高考物理复习 4_专题四　曲线运动

专题四曲线运动 真题多维细目表 真题涉分 考点 运动的合成 与分解 抛体运动 圆周运动 题型难度设题情境思想方法试题结构素养要素 北京理综，运动的合成与分解选择难 小球随地球自 转 的 受 力 及 运动 运动建模两项互斥 科学推理 北京理综，圆周运动选择易电子绕核运动运动建模选项并列 建模、运 动与相互 作用观念 北京理综，平抛运动选择中平抛实验等效替代选项互斥 科学推理 北京理综，（）平抛运动计算易 物体从水平桌 面抛出 运动建模计算型 运动与相互 作用观念 北京理综，（）部分圆周运动计算易绳球模型建模计算型 运动与相互 作用观念 北京理综，（）（）平抛运动计算易跳台滑雪运动建模 问并列 运动与相互 作用观念 总计 卷均分 题 卷 题 卷 选择 计算 易 占比考频常见考法 命题规律与趋势 考查内容 曲线运动的条件，运动的合成与分解，平抛 运动和圆周运动。 考查核心 平抛运动、圆周运动和运动的合成与分解。 考查能力 考查考生的知识掌握情况，情景分析和理 解的能力，提取信息的能力，应用基本规律 分析、推理和计算的能力。 命题特点 以运动情景为考查依托。 一般地，以本 专题内容单独命题时多以选择题的形式出 现。 以计算题的形式出现时，常常会与牛顿 运动定律、机械能等知识综合。 试题类型包 含选择题、实验题、计算题等，形式多样。 考题难度 以中等偏易的题目多见。 趋势预测 从知识上，仍然会以平抛运动和圆周运 动为主，但对运动的合成与分解思想的 考查可能性也较大；从试题情景上，可能 会更多地联系现实生活中的实际问题； 从能力考查的角度看，可能会更加强调 对运动的合成与分解思想的理解与应 用，对模型的构建能力和科学推理能力 的考查。 今后的高考将会延续这种考查形 式和方向，同时在学业水平等级性考试中， 还会渗透物理观念的形成、物理模型的建 立、正确的科学探究等物理学科核心素养 的考查。 备考建议 本专题涉及的知识是高中物理的重要基础， 包含许多思想方法，它的应用非常广泛。 所 以，一定要下大力气扎扎实实地学好本专题 的知识与方法，深刻体会应用运动的合成与 分解解决问题的思想，形成解决平抛运动和 圆周运动的基本思路。 在本专题复习过程中 多耗一些时间和精力是必须的。 年高考年模拟 版（教师用书） 对应学生用书起始页码 考点一运动的合成与分解 抛体运动 一、物体做曲线运动的条件与轨迹分析 合分解 产生 改变 的大小 产生 改变 的方向 合力方向与速度方向的关系 物体做曲线运动时，合力的方向与速度方向一定不在同一 条直线上，这是判断物体是否做曲线运动的依据。 合力方向与轨迹的关系 物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向和速度方向之 间，速度方向与轨迹相切，合力方向指向曲线的“凹”侧。 速率变化情况判断 （）当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大。 （）当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小。 （）当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。 某学生在体育场上抛出铅球，其运动轨迹如图所示。 已知在 点时的速度方向与加速度方向相互垂直，则下列说法 中正确的是（ ） 点的速率比 点的速率大 点的加速度比 点的加速度大 从 到 加速度与速度始终垂直 从 到 加速度与速度的夹角先 增大后减小 解题思路 当速度与加速度的夹角小于 时，物体速度 将增大，大于 时物体速度将减小。 解析 铅球做斜抛运动，根据曲线运动的条件和题设中 在 点的速度方向与加速度方向相互垂直，即竖直方向上的分 速度为零，可判断 点是轨迹的最高点，根据加速度和速度方向 间的关系可知 项正确； 点和 点的加速度一样大，都等于重 力加速度， 错；过了 点后，加速度与速度不可能再垂直， 错； 根据曲线运动的特点，可判断从 点到 点加速度与速度的夹 角一直减小， 错。 