高三物理竞赛第05-06讲电磁感应动力学教师版

第五、六讲 电磁感应动力学两个自由度-一个棒子动【例1】 距地面h高处水平放置距离为L的两条光滑金属导轨，跟导轨正交的水平方向的线路上依次有电动势为的电池、电容为C的电容器及质量为m的金属杆，如图，单刀双掷开关S先接触头1，再扳过接触头2，由于空间有竖直向下的强度为B的匀强磁场，使得金属杆水平向右飞出做平抛运动. 金属杆有一定电阻，因此电容不一定完全放电. 测得其水平射程为s，问电容器最终电量为多少，有多少能量转换成了热能？【解析】先由电池向电容器充电，充得电量. 之后电容器通过金属杆放电，放电电流是变化电流，安培力也是变力. 根据动量定理： 其中 =s/t，h=gt综合得 电容器最终带电量 【例2】 位于竖直平面内的矩形平面导线框。长为，是水平的，长为，线框的质量为，电阻为.。其下方有一匀强磁场区域，该区域的上、下边界和均与平行，两边界间的距离为，磁场的磁感应强度为，方向与线框平面垂直，如图预16-4所示。令线框的边从离磁场区域上边界的距离为处自由下落，已知在线框的边进入磁场后，边到达边界之前的某一时刻线框的速度已达到这一阶段的最大值。问从线框开始下落到边刚刚到达磁场区域下边界的过程中，磁场作用于线框的安培力做的总功为多少？ 答案： 【例3】 如图所示，M1N1N2M2是位于光滑水平桌面上的刚性U型金属导轨，导轨中接有阻值为R的电阻，它们的质量为m0导轨的两条轨道间的距离为l，PQ是质量为m的金属杆，可在轨道上滑动，滑动时保持与轨道垂直，杆与轨道的接触是粗糙的，杆与导轨的电阻均不计初始时，杆PQ于图中的虚线处，虚线的右侧为一匀强磁场区域，磁场方向垂直于桌面，磁感应强度的大小为B现有一位于导轨平面内的与轨道平行的恒力F作用于PQ上，使之从静止开始在轨道上向右作加速运动已知经过时间t , PQ离开虚线的距离为x，此时通过电阻的电流为I0，导轨向右移动的距离为x0（导轨的N1N2部分尚未进人磁场区域）求在此过程中电阻所消耗的能量不考虑回路的自感杆PQ在磁场中运动时，受到的作用力有：外加恒力F，方向向右；磁场的安培力，其大小FB=BIl，方向向左，式中I是通过杆的感应电流，其大小与杆的速度有关；摩擦力，大小为F，方向向左根据动能定理，在所考察过程中作用于杆的合力做的功等于杆所增加的动能，即有 （1）式中v为经过时间t杆速度的大小，WF为恒力F对杆做的功，WF安为安培力对杆做的功，WF为摩擦力对杆做的功恒力F对杆做的功 WF=Fx （2）因安培力的大小是变化的，安培力对杆做的功用初等数学无法计算，但杆克服安培力做的功等于电阻所消耗的能量，若以ER表示电阻所消耗的能量，则有 WF安=ER （3）摩擦力F是恒力，它对杆做的功 WF=Fx （4）但F未知因U型导轨在摩擦力作用下做匀加速运动，若其加速度为a，则有 F=m0a （5）而 a=2x0/t2 （6）由（4）、（5）、（6）三式得 （7）经过时间t杆的速度设为v，则杆和导轨构成的回路中的感应电动势 =Blv （8）根据题意，此时回路中的感应电流 （9）由（8）、（9）式得 （10）由（l）、（2）、（3）、（7）、（10）各式得 （11）评分标准：本题20分（1）式3分，（2）式l分，（3）式4分，（7）式4分，（10）式5分，（11）式3分【例4】 如图所示，已知电源电动势为E，内阻为r，跟电阻R连接后与足够长的间距为L的平行金属导轨连接，ab为金属棒，它能在导轨上自由滑动。金属棒和导轨无电阻，彼此间滑动摩擦力。F是个恒力，匀强磁场B的方向如图所示。 (1)求开关S接通后金属棒ab的极限速度。 (2)如果这一极限速度v极是磁场B的函数，问B多大时，v有最大值?这时对应的电流多大? (3)如果rR，ab棒速度为vp值时，电池有最大输出功率Pmax，求Pmax与vP的关系式【例5】 如图所示，在磁感应强度为B的匀强磁场中(图中未画出磁场)，两根金属杆OM和ON交于O，夹角为120，金属棒dc跟两金属杆光滑接触，触点是E和F。