2026届湖南省株州市九年级数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

2026届湖南省株州市九年级数学第一学期期末学业质量监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤．你认为其中正确信息的个数有A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm（如箭头所示），则木桩上升了（）A．8tan20° B． C．8sin20° D．8cos20°3．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，若以点A为圆心，以4为半径作⊙A，则下列各点中在⊙A外的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D4．下列事件中，必然事件是（）A．打开电视，正在播放宜春二套 B．抛一枚硬币，正面朝上C．明天会下雨 D．地球绕着太阳转5．某单行道路的路口，只能直行或右转，任意一辆车通过路口时直行或右转的概率相同.有3辆车通过路口.恰好有2辆车直行的概率是（）A． B． C． D．6．方程组的解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD=1：3，则BE：EC=()A． B． C． D．8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE＝AF，AC与EF相交于点G，下列结论：①AC垂直平分EF；②BE+DF＝EF；③当∠DAF＝15°时，△AEF为等边三角形；④当∠EAF＝60°时，S△ABE＝S△CEF，其中正确的是（）A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④9．下列各组图形中，一定相似的是（）A．任意两个圆B．任意两个等腰三角形C．任意两个菱形D．任意两个矩形10．在中，，若已知，则（）A． B． C． D．11．关于抛物线，下列说法错误的是（）A．开口方向向上 B．对称轴是直线C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大12．在一个不透明的布袋中有红色、黑色的球共10个，它们除颜色外其余完全相同．小娟通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在60%附近，则口袋中黑球的个数很可能是()A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，，，则的度数是__________.14．某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．15．如图，在边长为2的菱形ABCD中，，点E、F分别在边AB、BC上.将BEF沿着直线EF翻折，点B恰好与边AD的中点G重合，则BE的长等于________．16．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作当与正方形ABCD的边相切时，BP的长为______．17．如图，在中，，点为的中点.将绕点逆时针旋转得到，其中点的运动路径为，则图中阴影部分的面积为______．18．若二次函数的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图像的其余部分保持不变，翻折后的图像与原图像x轴上方的部分组成一个形如“W”的新图像，若直线y=-2x+b与该新图像有两个交点，则实数b的取值范围是__________三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在四边形中，，，．分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，交于点．请回答：（1）直线与线段的关系是_______________．（2）若，，求的长．20．（8分）如图，是线段上--动点，以为直径作半圆，过点作交半圆于点，连接.已知，设两点间的距离为，的面积为.(当点与点或点重合时，的值为)请根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行探究.(注:本题所有数值均保留一位小数)通过画图、测量、计算，得到了与的几组值，如下表:补全表格中的数值:；；.根据表中数值，继续描出中剩余的三个点，画出该函数的图象并写出这个函数的一条性质;结合函数图象，直接写出当的面积等于时，的长度约为____.21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点的坐标为（3，0），以OA为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从O点出发沿着OC向点C运动，动点Q从B点出发沿着BA向点A运动，P，Q两点同时出发，速度均为1个单位/秒．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．设运动时间为t秒．（1）求线段BC的长；（2）过点Q作x轴垂线，垂足为H，问t为何值时，以P、Q、H为顶点的三角形与△ABC相似；（3）连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F．