答案 二、两个直线运动的合成 两个互成角度的分运动合运动的性质 两个匀速直线运动匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直 线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线 运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线 运动 如果 合与 合共线，匀变速直 线运动 如果 合与 合不共线，匀变速 曲线运动 如图所示，长约 的一端封闭的玻璃管中注满清 水，假设 时刻质量为 的红蜡块从玻璃管口开始运 动，且每 上升的距离都是 ；从 开始，玻璃管由 静止开始向右匀加速平移，第 内、第 内、第 内通过 的水平位移依次是 、 、 ，则（ ） 时红蜡块的速度大小为 前 内红蜡块的位移大小为 红蜡块的运动是变加速曲线运动 红蜡块在上升过程中受到的合力是 解题思路 由题意可知，蜡块在竖直方向的运动为匀速 直线运动，在水平方向的运动为匀加速直线运动。 分别求出这 两个方向的速度或加速度，再结合运动学公式求解。 由牛顿第 二定律可求解蜡块所受合力。 解析 由题意可知，红蜡块沿玻璃管做匀速上升运动，竖 直上升的速度 ；红蜡块在水平方向连 续相等时间内的位移之差相等，则红蜡块在水平方向做匀加速 直线运动， 。 时，红蜡块的水平 速度 ，那么 时红蜡块的速度 大小 ，故 错误。 前 内红蜡块的水平位移大小 ， 而竖直方向位移 ，那么前 内红蜡块的 位移大小为 ，故 错误。 根据竖直方向位移 ，而水平方向位移 ，由运动的合成可知，蜡块的运动是匀加速曲线运动，故 错误。 红蜡块在上升过程中，做类平抛运动，则合力 ，故 正确。 答案 三、平抛运动 性质：加速度为重力加速度 的匀变速曲线运动。 运动轨 迹是抛物线。 基本规律 （）位移关系 水平方向： 大小： 方向： 竖直方向： 合位移 （）速度关系 水平方向： 大小： 方向： 竖直方向： 合速度 有用结论 （）速度改变量：物体在任意相等时间内的速度改变量 专题四 曲线运动 相同，方向恒为竖直向下。 （）平抛运动物体在时间 内的速度偏转角为 ，位移偏转 角为 ，则 。 （）平抛运动中，任意时刻的速度的反向延长线通过此时水 平位移的中点。 如图所示，一个少年脚踩滑板沿倾斜街梯扶手从 点 由静止滑下，经过一段时间后从 点沿水平方向飞出，落在倾斜 街梯扶手上的 点。 已知 点是一段倾斜街梯扶手的起点，倾 斜的街梯扶手与水平面的夹角 ，、 间的距离 ， 少年的质量 。 滑板及少年均可视为质点，不计空气阻 力。 取 ， ， 重 力 加 速 度 ，求： （）少年从 点水平飞出到落在倾斜街梯扶手上 点所用 的时间 ； （）少年从 点水平飞出时的速度大小 ； （）少年落到 点时的动能 。 解题思路 求出运动时间是解决这个问题的关键。 解析 （）少年从 点水平飞出做平抛运动 在竖直方向： 解得： （）在水平方向： 解得： （）少年落到 点时竖直方向的速度 少年落到 点时速度大小为 少年落到 点时的动能 解得： 答案 （） （） （） 方法技巧 从斜面上平抛并落在斜面上的这类问题，要 抓住水平位移与竖直位移的比值与斜面倾角的关系。 一辆汽车在水平公路上沿曲线由 向 行驶，速度逐渐减小。 图中分别画出了汽车转弯所受合力 的四种方向，其中可能 正确的是（ ） 答案 汽车沿曲线由 向 行驶，所受合力 的方向 指向轨迹的凹侧；速度逐渐减小，说明合力 在曲线切线方向 上的分力与速度反向，因此选 。 （ 北京二中月考，）如果一个物体受到不为零的恒定合力 作用，则它可能做以下哪种运动（ ） 匀速直线运动匀速圆周运动 匀变速曲线运动简谐运动 答案 物体受到不为零的恒定合力作用，由牛顿第二定 律知，其加速度恒定，所以不可能做匀速直线运动、匀速圆周 运动及简谐运动，故 、 错误；若合力与初速度方向不在同 一直线上，物体做匀变速曲线运动，故 正确。 在长约 的一端封闭的玻璃管中注满清水，水中放一个适 当的圆柱形的红蜡块，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧，并迅速 竖直倒置，红蜡块就沿玻璃管由管口匀速上升到管底。 