2020届湖北省武汉市武昌区高三元月调研考试数学（文）试题（PDF版）

页 1 第 武昌区 2020 届高三年级元月调研考试 文科数学 注意事项： 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1已知集合02| 2 xxxA ，02|xxB，则BA A) 1, 2( B. )0 , 1( C)2 , 0( D)2 , 1( 2已知复数z满足i 2) i1 (z，则z在复平面内对应的点位于 A第一象限 B. 第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知 n a是各项均为正数的等比数列， 3 1 1 a，12 23 aa，则 n a A 1 3 n B. 2 3 n C 1 2 n D 2 2 n 4已知2 . 0log 1 . 0 a，2 . 0log 1 . 1 b， 2 . 0 1 . 1c，则a，b，c的大小关系为 Acba B.bca Cabc Dbac 5等腰直角三角形ABC中， 90C，2 BCAC，点P是斜边AB上一点，且PABP2，则 )(CBCACP A4 B. 2 C2 D4 6从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则 红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A 3 1 B. 2 1 C 3 2 D 6 5 7已知数列 n a中，1 1 a，nnSn 2 1 2 3 2 ，设 1 1 nn n aa b，则数列 n b的前n项和为 A 13 n n B. 13 3 n n C 23 1 n n D 23 33 n n 关注公众号：加油高三 获取等多资料 页 2 第 8 已知三棱锥ABCS 的所有顶点都在球 O 的球面上， SA平面ABC， 120BAC，2ACABSA， 则球 O 的表面积为 A4 B. 54 C20 D63 9已知双曲线1 54 22 yx 的左焦点为F，点P为其右支上任意一点，点M的坐标为) 3 , 1 (， 则PMF周长的最小值为 A105 B1010 C135 D139 10函数)sin()(xAxf（0A，0， 2 0）的部分图象如图所示，给出下列说法： 直线 12 5 x为函数)(xf的一条对称轴； 点)0 , 3 2 (为函数)(xf的一个对称中心； 函数)(xf的图象向右平移 3 个单位后得到 函数xy2sin2的图象. 其中，正确说法的个数是 A0 B.1 C2 D3 11 已知直线l与抛物线xy6 2 交于不同的两点A，B， 直线OA，OB的斜率分别为 1 k， 2 k， 且3 21 kk， 则直线l恒过定点 A)0 , 36( B. )0 , 33( C)0 , 32( D )0 , 3( 12已知函数 . 0,ln , 0, 1 )( xx xax xf若函数)(xf的图像上存在关于坐标原点对称的点，则实数a的取值范围 是 A0 ,( B. 1 ,( C0 , 2 1 D 1 , 2 1 ( 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13函数xxy2coscos)(Rx的最大值为_. 14若直线l：023mmyx被圆C:0242 22 xyx截得的线段最短，则实数m的值为_. 15已知一组数据 10，5，4，2，2，2，x，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的 2 倍，则x所有 可能的取值为_. 16如图， 已知平行四边形ABCD中， 60BAD，ADAB2，E为边AB的中点， 将ADE 沿直线DE 关注公众号：加油高三 获取等多资料 页 3 第 A B E C D M A1 翻折成DEA1.若M为线段CA1的中点，则在ADE翻折过程中，有下列三个命题： 线段BM的长是定值； 存在某个位置，使CADE 1 ； 存在某个位置，使/MB平面DEA1. 其中正确的命题有_. (填写所有正确命题的编号） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17 （本题 12 分） 在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cBAbBBa 2 3 sincoscossin. （1）求B； （2）若2b，求ABC的面积的最大值. 18 （本题 12 分） 如图， 在直三棱柱 111 CBAABC 中，ABAC，2 1 ACABAA，D，E，F分别为AB，BC，BB1 的中点. （1）证明：FA1平面DEB1； （2）求直线BE与平面DEB1所成角的正弦值. A1 C B A B1 D C1 E F 关注公众号：加油高三 获取等多资料 页 4 第 19 （本题 12 分） 为了增强消防意识，某部门从男，女职工中各随机抽取了 20 人参加消防知识测试（满分为 100 分） ， 这 40 名职工测试成绩的茎叶图如下图所示： （1）根据茎叶图判断男职工和女职工中，哪类职工的测试成绩更好？并说明理由； （2） （）求这 40 名职工成绩的中位数m，并填写下面列联表： 超过m的人数 不超过m的人数 男职工 女职工 （）如果规定职工成绩不少于 m 定为优秀，根据（）中的列联表，能否有 99%的把握认为消防知 识是否优秀与性别有关？ 附附： )()()( )( 2 2 dbcadcba bcadn K . P（kK 2 ） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 20 （本题 12 分） 已知椭圆E：)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭 男 女 8 6 5 5 6 8 9 9 7 6 2 7 0 1 2 2 3 4 5 6 6 8 9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 8 1 4 4 5 2 1 1 0 0 9 0 关注公众号：加油高三 获取等多资料 页 5 第 圆上的点的最短距离为 1. （1）求椭圆E的方程； （2）过点)0 , 4(M的直线l与椭圆交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为 A ，求证：直线B A 过 定点，并求出该定点的坐标. 