(k1)xk1(x1)，所以当0x1时，hk(x)0，hk(x)在(0,1)上递减；当x1时，hk(x)0，hk(x)在(1，)上递增，所以hk(x)hk(1)0，,故fk1(x)gk1(x)，即nk1时不等式也成立，,由和知，对一切n2的整数，都有fn(x)gn(x).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,方法三由已知，记等差数列为ak，等比数列为bk，k1，2，n1，,则a1b11，an1bn1xn，,bkxk1(2kn)，令mk(x)akbk,当x1时，akbk1，所以fn(x)gn(x)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(k1)xk2(xnk11)，,而2kn，所以k10，nk11，,若0x1，xnk11，mk(x)0；,若x1，xnk11，mk(x)0，,从而mk(x)在(0,1)上递减，在(1，)上递增，,所以mk(x)mk(1)0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,所以当x0且x1时，akbk(2kn)，,又a1b1，an1bn1，,故fn(x)gn(x)，,综上所述，当x1时，fn(x)gn(x)；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,当x1时，fn(x)gn(x)