将此 玻璃管倒置安装在小车上，并将小车置于水平导轨上。 若小 车一端连接细线绕过定滑轮悬挂小物体，小车从 位置由静 止开始运动，同时红蜡块沿玻璃管匀速上升。 经过一段时间 后，小车运动到虚线表示的 位置，如图所示。 按照图建立坐 标系，在这一过程中红蜡块实际运动的轨迹可能是选项图中的 （ ） 答案 蜡块在竖直方向上做匀速直线运动，水平方向上 随小车做匀加速直线运动，故合运动轨迹为类平抛运动轨迹， 又知其所受合外力方向水平向右，则 正确。 （ 北京首师大附中月考，）（多选）如图，小球在倾角为 的斜面上方 点处以速度 水平抛出，落在斜面上的 点时 速度的方向与斜面垂直，重力加速度为 。 根据上述条件可以 求出（ ） 小球从 点到 点的时间 点距离地面的高度 小球在 点速度的大小 点到 点的水平距离 答案 小球落在斜面上的 点时速度方向与斜面垂 直，如图所示，将速度沿水平方向和竖直方向分解，可得 ，故 ，结合 可求得小球下降高度。 由 题给条件计算不出 点离地面的高度。 由图可知小球落在 点的速度 。 小球从 点到 点的水平距离 。 故选 、。 名师点睛 根据平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动 规律及相关运动学公式分析求解。 （ 北京西城二模，）如图所示，在竖直平面内有一个四分 之一圆轨道固定在水平桌面上，圆心为 点， 在水平方向， 其半径 ，轨道的最低点 距地面的高度 。 一质量 的小滑块从轨道的最高点 由静止开始滑 下，到达轨道底端 点时的速度 。 滑块离开轨道 年高考年模拟 版（教师用书） 后做平抛运动，落到地面上的 点。 不计空气阻力，重力加速 度 。 求： （）小滑块从 点运动到 点所经历的时间 ； （）小滑块落地点与 点的水平距离 ； （）小滑块从 点运动到 点的过程中，滑块克服摩擦力 所做的功 。 答案 （） （） （） 解析 以小滑块为研究对象 （）从 到 ，根据平抛运动规律有 竖直方向 代入数据解得 （）水平方向 代入数据解得 （）从 到 ，根据动能定理有 代入数据解得 考查点 平抛运动的规律、动能定理。 易错警示 第（）问从 运动到 ，滑块克服摩擦力做的功 为正值，即 克。 考点二圆周运动 一、圆周运动中的运动学分析 描述匀速圆周运动的物理量 描述匀速圆周运动的物理量有线速度 、角速度 、周期 、 频率 、转速 等，它们之间的关系如下： ， ， 。 常见的传动装置的特点 共轴传动皮带传动齿轮传动摩擦传动 传 动 装 置 图 基本 特征 角速度相同轮缘处线速度大小相等 转动方向相同转动方向相同转动方向相反 定 量 关 系 ， （齿数比等于半径比） 如图所示，一位同学玩飞镖游戏。 圆盘最上端有一 点，飞镖抛出时与 等高，且与 点的距离为 。 当飞镖以初速 度 垂直盘面瞄准 点抛出的同时，圆盘绕经过盘心 点的水 平轴在竖直平面内匀速转动。 忽略空气阻力，重力加速度为 ， 若飞镖恰好击中 点，则（ ） 飞镖击中 点所需的时间为 圆盘的半径可能为 圆盘转动角速度的最小值为 点随圆盘转动的线速度可能为 解题思路 飞镖做平抛运动，若要飞镖恰好击中 点， 点须运动到最低点。 点出现在最低点，其转过的角度应满足关系： （，）。 飞镖的运动时间与圆盘的转动时间相对应。 解析 飞镖水平抛出后做平抛运动，在水平方向做匀速 直线运动，因此 ，故 项正确；飞镖击中 点时， 点恰好 在最下方，则 ，解得圆盘的半径 ，故 项错误；飞 镖击中 点，则 点转过的角度满足 （ ， ，），故 （） ，则圆盘转动角速度的最小值为 ，故 项 错 误； 点 随 圆 盘 转 动 的 线 速 度 为 （） ，当 时， ，故 项正确。 答案 二、圆周运动中的动力学分析 向心力 向心力是按作用效果命名的力，其动力学效果在于产生向 心加速度，即只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。 对于 做匀速圆周运动的物体所受的向心力应由其所受合外力提供。 向向 。 