2019届广州市高三调研测试（理科答案）

1 2019 届广州市高三年级调研测试届广州市高三年级调研测试 理科数学试题参考答案及评分标准理科数学试题参考答案及评分标准 评分说明: 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分， 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题不给中间分 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分 二、二、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 131141615 1 16 16 2 3 27 三、三、解答题：共解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17解：(1) 由BAACBsinsinsincoscos 222 ， 得BAABCsinsinsinsinsin 222 2 分 由正弦定理，得ababc 222 ，即abcba 222 ，3 分 所以 2 1 22 cos 222 ab ab ab cba C5 分 因为0 C ，所以 2 3 C 6 分 (2) 因为 6 A ，所以 6 B 7 分 所以ABC为等腰三角形，且顶角 2 3 C 因为34 4 3 sin 2 1 2 aCabS ABC ，8 分 题号123456789101112 答案ACCDBDBBADBA 2 所以4a9 分 在MAC中， 2 4,2, 3 ACCMC ， 所以 222 1 2cos16422428 2 AMACCMAC CMC 11 分 解得72AM12 分 18解： （1）根据图 1 可知，设备改造前样本的频数分布表如下 质量指标值15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)40,45) 频数41640121810 4 17.51622.54027.51232.51837.51042.5 1002.54 1516204025123018351040 30201 分 样本的质量指标平均值为 3020 30.2 100 2 分 根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为30.2 3 分 （2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为 1 2 ， 1 3 ， 1 6 ， 故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为 1 2 ， 1 3 ， 1 6 4 分 随机变量X的取值为：240，300，360，420，4805 分 111 (240) 6636 P X ， 1 2 111 (300) 369 P XC， 1 2 11115 (360) 263318 P XC， 1 2 111 (420) 233 P XC， 111 (480) 224 P X ，10 分 所以随机变量X的分布列为： 11 分 X240300360420480 P 1 36 1 9 5 18 1 3 1 4 3 所以 11511 ()240300360420480400 3691834 E X 12 分 19解： （1）因为四边形ABCD为矩形， 所以BCAD. 因为AD 平面ADE，BC 平面ADE， 所以BC平面ADE1 分 同理CF平面ADE2 分 又因为BCCFC，所以平面BCF平面ADE3 分 因为BF 平面BCF，所以BF平面ADE4 分 （2）法一： 因为,CDAD CDDE， 所以ADE是二面角ACDF的平面角，即60ADE5 分 因为ADDED，所以CD 平面ADE. 因为CD 平面CDEF, 所以平面CDEF 平面ADE. 作AODE于点O，则AO 平面CDEF.6 分 由2,3ADDE, 得1DO ，2EO 以O为原点，平行于DC的直线为x轴，DE所在直线为y轴，OA所在直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则 0,0, 3 ,3, 1,0 ,0, 1,0 ,(0,2,0),(3,5,0)ACDEF， 3,0, 3OBOAABOADC ，7 分 设 30Gt， ， ， 15t ， 则 3 23BE ， ， 03BGt ， 设平面BEG的法向量为 xyz， ，m ， 则由 0, 0, m BE m BG 得 3230, 30, xyz tyz ，取 2, 3, 3 , xt y zt 得平面BEG的一个法向量为2,3, 3ttm，8 分 4 又平面DEG的一个法向量为(0,0,1)n，9 分 所以 2 3 4413 cos t tt ， m n mn m n ，10 分 所以 2 31 4 4413 t tt = ， 解得 1 2 t 或 13 22 t （舍去），11 分 此时 1 4 CG CF ，得 13 42 CGCF. 即所求线段CF上的点G满足 3 2 CG 12 分 法二：作BOCF于点O，作OHEG的延长线于点H，连结BH 因为,CDBC CDCF BCCFC， 所以CD 平面BCF， 5 分 BCF为二面角ACDF的平面角，60BCF 6 分 所以CDBO 因为CDCFC， 所以BO 平面CDF，BOEH7 分 因为,OHEH OHBOO， 所以EH 平面BOH8 分 所以EHBH，BHO为二面角BEGD的平面角 9 分 在Rt BCO中，2,60BCBCO， 所以 3,1BOCO 又因为 1 cos 4 BHO，所以tan15 BO BHO OH ， 5 5 OH 10 分 作EMCF于M，则OGHEGM，3,3EMCDCMDE， 设OGx，则 OHEM OGEG ，即 2 5 3 5 92 x x ，11 分 解得 1 2 x ，即所求线段CF上的点G满足 3 2 CG 12 分 5 20解： （1）依题意有 222 22 1 , 2 , 33 1, 4 c a abc ab 解得 2, 3, 1. a b c 3 分 故椭圆C的方程为 22 1 43 xy 4 分 （2）设 1122 ( ,),A x yB xy，设 1 F AB的内切圆半径为r， 1 F AB的周长为 1212 48AFAFBFBFa， 所以 1 1 44 2 F AB Sa rr 5 分 解法一： 根据题意知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为1xmy，6 