高考二轮复习数学理配套讲义15 函数与方程、函数的实际应用

微专题15函数与方程、函数的实际应用命 题 者 说考 题 统 计考 情 点 击2018全国卷T9函数的零点2018全国卷T15函数的零点2018浙江高考T11方程组的实际应用2017全国卷T11函数的零点从近5年高考情况来看，本部分内容一直是高考的热点，尤其是对函数的零点、方程的根的个数的判定及利用零点存在性定理判断零点是否存在和零点存在区间的考查较为频繁，一般会将本部分内容知识与函数的图象和性质结合起来考查，综合性较强，一般以选择题、填空题形式出现，解题时要充分利用函数与方程、数形结合等思想。考向一 判断函数零点的个数或所在区间【例1】(1)函数f (x)log2x的零点所在的区间为()A BC(1,2) D(2,3)(2)函数f (x)4cos2cos2sinx|ln(x1)|的零点个数为_。解析(1)函数f (x)的定义域为(0，)，且函数f (x)在(0，)上为增函数。f log21230，f (1)log21010，f (3)log2310，即f (1)f (2)0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数f (x)零点的个数，容易看出函数f (x)零点的个数为2，故选B。答案B2已知函数f (x)满足：定义域为R；xR，都有f (x2)f (x)；当x1,1时，f (x)|x|1，则方程f (x)log2|x|在区间3,5内解的个数是()A5B6 C7D8解析画出函数图象如图所示，由图可知，共有5个解。故选A。答案A考向二 根据函数的零点求参数的范围【例2】已知函数f (x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a()AB CD1解析解法一：令f (x)0，则x22xa(ex1ex1)，设g(x)ex1ex1，则g(x)ex1ex1ex1，当g(x)0时，x1，故当x1时，g(x)1时，g(x)0，函数g(x)在(1，)上单调递增，当x1时，函数g(x)取得最小值2，设h(x)x22x，当x1时，函数h(x)取得最小值1，若a0，h(1)ag(1)时，此时函数h(x)和ag(x)有一个交点，即a21a。故选C。解法二：f (2x)(2x)22(2x)ae2x1e(2x)1x22xa(e1xex1)f (x)，所以f (x)的图象关于x1对称，而f (x)有唯一的零点，则f (x)的零点只能为x1，即f (1)12a0，解得a。故选C。答案C利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解。(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解。(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解。 变|式|训|练已知在区间(0,2上的函数f (x)且g(x)f (x)mx在区间(0,2内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是()ABCD解析由函数g(x)f (x)mx在(0,2内有且仅有两个不同的零点，得yf (x)，ymx在(0,2内的图象有且仅有两个不同的交点。当ymx与y3在x(0,1相切时，mx23x10，94m0，m，结合图象可得当m2或0m时，函数g(x)f (x)mx在(0,2内有且仅有两个不同的零点。故选A。答案A考向三 函数的实际应用【例3】(1)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图。根据该折线图，下列结论错误的是()A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳(2)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件该产品需另投入的成本为G(x)(单位：万元)，当年产量不足80千件时，G(x)x210x；当年产量不小于80千件时，G(x)51x1 450。已知每件产品的售价为0.05万元。通过市场分析，该工厂生产的产品能全部售完，则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是_万元。解析(1)通过题图可知A不正确，并不是逐月增加，但是每一年是递增的，从图观察C是正确的，D也正确，16月比较平稳，712月波动较大。故选A。(2)因为每件产品的售价为0.05万元，所以x千件产品的销售额为0.051 000x50x(万元)。当0x80时，年利润L(x)50xx210x250x240x250(x60)2950，所以当x60时，L(x)取得最大值，且最大值为L(60)950(万元)；当x80时，L(x)50x51x1 4502501 2001 20021 2002001 000，当且仅当x，即x100时，L(x)取得最大值1 000万元。由于9502 000，可得lg1.3nlg1.12lg2，得n0.050.19，n3.8，n4，即4年后，到2021年科研经费超过2 000万元。故选B。答案B1(考向一)(2018昆明调研)已知函数f (x)则函数f (x)的零点个数为_。解析解法一：当x1时，由log2(x1)0得x2，即x2为函数f (x)在区间(1，)上的一个零点；当x1时，因为f (x)x33x1，所以f (x)3x23，由f (x)0得x1或x1，因为当x0，当1x1时，f (x)0，所以x1为函数f (x)x33x1在(，1上的极大值点，因为f (1)30，f (1)11时，作出函数ylog2(x1)的图象如图所示，当x1时，由f (x)x33x10得，x33x1，在同一个平面直角坐标系中分别作出函数yx3和y3x1的图象如图所示，由图，可知函数f (x)的零点个数为3。答案32(考向一)(2018洛阳统考)已知函数f (x)满足f (1x)f (1x)f (x1)(xR)，且当0x1时，f (x)2x1，则方程|cosx|f (x)0在1,3上的所有根之和为()A8 B9C10 D11解析方程|cosx|f (x)0在1,3上的所有根之和即y|cosx|与yf (x)在1,3上的图象交点的横坐标之和。由f (1x)f (1x)得f (x)的图象关于直线x1对称，由f (1x)f (x1)得f (x)的图象关于y轴对称，由f (1x)f (x1)得f (x)的一个周期为2，而当0x1时，f (x)2x1，在同一坐标系中作出yf (x)和y|cosx|在1,3上的大致图象，如图所示。易知两图象在1,3上共有11个交点，又yf (x)，y|cosx|的图象都关于直线x1对称，故这11个交点也关于直线x1对称，故所有根之和为11。故选D。答案D3(考向二)已知函数f (x)kx2(xR)有四个不同的零点，则实数k的取值范围是()A(，0) B(，1)C(0,1) D(1，)解析因为x0是函数f (x)的零点，则函数f (x)kx2(kR)有四个不同的零点，等价于方程k有三个不同的根，即方程|x|(x2)有三个不同的根。记函数g(x)|x|(x2)由题意y与yg(x)有三个不同的交点，作图可知(图略)01。故选D。答案D4(考向二)(2018四川统考)函数f (x)若关于x的方程2f 2(x)(2a3)f (x)3a0有五个不同的零点，则a的取值范围是()A(1,2) BC D解析作出f (x)|x|1，x0的图象如图所示。设tf (x)，则原方程化为2t2(2a3)t3a0，由图象可知，若关于x的方程2f 2(x)(2a3)f (x)3a0有五个不同的实数解，只有当直线ya与函数yf (x)的图象有两个不同的公共点时才满足条件，所以1a0，解得a，综上，得1a2，且a。答案D5(考向三)(2018西城模拟)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位：mol/L，记作H)和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位：mol/L，记作OH)的乘积等于常数1014。已知pH值的定义为pHlgH，健康人体血