做圆周运动的常见模型 情景及受力分析动力学关系式 圆 锥 摆 火 车 转 弯 水 平 转 盘 （） 专题四 曲线运动 在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低。 如图 所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低 一些。 汽车的运动可看做是半径为 的圆周运动。 设内外路面 高度差为 ，路基的水平宽度为 ，路面的宽度为 。 已知重力加 速度为 。 要使车轮与路面之间的横向（垂直于前进方向）摩擦 力等于零，则汽车转弯时的车速应等于（ ） 解题思路 先对汽车受力分析求出合力，再用牛顿第二 定律求解速度。 解析 汽车做圆周运动，向心力由重力与路面对汽车的 支持力的合力提供，且向心力的方向水平，向心力大小 向 ，根据牛顿第二定律得 向 ， ，解得汽车 转弯时的车速 ， 对。 答案 三、竖直平面内的圆周运动 物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运 动，该类运动常涉及临界问题，题目中常出现“最大”“最小”“刚 好”等词语，常分析两种模型 轻绳模型和轻杆模型，分析比 较如下。 轻绳模型轻杆模型 常见 类型 均是没有支撑的小球均是有支撑的小球 过最高 点的临 界条件 由 临 得 临 由小球恰能运动即可得 临 讨论 分析 （） 过 最 高 点 时， ， ，绳、 轨道对球产生弹力 （） 不能过最高 点， ，在到达最高点前小 球已经脱离了圆轨道 （）当 时， ，为 支持力，沿半径背离圆心 （）当 时， ，背离圆心，随 的增 大而减小 （）当 时， （） 当 时， ，指向圆心并随 的增 大而增大 如图所示，光滑半圆形轨道处于竖直平面内，半圆形轨 道与光滑的水平地面相切于半圆的端点 。 一质量为 的小球 在水平地面上 点受水平向左的恒力 由静止开始运动，当运 动到 点时撤去恒力 ，小球沿竖直半圆形轨道运动到轨道最 高点 点，最后又落在水平地面上的 点（图中未画出）。 已知 、 间的距离为 ，重力加速度为 。 （）若轨道半径为 ，求小球到达半圆形轨道 点时对轨道 的压力大小 ； （）为使小球能运动到轨道最高点 点，求轨道半径的最大 值 ； （）轨道半径 多大时，小球在水平地面上的落点 到 点距离最大？ 最大距离 是多少？ 解题思路 先求出小球在 点的速度，再分析受力情 况，应用牛顿第二定律求出球对轨道的压力。 若小球过最高点，其在最高点的速度必满足：。 解析 （）设小球运动到 点时速度为 ，从 到 根据 动能定理有 解得 在 点，由牛顿第二定律有 解得 由牛顿第三定律有 （）小球恰能运动到轨道最高点时，轨道半径有最大值，则 有 解得 （）设小球平抛运动的时间为 ，有 解得 水 平 位 移 （）（） 当 时，水平位移最大 解得 到 的最大距离 答案 （） （） （） （ 北京西城期末）计算机硬盘上的磁道为一个个不同半径 的同心圆，如图所示。 、 是不同磁道上的两个点。 当磁盘 转动时，比较 、 两点的运动，下列判断正确的是（ ） 年高考年模拟 版（教师用书） 、 的线速度大小相等 、 的角速度大小相等 点的线速度大于 点的线速度 点的角速度小于 点的角速度 答案 由角速度定义式 可知，、 在同一圆 盘上，周期 相同，则角速度相同；，因 ，所以 ，、 错误， 正确。 （ 北京北师大附中期中，）如图所示，汽车在一水平公路 上转弯时，汽车的运动可视为匀速圆周运动。 下列关于汽车 转弯时的说法正确的是（ ） 汽车处于平衡状态 汽车的向心力由重力提供 汽车的向心力由摩擦力提供 汽车的向心力由支持力提供 答案 汽车做匀速圆周运动，合力不为零，处于非平衡 状态，故 错误。 汽车所受的重力和支持力平衡，由静摩擦力 提供向心力，故 、 错误， 正确。 摆式列车是集电脑、自动控制等高新技术于一体的新型高速 列车，如图所示。 当列车转弯时在电脑控制下车厢会自动倾 斜，沿直线行驶时车厢又恢复成竖直状态，就像玩具“不倒翁” 一样。 假设有一超高速列车在水平面内行驶，以 的 速度拐弯，拐弯半径为 ，则车厢内质量为 的乘客，在 拐弯过程中受到火车给他的作用力为（ 取 ）（ ） 答案 ，人所受的合力即向心力， 合 。 