EOF是等腰三角形，三角形所在的平面跟磁感线垂直，初始时刻EOFO=L。金属杆和金属棒为同种材料，每单位长度的电阻都是k。现使ac棒从静止起以加速度a垂直于ac向左运动，求回路中电功率的最大值。【例6】 如图所示，顶角=45的金属导轨MON固定在水平面内，导轨处在方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中。一根与ON垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定速度v0沿导轨MON向右滑动，导体棒的质量为m，导轨与导体棒单位长度的电阻均为r导体棒与导轨接触点的为a和b，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触，t=0时，导体棒位于顶角O处，求： （1）t时刻流过导体棒的电流强度I和电流方向。（2）导体棒作匀速直线运动时水平外力F的表达式。（3）导体棒在Ot时间内产生的焦耳热Q。（4）若在t0时刻将外力F撤去，导体棒最终在导轨上静止时的坐标x。【解析】：（1）0到时间内，导体棒的位移 ，时刻，导体棒的有效长度 ，导体棒的感应电动势 ，回路总电阻 ，电流强度为 ，电流方向。（2）。（3）时刻导体棒的电功率 =， 。（4）撤去外力后，设任意时刻导体棒的坐标为，速度为，取很短时间或很短距离，在，由动能定理得=（忽略高阶小量） 得 = 扫过的面积： 得。 或 设滑行距离为，则 即 解之 （负值已舍去） 得 【例7】 假想有一水平方向的匀强磁场，磁感应强度B很大，有一半径为R、厚度为d(dR)的金属圆盘在此磁场中竖直下落，盘面始终位于竖直平面内并与磁场方向平行，如图所示。若要使圆盘在磁场中下落的加速度比没有磁场时减小千分之一(不计空气阻力)，试估算所需磁感应强度的数值。假定金属盘的电阻为零，再设金属盘的密度9103kg/m3，其介电常数910-12C2/(Nm2)。【例8】 (积分，选讲)如图，ACDEA是一段闭合线圈，总电阻为R，其中的AC段中间有一部分绕成圆形. 圆形部分置于垂直纸面向内的匀强磁场B中，磁场分布在ACDEA的外圈内. 回路C端固定，DE端自由，A端受平行于CA方向的恒力F作用向外运动，从而使圆圈缓缓变小.假设圆圈在变小过程中始终保持圆形，并假设导体柔软，因此阻力不计. 试求圆圈从初始半径r0减小到0需要的时间.解析对这类阻力不好直接判断的题，通常要从能量角度角度下手.外力F的做功转化为线圈焦耳热.即：Fdldt=P对线圈，电动势为：=B2rdrdt发热功率为：P=2R=42r2B2Rdrdt2dr与dl的关系由线圈的几何条件限制：-2dr=dl综上可得：dt=-2B2r2FRdr总时间为：t=r00-2B2r2FRdr=2B23RFr03一个棒子动+电感【例9】 如图所示，在铅直面内二平行导轨相距l1cm，且与一纯电感线圈L、直流电源(E、r)、水平金属棒AB联成一闭合回路。开始时，金属棒静止，尔后无摩擦地自由下滑(不脱离轨道)。设轨道足够长，其电阻可忽略；空间磁感应强度B的大小为0.4 T，其方向垂直于轨道平面。已知电源电动势E9V，内阻r0.5，金属棒质量m1kg，其电阻R1.1，线圈自感系数L12mH，试求金属棒最大下落速度。(取g10m/s2)【例10】 宽度为l的水平轨道上接入一个自感系数为L的线圈, 与质量为m的金属棒AB练成闭合回路, 放入与轨道垂直的匀强磁场B中，如图. 忽略摩擦及回路中的所有电阻，并且轨道足够长，如果在t=0时刻，突然给金属感一个大小为I的向外的冲量，试求：（1） 这之后金属棒的速度随时间的变化关系.