设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．22．（10分）有一张长，宽的长方形硬纸片（如图1），截去四个全等的小正方形之后，折成无盖的纸盒（如图2）.若纸盒的底面积为，求纸盒的高.23．（10分）在不透明的袋中有大小形状和质地等完全相同的个小球，它们分别标有数字，从袋中任意摸出一小球(不放回)，将袋中的小球搅匀后，再从袋中摸出另一小球．（1）请你用列表或画树状图的方法表示摸出小球上的数字可能出现的所有结果；（2）规定：如果摸出的两个小球上的数字都是方程的根，则小明贏；如果摸出的两个小球上的数字都不是方程的根，则小亮赢．你认为这个游戏规则对小明、小亮双方公平吗？请说明理由．24．（10分）解方程：(1)x2﹣2x﹣1=0(2)2(x﹣3)=3x(x﹣3)25．（12分）已知关于x的方程x2+ax+16=0，（1）若这个方程有两个相等的实数根，求a的值（2）若这个方程有一个根是2，求a的值及另外一个根26．如图，抛物线经过点A(1，0)，B(5，0)，C(0，)三点，顶点为D，设点E(x，y)是抛物线上一动点，且在x轴下方．（1）求抛物线的解析式；（2）当点E(x，y)运动时，试求三角形OEB的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值？（3）在y轴上确定一点M，使点M到D、B两点距离之和d＝MD+MB最小，求点M的坐标．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【解析】试题分析：①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a＜1．∵对称轴x，∴＜1．∴ab＞1．故①正确．②如图，当x=1时，y＜1，即a+b+c＜1．故②正确．③如图，当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞1，∴2a﹣2b+2c＞1，即3b﹣2b+2c＞1．∴b+2c＞1．故③正确．④如图，当x=﹣1时，y＞1，即a﹣b+c＞1，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞1．∵b＜1，∴c﹣b＞1．∴（a﹣b+c）+（c﹣b）+2c＞1，即a﹣2b+4c＞1．故④正确．⑤如图，对称轴，则．故⑤正确．综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个．故选D．2、A【解析】根据已知，运用直角三角形和三角函数得到上升的高度为：8tan20°．【详解】设木桩上升了h米，∴由已知图形可得：tan20°=，∴木桩上升的高度h=8tan20°故选B.3、C【解析】试题分析：根据勾股定理求出AC的长，进而得出点B，C，D与⊙A的位置关系．解：连接AC，∵AB=3cm，AD=4cm，∴AC=5cm，∵AB=3＜4，AD=4=4，AC=5＞4，∴点B在⊙A内，点D在⊙A上，点C在⊙A外．故选C．考点：点与圆的位置关系．4、D【解析】根据必然事件的概念（必然事件指在一定条件下一定发生的事件）可判断正确答案．【详解】解：、打开电视，正在播放宜春二套，是随机事件，故错误；、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，故错误；、明天会下雨是随机事件，故错误；、地球绕着太阳转是必然事件，故正确；故选：．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5、B【分析】用表示直行、表示右转，画出树状图表示出所有的种等可能的结果，其中恰好有辆车直行占种，然后根据概率公式求解即可．【详解】解：若用表示直行、表示右转，则画树状图如下：∵共有种等可能的结果，其中恰好有辆车直行占种∴（恰好辆车直行）．故选：B此题考查的是用树状图法求概率．注意树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率等于所求情况数与总情况数之比．6、A【分析】分类讨论x与y的正负，利用绝对值的代数意义化简，求出方程组的解，即可做出判断．【详解】解：根据x、y的正负分4种情况讨论：①当x＞0，y＞0时，方程组变形得：，无解；②当x＞0，y＜0时，方程组变形得：，解得x＝3，y＝2＞0，则方程组无解；③当x＜0，y＞0时，方程组变形得：，此时方程组的解为；④当x＜0，y＜0时，方程组变形得：，无解，综上所述，方程组的解个数是1．故选：A．本题考查了解二元一次方程组，利用了分类讨论的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7、A【解析】试题解析：是平行四边形,故选A.8、C【解析】①通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，②设BC=a，CE=y，由勾股定理就可以得出EF与x、y的关系，表示出BE与EF，即可判断BE+DF与EF关系不确定；③当∠DAF=15°时，可计算出∠EAF=60°，即可判断△EAF为等边三角形，④当∠EAF=60°时，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和S△ABE，再通过比较大小就可以得出结论．【详解】①四边形ABCD是正方形，∴AB═AD，∠B=∠D=90°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF∵BC=CD，∴BC-BE=CD-DF，即CE=CF，∵AE=AF，∴AC垂直平分EF．