火车给人的作用力是斜向上的，水平方向分力提供向心 加速度，竖直方向分力等于重力，则火车给人的作用力 （） 合 。 （ 北京四中期中，）（多选）如图所示， 细绳一端固定，另一端系一小球。 给小球一 个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀 速圆周运动，这样就构成了一个“圆锥摆”。 设细绳与竖直方向的夹角为 ，如果 变大， 则（ ） 细绳对小球的拉力变大 小球的向心加速度变大 小球运动的速度增大 小球运动的周期增大 答案 对小球受力分析如图所示。 小球受重力和拉力两个力作用，做匀速圆 周运动，竖直方向上拉力的分力等于重力， ，得 ，如果 变大，则 变小， 变大，故 正确； 向心力指向 圆心，重力、拉力的合力提供向心力，合力 的大小为 合 ，如果 变大，则 变大，向心力变大，根据牛顿第二定 律有 合，可知 变大，向心加速度也 变大，故 正确；根据牛顿第二定律有 （ 为绳长），解得 ，如果 变大，则 和 均变大，小球运动的速度增大，故 正确；根据牛顿第二定律 有 ，解得 ，如果 变 大，则 变小，小球运动的周期减小，故 错误。 名师点睛 小球在水平面内做匀速圆周运动，由拉力和重力 的合力提供向心力，结合牛顿第二定律求出加速度、线速度和 周期大小的表达式，由表达式判断 、 如何变化。 如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量 为 的人随车在竖直平面内旋转，下列说法 正确的是（ ） 车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险 带拉住，没有保险带，人就会掉下来 人在最高点时对座位不可能产生大小为 的压力 人在最低点时对座位的压力等于 人在最低点时对座位的压力大于 答案 人在最低点，受力分析，由向心力公式可得 ，即 ，结合牛顿第三定律知，选项 错误，选项 正确；人在最高点，由向心力公式可得 ，可知当 大于等于某一值时，满足 ，则知没有保险 带，人也不会掉下来，选项 错误；，人对座位能产生压力， 压力随速度的增大而增大，大小可能等于 ，选项 错误。 某学生设计并制作了一个简易水轮机。 如图所示，让水从水 平放置的水管流出，水流轨迹与下边放置的轮子边缘相切，水 冲击轮子边缘上安装的挡水板，可使轮子连续转动。 当该装 置工作稳定时，可近似认为水到达轮子边缘时的速度与轮子 边缘的线速度相同。 调整轮轴 的位置，使水流与轮边缘切 点对应的半径与水平方向成 角。 测得水从管口流出速 度 ，轮子半径 。 （已知 ， ， ）求： （）若不计挡水板的大小，则轮子转动角速度为多少。 （）水管出水口距轮轴 水平距离和竖直距离。 答案 （） （） 解析 （）水从管口流出后做平抛运动，设水流到达轮子边 专题四 曲线运动 缘的速度大小为 ， ， 由题意可得轮子边缘的线速度为 ， 所以轮子转动的角速度为 。 （）设水流到达轮子边缘的竖直分速度为 ，运动时间为 ，水平、竖直分位移分别为 、，则 ， ， ， ， 水管出水口距轮轴 水平距离 和竖直距离 为 ， 。 对应学生用书起始页码 题型一 “小船过河”题型 船的实际运动：水流的运动和船相对静水的运动的合 运动。 三种速度：船（船在静水中的速度）、水（水流速度）、合（船 的实际速度）。 三种情景 渡河时 间最短 当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短， 最短时间 船 渡河位 移最短 如果 船水，当船头方向与上游河岸夹 角 满足 船 水时，合速度垂直河 岸，渡河位移最短，等于河宽 如果 船水，当船头方向（即 船方向）与 合速度方向垂直时，渡河位移最短，等 于 水 船 一小船渡河，河宽 ，水流速度 。 （）若船在静水中的速度为 ，求： 欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？ 用多 长时间？ 位移是多少？ 欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？ 