2019年北京市高考数学模拟考试数学理科试卷及解析

高三数学(理科)试题 本试卷分第卷( 选择题) 和第卷( 非选择题) 两部分, 第卷页, 第卷 页, 共 分, 测试时间 分钟 注意事项: 选择题为四选一题目, 每小题选出答案后, 用 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案, 不能答在测试卷上 第卷( 共 分) 一、 选择题: 本大题共 小题, 每小题分, 共 分把正确答案涂在答题卡上 若复数z i , 其中i为虚数单位, 则z A iB iC iD i 已知集合Ax| l o gx ,Bx| x x , 则 AABx|xBABx| x CABx|xDABx| x 已知双曲线C: x a y b ( a,b) 的焦距为 , 点P(,) 在C的渐近线上, 则C的 方程是 A x y B x y C x y D x y 在等比数列an 中,a, aa aa , 则a 的值为 A B C D 如图,A B C中,AD A B, B E B C, 则 D E A A C A B B A C A B C A C A B D A C A B 设有下列四个命题: p: 若ab, 则a b ; p: 若x, 则s i nxx; p: “f( x) f(x) ” 是“yf(x) 为奇函数” 的充要条件; p: “ 等比数列an 中,aaa” 是“ 等比数列an 是递减数列” 的充要条件 其中, 真命题的是 Ap,pBp,pCp,pDp,p 数学( 理科) 试题 第页( 共页) 正整数N除以正整数m后的余数为n, 记为Nn(MO D m) , 例如 (MO D)如图所示 的程序框图的算法源于“ 中国剩余定理” , 若执行该程序框图, 当输入N 时, 则输出N A B C D ( 第题图) ( 第题图) 已知某几何体的三视图如图所示, 则该几何体外接球的表面积为 A B C D 设f(x) 是定义在R上周期为的函数, 且f(x) c o s x, x l o gx, x , 记g(x)f(x)a 若 a, 则函数g(x) 在区间, 上零点的个数是 A B C D 为推广羽毛球运动的发展, 某羽毛球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来自甲 协会的运动员名, 其中种子选手名; 乙协会的运动员名, 其中种子选手名从这 名运动员中随机抽取人参加比赛, 设事件A为“ 选出的人中恰有名种子选手且这 名种子选手来自同一个协会” , 则P(A) A B C D 已知抛物线C:y x的焦点为F, 直线y (x) 与C交于A、B(A在x轴上方) 两 点, 若A F mF B, 则实数m 的值为 A BC D 在四面体A B C D中, 若ADD BA CC B, 则四面体A B C D体积的最大值是 A B C D 数学( 理科) 试题 第页( 共页) 第卷( 共 分) 二、 填空题: 本大题共小题, 每小题分, 共 分把答案填在答题卡的相应位置 某单位 名职工的年龄分布情况如图所示现要从中抽取 名 职工作样本, 若采用分层抽样方法, 则 岁年龄段应抽取 人 某超市中秋节期间举行有奖销售活动, 凡消费金额满 元的顾客 均获得一次抽奖的机会, 中奖一次即可获得元红包, 没有中奖不 得红包现有名顾客均获得一次抽奖机会, 且每名顾客每次中奖 的概率均为 , 记X为名顾客获得的红包金额总和, 则P( X ) 数列an 的前n项和为Sn, 若a,an,Snanan, 则a 已知函数f(x)x a x,g(x)a l nxb, 设两曲线yf(x) ,yg(x) 有公共点P, 且在P点处的切线相同, 当a(,) 时, 实数b的最大值是 三、 解答题: 本大题共小题, 共 分解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 ( 本小题满分 分) 已知函数f(x) s i nxc o s(x ) ( ) 求f(x) 的单调递增区间; ( ) 在A B C中, 角A,B,C的对边分别为a,b,c若f( A ) ,a, 求A B C面积的最大值 ( 本小题满分 分) 如图, 在等腰梯形A B C D中,A BC D,A BC D,E,F为A B的三等 分点, 且E FC D将A E D和B F C分别沿D E、 C F折起到A、B两点重合, 记为点P ( ) 证明: 平面P C F平面P E F; ( ) 若P FF C, 求P D与平面P F C所成角的正弦值 ( 本小题满分 分) 已知椭圆T: x a y b ( ab ) 的左、 右焦点分别为F、F, 离心率为 , 过F 且与x轴不重合的直线l交椭圆T于A、B两点,A B F的周长为 ( ) 求椭圆T的标准方程; ( ) 已知直线l:yk xm, 直线l:y(k xm) (m)设l与椭圆T交于M、N 两点, l与圆C:x y a 交于P、Q两点, 求SM ON SP O Q 的值 数学( 理科) 试题 第页( 共页) ( 本小题满分 分) 改革开放以来, 我国经济持续高速增长如图给出 了我国 年至 年第二产业 增加值与第一产业增加值的差值 ( 以下简称为: 产业差值) 的折线图, 记产业差值为y( 单位: 万亿元) ( )求出y关于年份代码t的线性 回归方程; ( )利用()中的回归方程, 分析 年至 年我国产业差值的变化情况, 并预测我 国产业差值在哪一年约为 万亿元; ( )结合折线图, 试求出除去 年产业差值后剩余的年产业差值的平均值及方差 ( 结果精确到 ) 附: 回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为: b n i ( tit) (yiy) n i ( tit) , ayb t 样本方差公式: s n n i ( yiy) 参考数据: y i yi , i ( tit) (yiy) , i ( yiy) ( 本小题满分 分) 已知函数f(x)e x( x) ( ) 证明: 当x 时, f(x); ( ) 设g(x) l n x , 若存在实数x ,x, 使得f(x)(x) g(x) , 求xx 的最小值 请考生在第 题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分 ( 本小题满分 分) 在直角坐标系x O y中, 直线l的参数方程为 xt y k t ( t为参数) , 