（故①正确）．②设BC=a，CE=y，∴BE+DF=2（a-y）EF=y，∴BE+DF与EF关系不确定，只有当y=（2−）a时成立，（故②错误）．③当∠DAF=15°时，∵Rt△ABE≌Rt△ADF，∴∠DAF=∠BAE=15°，∴∠EAF=90°-2×15°=60°，又∵AE=AF∴△AEF为等边三角形．（故③正确）．④当∠EAF=60°时，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出：(x+y)2+y2＝(x)2∴x2=2y（x+y）∵S△CEF=x2，S△ABE=y(x+y)，∴S△ABE=S△CEF．（故④正确）．综上所述，正确的有①③④，故选C．本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．9、A【分析】根据相似图形的性质，对各选项分析判断即可得出答案.【详解】A、任意两个圆，一个圆放大或缩小后能够与另外一个圆重合，所以任意两个圆一定是相似图形，故选A.B、任意两个等腰三角形，对应边不一定成比例，对应角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误.C、任意两个菱形，对应边成比例，但对应角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误.D、任意两个矩形，对应边不一定成比例，对应角都是直角，一定相等，所以也不一定相似，故本选项错误.故选A.本题考查了相似图形的概念，灵活运用相似图形的性质是解题的关键.10、B【分析】根据题意利用三角函数的定义，定义成三角形的边的比值，进行分析计算即可求解．【详解】解：在中，，∵，设BC=3x，则AC=4x，根据勾股定理可得：，∴.故选：B.本题主要考查三角函数的定义，注意掌握求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．11、C【分析】根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可．【详解】A.因为二次项系数大于0，所以开口方向向上，故正确；B.对称轴是直线，故正确；C.顶点坐标为，故错误；D.当时，随的增大而增大，故正确；故选：C．本题主要考查二次函数，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．12、C【分析】根据题意得出摸出黑球的频率，继而根据频数＝总数×频率计算即可．【详解】∵小娟通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在60%附近，∴口袋中黑球的个数可能是10×60%＝6个．故选：C．本题主要考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】根据三角形外角定理求解即可.【详解】∵，且∴故填：.本题主要考查三角形外角定理，熟练掌握定理是关键.14、20%【解析】分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．解答：解：设这个增长率是x，根据题意得：2000×（1+x）2=2880解得：x1=20%，x2=-220%（舍去）故答案为20%．15、【分析】如图，作GH⊥BA交BA的延长线于H，EF交BG于O．利用勾股定理求出MG，由此即可解决问题.【详解】过点G作GM⊥AB交BA延长线于点M，则∠AMG=90°，∵G为AD的中点，∴AG=AD==1，∵四边形ABCD是菱形，∴AB//CD，∴∠MAG=∠D=60°，∴∠AGM=30°，∴AM=AG=，∴MG=，设BE=x，则AE=2-x，∵EG=BE，∴EG=x，在Rt△EGM中，EG2=EM2+MG2，∴x2=(2-x+)2+，∴x=，故答案为.本题考查了菱形的性质、轴对称的性质等，正确添加辅助线构造直角三角形利用勾股定理进行解答是关键.16、3或【解析】分两种情况：与直线CD相切、与直线AD相切，分别画出图形进行求解即可得.【详解】如图1中，当与直线CD相切时，设，在中，，，，，；如图2中当与直线AD相切时，设切点为K，连接PK，则，四边形PKDC是矩形，，，，在中，，综上所述，BP的长为3或．【点睛】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，会用分类讨论的思想思考问题，会利用参数构建方程解决问题是关键．17、【分析】连接，设AC、DE交于点N，如图，根据题意可得的度数和BM的长度，易证为的中位线，故MN可求，然后利用S阴影=S扇形MBE，代入相关数据求解即可.【详解】解：连接，设AC、DE交于点N，如图，由题意可知，，∴，∵，，且为的中点，∴为的中位线，∴，，∴S阴影=S扇形MBE.本题考查了旋转的性质、三角形的中位线定理、扇形面积的计算等知识，属于常考题型，熟练掌握旋转的性质、将所求不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和差是解题的关键.18、【分析】当直线y=-2x+b处于直线m的位置时，此时直线和新图象只有一个交点A，当直线处于直线n的位置时，此时直线与新图象有三个交点，当直线y=-2x+b处于直线m、n之间时，与该新图象有两个公共点，即可求解．