用多长时 间？ 位移是多少？ （）若船在静水中的速度 ，要使船渡河的航程最 短，船头应朝什么方向？ 用多长时间？ 位移是多少？ （）若小船只能停靠在河对岸下游 处，则小船在静水 中航速至少要达到多大？ 对应运动时间是多少？ 船头指向与河 岸夹角多大？ 解题思路 将船实际的速度（合速度）分解为垂直河岸方 向和平行河岸方向的两个分速度，垂直分速度影响渡河的时间， 而平行分速度只影响船在平行河岸方向的位移。 解析 （）若 。 欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向，当船 头垂直河岸时，合速度方向如图 所示，垂直分速度为 。 ， 合 ， 合 。 图 图 欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向。 船头 应朝图 中的 方向。 垂直河岸过河要求 水平 ，如图 所示，有 ，得 。 所以当船头与上游河岸成 角时航程最短。 。 。 （）若 ，与（）中不同，因为船速小于水速，所 以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为 ， 则航程 。 欲使航程最短，需 最大，如图 所示，作出 矢量，以 矢量末端为圆心，大小为半径作圆， 点与圆周上 某点的连线即合速度方向，欲使 合与河岸下游方向夹角最大， 应使 合与圆相切，即合。 ，得 ， 所以船头应朝上游与河岸成 角方向。 ， 合 ， 合 。 图 图 年高考年模拟 版（教师用书） （）当小船以最小的静水航行速度到达指定地点时，小船只 能沿直线运动，即实际航行方向与河岸夹角 满足 ，即 。 如图 ，当船头指向垂直于实际航行方向即船头 指向与上游河岸夹角为 时在静水中航速最小， ，对应运动时间 。 答案 （）垂直河岸方向 与上游河岸成 角 （）与上游河岸成 角 （） 反思总结 物体的实际运动一定是合运动。 求解运动的合成与分解问题，应抓住合运动和分运动具有 等时性、独立性、等效性的关系。 在小船渡河问题中可将小船的运动分解为沿船头指向的 方向和沿水流方向的两个运动。 船在静水中的速度为 ，它要渡过宽度为 的河，河水的流速为 ，则下列说法中正确的是（ ） 船不能渡过河 船渡河的速度一定为 船不能垂直到达对岸 船到达对岸所需的最短时间为 答案 设船在静水中的速度为 ，河宽为 ，河水的流 速为 ，船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为 ， 正确， 错误；船头方向不同，船渡河的速度不 同， 错误；根据运动的合成与分解，船可以垂直到达对岸， 错误。 （ 北京二中月考）如图所示， 和 是彼此平 行且笔直的河岸。 若河水不流动，小船船头垂直河岸由 点匀 速驶向对岸，小船的运动轨迹为直线 。 若河水以稳定的速度 沿平行河岸方向流动，且水流速度处处相等，现使小船船头垂直 河岸由 点匀加速驶向对岸，则小船实际运动的轨迹可能是图 中的（ ） 直线 曲线 直线 曲线 答案 小船沿水流方向做匀速直线运动，垂直河岸方 向小船做匀加速直线运动，即小船在垂直河岸方向上在相 等时间内的位移越来越大，由此可知，只有轨迹 是可能 的，所以只有 正确。 也可以把小船的运动按照类平抛运 动处理，更易得出结论。 （ 北京一零一中学力学综合考）如图所示，一条 小船位于 宽的河正中 点处，从这里向下游 处 有一危险区，当时水流速度为 ，为了使小船避开危险区沿 直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是（ ） 答案 要使小船避开危险区沿直线到达对岸，则合运 动最大位移为（ ） ，设此时合速度与 水流速度的夹角为 ， ，所以 ，又已 知水流速度，则可得小船在静水中最小速度为 船 水 。 故 正确，、 错误。 故选 。 