21 （本题 12 分） 已知函数2 1 ln) 1()(ax x xaxf. （1）讨论)(xf的单调性； （2）若)(xf有两个极值点 1 x， 2 x)( 21 xx ，且至少存在两个零点，求 21 21 )()( xx xfxf 的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修 4-4：坐标系与参数方程（本题 10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线 C1的参数方程为 ty tx 2 2 2 , 2 2 （t 为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴正 半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2的极坐标方程为 . 2 2 cos23 9 . （1）写出 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （2）若 1 C与y轴交于点M， 1 C与 2 C相交于A、B两点，求|MBMA 的值 23选修 4-5：不等式选讲 （本题 10 分） （1）已知|)(xaxxf，若存在实数x，使2)(xf成立，求实数a的取值范围； （2）若0m，0n，且3nm，求证：3 41 nm 关注公众号：加油高三 获取等多资料 页 6 第 武昌区 2020 届高三年级元月调研考试 文科数学参考答案及评分细则 一、选择题： 一、选择题： 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 B A B D D C A C D C C B 二、填空题： 二、填空题： 13. 8 9 14. 1 15. 11，3，17 16. 三、解答题： 解： 三、解答题： 解： （1）由正弦定理，知CBABBBAsin 2 3 sincossincossinsin， 即CBABsin 2 3 )sin(sin，CBABsin 2 3 )sin(sin， 2 3 sinB， 所以 3 B. （4 分） （2）由余弦定理，知Baccabcos2 222 ，即 3 cos24 22 acca， 所以acacca 22 4，当且仅当ca 时取等号. 所以4ac，所以3sin 2 1 BacS ABC . （12 分） 18 （本题 12 分） 解：解： （1）因为ABAC，ACDE /，所以ABDE . 因为 1 AA平面ABC，DE平面ABC， 所以DEAA 1 . 因为AAAAB 1 ，所以DE平面BBAA 11 . 因为FA1平面BBAA 11 ，所以FADE 1 . 易证FADB 11 ，因为DEDDB 11 ， 所以FA1平面DEB1. （6 分） （2）取AA1的中点G，连结BG交DB1于H. 由（1）知FA1平面DEB1，而FABG 1 /， 所以BG平面DEB1. 连结EG，则BEG为直线BE与平面DEB1所成的角. 在BDB1Rt，求得 5 2 BG. 又因为2BE，所以 5 10 sin BE BG BEG. （12 分） 19 （本题 12 分） 解：解： （1）由茎叶图可知，男职工的成绩更好，理由如下： 男职工的成绩的中位数为 85.5 分，女职工的成绩的 中位数为 73.5 分； A1 C B A B1 D C1 E F 关注公众号：加油高三 获取等多资料 页 7 第 男职工的成绩的的平均数髙于 80 分，女职工的成绩的平均数低于 80 分； 男职工的成绩中，有75%的成绩不少于 80 分，女职工的成绩中，有75%的成绩至多 79 分； 男职工的成绩分布在茎 8 上的最多，关于茎 8 大致呈对称分布；女职工的成绩的分布在茎 7 上的最 多，关于茎 7 大致呈对称分布. 因此，男职工的成绩更好. （4 分） （注注：以上给出了 4 种理由，考生答出其中一种或其他合理理由均可得 2 分） （2） （）由茎叶图可知：80 2 9179 m80m，列表如下： 超过m 不超过m 男职工 15 5 女职工 5 15 （8 分） （）由表中数据，计算 2 2 40 (15 155 5) 106.635 20202020 k ，所以，有99.9%的把握认为消防知识 是否优秀与性别有关. （12 分） 20 （本题 12 分） 解：解： （1）由 , 1 , 3 ca c b 及 222 cba，得2a，3b. 所以，椭圆E的方程为1 34 22 yx . （4 分） （2）设直线l的方程为4myx，代入椭圆方程，并整理，得 03624)43( 22 myym.由0，得22m. 设),( 11 yxA，),( 22 yxB，则 43 24 2 21 m m yy， 43 36 2 21 m yy. 因为 A ),( 11 yx ，所以 12 12 xx yy k BA ，于是，直线B A 的方程为)( 1 12 12 1 xx xx yy yy . 即 )( )( 12 121 1 12 12 yy xxy xx xx yy y ，)( 12 1221 12 12 yy yxyx x xx yy y ， 将4 11 myx，4 22 myx， 43 24 2 21 m m yy， 43 36 2 21 m yy代入， 得) 1( 12 12 x xx yy y，所以，直线B A 过定点)0 , 1 (. （12 分） 另解另解：在 11 12 12 )(yxx xx yy y 中，令0y，得 1 )(42)( 21 2121 12 1221 1 12 121 yy yyymy yy yxyx x yy xxy x. 所以，直线B A 过定点)0 , 1 (. （12 分） 21 （本题 12 分） 解：解： （1）)(xf的定义域为), 0( ，且 2 ) 1)(1( )( x axx xf . 令0)( x f，得1x或 a x 1 . 当0a时，01ax，)(xf在) 1 , 0(单调递减，在), 1 ( 单调递增； 当10a时，)(xf在) 1 , 0(单调递减，在) 1 , 1 ( a 单调递增，在), 1 ( a 单调递减； 当1a时，)(xf在), 0( 单调递减； 关注公众号：加油高三 获取等多资料 页 8 第 当1a时，)(xf在) 1 , 0( a 单调递减，在) 1 , 1 ( a 单调递增，在), 1 ( 单调递减. （5 分） （2）由（1）知，10a或1a. 因为03) 1 (af，所以10a不合题意. 因为1a时，)(xf在) 1 , 0( a 单调递减，在) 1 , 1 ( a 单调递增，在), 1 ( 单调递减. 所以 , 0) 1 ( , 0) 1 ( f a f 即 , 03 , 0)ln1)(1( a aa 解得3ea. 此时aa a a a aaa xx xfxf ln 1 4 1 1 )ln1)(1(3)()( 21 21 . 记) 3e(ln 1 4 )( aaa a a ag，则 2 2 ) 1( )ln1 () 1(4 )( a aa ag. 因为3ea，所以0)( a g，所以)(ag在区间 3 , e 单调递减， 所以) e ()() 3(gagg，解得e 1e e4