分 由 22 1 43 1 xy xmy ，得 22 (34)690mymy7 分 22 (6 )36 340mm ，mR， 由韦达定理得 1212 22 69 , 3434 m yyy y mm ，8 分 1 2 2 1212121212 2 1121 4 234 F AB m SFF yyyyyyy y m ，10 分 令 2 1tm，则1t ， 1 2 124 1 31 3 F AB t S t t t 令 1 ( ) 3 f tt t ，则当1t 时， 2 1 ( )10 3 ft t ，( )f t单调递增， 4 ( )(1) 3 f tf， 1 3 F AB S，11 分 即当1,0tm时， 1 F AB S的最大值为 3，此时 max 3 4 r 故当直线l的方程为1x 时， 1 F AB内切圆半径的最大值为 3 4 12 分 解法二： 6 当直线lx轴时， 33 1,1, 22 AB 1 12 1 3 2 F AB SFF AB . .6 分 当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为(1)yk x， 由 22 1 43 (1) xy yk x ，得 2222 (43)84120kxk xk. 7 分 22222 (8)4 4341214410kkkk ， 由韦达定理得 22 1212 22 8412 , 4343 kk xxx x kk ，8 分 1 12121212 1 () 2 F AB SFFyyyyk xx 22 2 2 12122 2 169(1) 4 43 kk kxxx x k . 10 分 令 2 43tk，则3t ， 11 0 3t , 1 22 31 16 9 931 44 F AB tt tt S tt 2 23 9 1 tt 2 11 2712 3t 2 1 27123 3 . 综上，当直线l的方程为1x 时， 1 F AB S的最大值为 3， 1 F AB内切圆半径的最大值为 3 4 12 分 21解：(1) fx的定义域为0,， 2 33 (2)1 22 ( )1 xax x fxa xxx . 1 分 (i)当0a 时， 2 10ax 恒成立， 0,2x时，( )0fx ， fx在0,2上单调递增； 2,x时，( )0fx ， fx在2,上单调递减； 2 分 7 (ii) 当0a 时，由( )0fx得， 123 11 2,xxx aa （舍去） ， 当 12 xx，即 1 4 a 时，( )0fx恒成立， fx在(0,)上单调递增；3 分 当 12 xx，即 1 4 a 时， 1 0,x a 或2,x时，( )0fx恒成立， fx在 1 0, a ，2,单调 递增； 1 ,2x a 时，( )0fx恒成立， fx在 1 ,2 a 上单调递减；4 分 当 12 xx即 1 0 4 a时， 1 ,x a 或0,2x时，( )0fx恒成立， fx在 1 (0,2), a 单调递 增； 1 2,x a 时，( )0fx恒成立， fx在 1 2, a 上单调递减；5 分 综上，当0a 时， fx单调递增区间为0,2，单调递减区间为2,； 当 1 4 a 时， fx单调递增区间为0,，无单调递减区间； 当 1 4 a 时， fx单调递增区间为 1 0, a ，2,，单调递减区间为 1 ,2 a ； 当 1 0 4 a时， fx单调递增区间为 1 (0,2), a ，单调递减区间为 1 2, a 6 分 (2)由(1)知，当0a 时， fx单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2,)， 又因为 10fa，7 分 取 0 1 max,5x a ，令 1( ) 2lnf xxx， 2 1 ( )fx x ，则 1 2 ( )10fx x 在(2,)成立， 故 1( ) 2lnf xxx单调递增， 10 ()52ln512(2ln5)1f x ， 000 222 00000 11111 ()(2ln)0f xa xxa xxxxx ， 8 （注：此处若写“当x 时， fx ”也给分） 所以 fx有两个零点等价于 1 (2)(22ln2)0 4 fa，得 1 88ln2 a ， 所以 1 0 88ln2 a 8 分 当0a 时， 2 1 ( ) x f x x ，只有一个零点，不符合题意； 当 1 4 a 时， fx在(0,)单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；9 分 当0a 且 1 4 a 时， fx有两个极值， 1 (2)(22ln2)0 4 fa， 1 2lnfaaaa a ， 记( )2lng xxxxx，10 分 11 ( )2(1 ln ) 1ln 2 g xxx xx ， 令 1 ( )lnh xx x ，则 33 22 1121 22 x h x x xx . 当 1 4 x 时，( )0h x，( )g x在 1 , 4 单调递增； 当 1 0 4 x时，( )0h x，( )g x在 1 0, 4 单调递减 故 1 ( )22ln20 4 g xg ，( )g x在(0,)单调递增 0 x 时，( )0g x ，故 1 2ln0faaaa a 11 分 又 1 (2)(22ln2)0 4 fa，由(1)知， fx至多只有一个零点，不符合题意 综上，实数a的取值范围为 1 ,0 88ln2 .12 分 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请在第分请在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按题中任选一题做答，如果多做，则按 所做的第一题计分所做的第一题计分 9 22解：(1) 依题意，直线 1 l的直角坐标方程为 3 3 yx， 2 l的直角坐标方程为3yx 2 分 由=2 3cos2sin得 2=2 3 cos 2 sin， 因为 222, cos,sinxyxy，3 分 所以 22 (3)(1)4xy，4 分 所以曲线C的参数方程为 32cos 12sin x y （为参数） 5 分 （2）联立6 =2 3cos2sin 得 1 4OA， 6 分 同理， 2 2 3OB7 分 又 6 AOB ， 8 分 所以 111 sin4 2 32 3 222 AOB SOA OBAOB ，9 分 即AOB的面积为2 3 10 分 23解： （1）当2a 时，原不等式可化为3123xx，1 分 当 1 3 x