题型二 “斜面上的平抛”题型 运动图景运动分析 面上平抛， 落在斜面 分解位移： 水平 ，竖直 对面平抛， 垂碰斜面 分解速度： 水平 ，竖直 如图所示，在足够长的斜面上从 点以水平速度 抛 出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上所用的时间为 ；若 将此球改用 抛出，落到斜面上所用的时间为 ，则 与 之 比为（ ） 解题思路 物体从斜面上抛出，最后又落在斜面上，其位 移与水平方向的夹角就为斜面的倾角，则可利用三角函数的知 识，快速找到对应关系： 。 解析 因小球落在斜面上，所以两次位移与水平方向的 夹角相等，由平抛运动规律知 ，所以 。 答案 如图所示，小球以 正对倾角为 的斜面水平抛出， 若小球到达斜面的位移最小，则飞行时间 为（重力加速度为 ） （ ） 答案 如图所示，要使小球到达斜面的位移最小，则 专题四 曲线运动 要求落点与抛出点的连线与斜面垂直，所以有 ，而 ， ，解得 。 （ 北京人大附中月考）在一斜面顶端，将甲、乙两 个质量相同的小球分别以 和 的速度沿同一方向水平抛出， 两球都落在该斜面上。 甲球落至斜面时的动能是乙球落至斜面 时动能的（ ） 倍 倍 倍 倍 答案 设斜面倾角为 ，小球落在斜面上速度方向偏 向角为 ，甲球以速度 抛出，落在斜面上，如图所示。 根据平抛运动的推论可得 ，所以甲、乙两 个小球落在斜面上时速度偏向角相等，故对甲有 甲末 ，对乙有 乙末 ，所以 甲末 乙末 ，而动能之比为 甲 乙 ，故选 。 （ 北京东城期末，）北京赢得了 年第二十 四届冬季奥林匹克运动会的举办权，引得越来越多的体育爱好 者参加滑雪运动。 如图所示，某滑雪场的雪道由倾斜部分 段 和水平部分 段组成，其中倾斜雪道 的长 ，顶端高 ，滑雪板与雪道间的动摩擦因数 。 滑雪爱好者 每次练习时均在倾斜雪道的顶端 处以水平速度飞出，落到雪 道时他靠改变姿势进行缓冲，恰好可以使自己在落到雪道前后 沿雪道方向的速度相同。 不计空气阻力影响，取重力加速度 。 （）第一次滑雪爱好者水平飞出后经 落到雪道上 的 处（图中未标出），求水平初速度 及 、 之间的水平距 离 。 （）第二次该爱好者调整水平初速度，落到雪道上的 处 （图中未标出），已知 、 之间的水平距离为 ，且 ，求该爱好者落到雪道上的 处之后的滑行距离 。 （）该爱好者在随后的几次练习中都落在雪道的 段，他 根据经验得出如下结论：在 处水平速度越大，落到雪道前瞬时 速度越大，速度方向与雪道的夹角也越大。 他的观点是否正确， 请你判断并说明理由。 答案 （） （） （）见 解析 解析 滑雪爱好者自 处以水平速度飞出后，可能落在 雪道的倾斜部分 段，也可能落在雪道的水平部分 段。 （）设滑雪爱好者落在雪道的水平部分 段所用时 间为 ， 根据平抛运动的规律有 解得 由此可知，滑雪爱好者水平飞出后经 落在雪 道的倾斜部分 段。 根据平抛运动的规律有 解得 、 之间的水平距离 解得 （）设此次爱好者水平初速度为 ，由 ， 可知 ，由此可判断此次滑雪爱好者水平飞出后 落在雪道的水平部分 段。 由平抛运动的规律有 解得 落在雪道上之后爱好者在水平雪道上匀减速滑行， 由动能定理有 解得该爱好者落到雪道上的 处之后的滑行距离 （）他的观点不正确。 正确观点是：在 处水平速度越 大，落到雪道前瞬时速度越大，而速度方向与雪道的夹角 不变。 设爱好者水平初速度为 由平抛运动的规律知，落到 段均满足 解得 ，由此可知：越大，运动时间 越长 落 到 雪 道 前 瞬 时 速 度 大 小 （） ，越大，落到雪道前瞬时速度越大 设速度方向与水平方向间夹角为 ， ， 速度方向与水平方向间夹角与 无关，即速度方向与雪道 的夹角与 无关。 题型三 圆周运动中的临界问题 圆周运动中的临界问题（不只是竖直平面内的圆周运动中 存在临界问题，其他许多问题中也有临界问题），一般都是先假 设出某量达到最大或最小的临界情况，进而建立方程求解。 平面内的临界问题 如图，两个质量均为 的小木块 和 （可视为质点） 放在水平圆盘上， 与转轴 的距离为 ， 与转轴的距离为 。 木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的 倍，重力加速 度大小为 。 若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动