【详解】解：设y=x2-4x与x轴的另外一个交点为B，令y=0，则x=0或4，过点B（4，0），由函数的对称轴，二次函数y=x2-4x翻折后的表达式为：y=-x2+4x，当直线y=-2x+b处于直线m的位置时，此时直线和新图象只有一个交点A，当直线处于直线n的位置时，此时直线n过点B（4，0）与新图象有三个交点，当直线y=-2x+b处于直线m、n之间时，与该新图象有两个公共点，当直线处于直线m的位置：联立y=-2x+b与y=x2-4x并整理：x2-2x-b=0，则△=4+4b=0，解得：b=-1；当直线过点B时，将点B的坐标代入直线表达式得：0=-1+b，解得：b=1，故-1＜b＜1；故答案为：-1＜b＜1．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到函数与x轴交点、几何变换、一次函数基本知识等内容，本题的关键是确定点A、B两个临界点，进而求解．三、解答题（共78分）19、（1）AE垂直平分BD；（2）【分析】（1）根据基本作图，可得AE垂直平分BD；（2）连接FB，由垂直平分线的性质得出FD=FB．再根据AAS证明△AOB≌△FOD，那么AB=FD=3，利用线段的和差关系求出FC，然后在直角△FBC中利用勾股定理求出BC的长．【详解】（1）根据作图方法可知：AE垂直平分BD；（2）如图，连接BF，∵AE垂直平分BD，∴OB=OD，∠AOB=∠FOD=90°，FD=FB，又∵AB∥CD，∴∠OAB=∠OFD，在△AOB和△FOD中，，∴△AOB≌△FOD（AAS），∴AB=FD=3，∴，在Rt△BCF中，．本题考查了作图-基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF与FD是解题的关键．20、（1）3.1，9.3，7.3；（2）见解析；（3）或.【分析】D（1）如图1，当x=1.5时，点C在C处，x=2.0时，点C在C1处，此时，D'C'=DC，则，同理可求b、c；（2）依据表格数据描点即可；（3）从图象可以得出答案.【详解】解：如图当x=1.5时，点C在C处，x=2.0时，点C在C1处∴D'C'=DC∴同理可得：b=9.3，c=7.3∴(允许合理的误差存在)如图由函数图像可知，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小;当时，的最大值为.由函数图像可知，或本题考查的是二次函数综合应用，确定未知点数据、再描点、准确画出函数图像是解答本题的关键.21、（2）；（2）t=2或2；（3）（）．【分析】（2）由等边三角形OAB得出∠ABC=92°，进而得出CO=OB=AB=OA=3，AC=6，求出BC即可；（2）需要分类讨论：△PHQ∽△ABC和△QHP∽△ABC两种情况；（3）过点Q作QN∥OB交x轴于点N，得出△AQN为等边三角形，由OE∥QN，得出△POE∽△PNQ，以及，表示出OE的长，利用m=BE=OB﹣OE求出即可．【详解】（2）如图l，∵△AOB为等边三角形，∴∠BAC=∠AOB=62，∵BC⊥AB，∴∠ABC=92°，∴∠ACB=32°，∠OBC=32°，∴∠ACB=∠OBC，∴CO=OB=AB=OA=3，∴AC=6，∴BC=AC=；（2）如图2，过点Q作x轴垂线，垂足为H，则QH=AQ•sin62°=．需要分类讨论：当△PHQ∽△ABC时，，即：，解得，t=2．同理，当△QHP∽△ABC时，t=2．综上所述，t=2或t=2；（3）如图2，过点Q作QN∥OB交x轴于点N，∴∠QNA=∠BOA=62°=∠QAN，∴QN=QA，∴△AQN为等边三角形，∴NQ=NA=AQ=3﹣t，∴ON=3﹣（3﹣t）=t，∴PN=t+t=2t，∴OE∥QN，∴△POE∽△PNQ，∴，∴，∴，∵EF∥x轴，∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=32°，∴EF=BE，∴m=BE=OB﹣OE=（2＜t＜3）．考点：相似形综合题．22、纸盒的高为.【分析】设纸盒的高是，根据题意，其底面的长宽分别为（40-2x）和（30-2x），根据长方形面积公式列方程求解即可.【详解】解：设纸盒的高是.依题意，得.整理得.解得，（不合题意，舍去）.答：纸盒的高为.本题考查一元二次方程的应用，根据题意用含x的式子表示底面的长和宽，正确列方程，解方程是本题的解题关键.23、（1）见解析；（2）公平，理由见解析．【分析】（1）可以利用树状图表示出所有的可能出现的结果；

（2）分别求得两人赢的概率，判断是否相等即可求解．【详解】(1)利用树状图表示为：；(2)公平；解方程得：，根据树状图知，共有12种情况，小明赢的情况有：3，4和4，3两种，因而小明赢的概率是：，小亮赢的情况有：1，2和2，1两种，小亮赢的概率是：小亮赢的概率是：，两人赢的机会相等，因而双方公平．本题主要考查了列表法和树状图法、游戏公平性的判断，一元二次方程的求解．解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．24、(1)，(2)或【分析】(1)利用公式法求解可得；(2)利用因式分解法求解可得；【详解】(1)a=1，b=﹣2，c=﹣1，△=b2﹣4ac=4+4=8＞0，方程有两个不相等的实数根，，∴；(2)，移项得：，因式分解得：=0，∴或，解得：或．本题主要考查了解一元二次方程－配方法和因式分解法，根据方程的不同形式，选择合适的方法是解题的关键．25、（1）a=1或﹣1；（2）a=﹣10，方程的另一个根为1．【分析】（1）由题意可得方程的判别式△=0，由此可得关于a的方程，解方程即得结果；（2）把x=2代入原方程即可求出a，然后