直线l 的参数方程为 xm ym k ( m为参数)设l与l的交点为P, 当k变化时,P的 轨迹为曲线C ( ) 写出C的普通方程; ( ) 以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 设l: s i n( ) , l与C 的交点为A、B,M为线段A B的中点, 求M的极径 ( 本小题满分 分) 已知函数f(x)| x |xa| ( ) 当a时, 求不等式f(x)的解集; ( ) 若不等式|x |xa|f(x)m m 恒成立, 求实数m的取值范围 数学( 理科) 试题 第页( 共页) 数学(理科)试题参考答案 一、 选择题: 本大题共 小题, 每小题分, 共 分把正确答案涂在答题卡上 A B C D D C A C D B D A 二、 填空题: 本大题共小题, 每小题分, 共 分把答案填在答题卡的相应位置 e 三、 解答题: 本大题共小题, 共 分解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 解: ()f(x) s i nxc o s(x ) s i nx(c o sxc o s s i n xs i n ) s i nx( c o s x s i nx) s i nxc o sx s i n x分 s i n x( c o s x) s i n x c o s x s i n(x ) 分 令 kx k,kZ, 得 kx k,kZ 所以f( x) 的单调递增区间为 k, k (kZ)分 ( ) 因为f( A ) s i n(A ) , 且A(,) , 所以A 分 由a b c b cc o sA, 得b c b c( )b c 所以b c ( ) , 当且仅当bc 时, 等号成立 分 所以SA B C b cs i nA ( ) 即A B C面积的最大值为 分 数学( 理科) 试题答案 第页( 共页) () 证明: 因为A BC D,E FC D, 所以四边形C D E F为平行四边形 所以A E DA F C, 又因为A E DB F C, 所以A E DB F C, 从而A F CB F C 所以P EE D,P FF C, 分 因为C FD E, 所以P EF C, 又因为P EP FP,P E,P F平面P E F, 分 所以F C平面P E F, 又因为F C平面P F C, 所以平面P E F平面P F C 分 ( ) 在平面P E F内作P OE F, 垂足为O, 取C D的中点为M 由( ) 可知,F C平面P E F, 故F CP O, 可得P O平面C D E F, 所以P OOM,P OO F 又因为P FP E, 所以O EO F, 所以OMF C, 所以O FOM, 所以O P,O F,OM两两垂直, 分 以O为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系, 设P FF C, 而P E F为等边三角形 所以P(, ,) ,F(,) ,C(,) ,D(,) 所以P F ( , ) ,P C ( , ) ,P D ( , ) , 分 设n( x,y,z) 为平面P F C的法向量, 由 nP F nP C , 即 x z xy z 可取n(, ,) 分 设P D与平面P F C所成角为, 则s i n nP D |n|P D | 所以P D与平面P F C所成角的正弦值为 分 解: () 由题意可知,a,ec a 分 所以, a,c , b 所以椭圆T的标准方程为: x y 分 数学( 理科) 试题答案 第页( 共页) ( ) 原点O(,) 到直线l的距离为d m k , 由 x y yk xm , 得( k ) x k m xm (k m) ( k ) ( m ) (k m) xx k m k , xx m k 分 |MN|k | xx| k k k m, 所以MON的面积为SM ON |MN|d mk m k 分 圆C的方程为x y 圆C的圆心O(, ) 到直线l的距离为d m k 所以|P Q| d k m k 所以P O Q的面积为SP O Q |P Q|d mk m k 分 所以SM ON SP O Q 分 解: ()t ( ) 分 i ( tit) (tt) (t t) ( ) ( ) ( ) ( ) 分 b i ( tit) (yiy) i ( tit) 分 ayb t 所以回归方程 y t分 数学( 理科)试题答案 第页( 共页) ( )由()知b 故 年至 年我国产业差值逐年增加, 平均每年增加 万亿元 分 令 t 解得t 故预测在 年我国产业差值为 万亿元 分 ( )结合折线图, 年产业差值为 万亿元, 除去 年( t时)产业差值外的年的产业差值平均值为 ( ) 分 又因为 i ( yiy) 所以除去 年( t时)产业差值外的年的产业差值的方差为 ( ) 分 解: () 令tx, 当x 时, f(x)等价于: 当t时,e t t 设函数u( t)e t t , 则u ( t)e t t分 u (t) e t 当t, l n ) 时,u (t) 为减函数, 当t( l n ,) 时,u (t) 为增函数分 所以u ( t)u (l n ) l n 所以u( t) 在,) 上为增函数, 所以u(t)u() 即当x 时, f(x)分 ( ) 设f(x)(x) g(x)m, 则e x l n x m 因为xR, 所以e x, 即m 所以x l nm, l n x m 所以x l nm , xe m , xxe m l n m ( m)分 令h( x) e x l nx ( x ) , 则h (x) e x x, 所以 h (x) e x x 分 所以h ( x) 在(,) 上为增函数, 且h ( ) 分 当x 时, h (x); 当x 时, h (x) 所以, h(x) 在(, ) 上为减函数, 在( , ) 上为增函数, 数学( 理科) 试题答案 第页( 共页) 所以, 当x 时, h(x) 取得最小值, 此时h( ) l n , 即xx的最小值为 l n 分 解: () 直线l的普通方程为y k(x)分 直线l 的普通方程为y x k 分 消去k得 x y , 即C的普通方程为 x y 分 ( ) 设A(x,y) ,B(x,y) l化为普通方程为xy, 联立 xy x y 得x x分 所以xx , yy(xx) 所以M( , ) 分 ( ) ( ) ( ) 所以M的极径为