（2） 金属棒能离开原来位置的最大距离.解析同上例中的电学和力学分析（1） 基尔霍夫方程vBl-Ldidt=0 (1)金属棒牛顿ma=mv=-iBl (2)(2)两边对t求导再代入（1）得：v+mLB2l2v=0 (3)(3)式跟简谐振动的方程完全一样，因此解也一样，由能量关系知道速度的最大值只能是I/m，所以v的解为：v=Imcost+0其中=mLB2l2 ，0由t=0时，v最大可得0=0.因此：v=Imcost（2） 对照简谐振动，A=vm=ImB2l2mL【例11】 倾角为。间距为d的二平行的光滑长导轨的顶端用自感系数为的无阻电感线圈连通，空间有竖直向上的均匀磁场，磁感应强度为现有一根质量为的金属杆，垂直于导轨放在二导轨上，接触良好不计导体杆和导轨的电阻，从静止开始释放金属杆，试以金属杆的初始位置为原点，沿导轨向下为x轴，写出金属杆的运动方程。解为简谐振动时为平衡位置，【例12】 图中oxy是位于水平光滑桌面上的直角坐标系，在的一侧，存在匀强磁场，磁场方向垂直于oxy平面向里，磁感应强度的大小为B。在的一侧，一边长分别为和的刚性矩形超导线框位于桌面上，框内无电流，框的一对边与x轴平行。线框的质量为m，自感为L。现让超导线框沿x轴方向以初速度进入磁场区域，试定量地讨论线框以后可能发生的运动情况及与初速度大小的关系。（假定线框在运动过程中始终保持超导状态）设某一时刻线框在磁场区域的深度为x，速度为，因线框的一条边切割磁感应线产生的感应电动势为，它在线框中引起感应电流，感应电流的变化又引起自感电动势设线框的电动势和电流的正方向均为顺时针方向，则切割磁感应线产生的电动势与设定的正方向相反，自感电动势与设定的正方向相同.因线框处于超导状态，电阻，故有 （1）即 （2）或 （3）即 （4）可见与x成线性关系，有 （5）C为一待定常数，注意到时，可得，故有 （6）时，电流为负值表示线框中电流的方向与设定的正方向相反，即在线框进入磁场区域时右侧边的电流实际流向是向上的外磁场作用于线框的安培力 （7）其大小与线框位移x成正比，方向与位移x相反，具有“弹性力”的性质下面分两种情形做进一步分析：（i）线框的初速度较小，在安培力的作用下，当它的速度减为0时，整个线框未全部进入磁场区，这时在安培力的继续作用下，线框将反向运动，最后退出磁场区线框一进一出的运动是一个简谐振动的半个周期内的运动，振动的圆频率（8） 周期（9）振动的振幅可由能量关系求得，令表示线框速度减为0时进入磁场区的深度，这时线框的初始动能全部转换为“弹性力”的“弹性势能”，由能量守恒可得（10）得（11）故其运动方程为， t从0到（12）半个周期后，线框退出磁场区，将以速度向左匀速运动因为在这种情况下的最大值是，即（13）由此可知，发生第（i）种情况时，的值要满足下式即（14） (ii) 若线框的初速度比较大，整个线框能全部进入磁场区当线框刚进入磁场区时，其速度仍大于0，这要求满足下式（15）当线框的初速度满足（15）式时，线框能全部进入磁场区，在全部进入磁场区域以前，线框的运动方程与（12）式相同，但位移区间是到，所以时间间隔与（12）式不同，而是从0到 （16） 因为线框的总电动势总是为0，所以一旦线框全部进入磁场区域，线框的两条边都切割磁感应线，所产生的电动势之和为 0，因而自感电动势也为0此后线框中维持有最大的电流，磁场对线框两条边的安培力的合力等于零，线框将在磁场区域匀速前进，运动的速度可由下式决定即（17）三个自由度-两个个棒子动【例13】 在竖直向下的磁感应强度的匀强磁场中，水平放置一金属框架，框架上有两条匀质可动导体棒和，长度均为，总电阻，导轨电阻不计，它们跟导轨间的摩擦阻力分别为，且恒定不变，如图所示，若用一与垂直的水平拉力拉向右运动，当和都达匀速时，将有多大?这时和的速度之差为多大?(取)【解析】 和都达到匀速运动时，它们各自受力均平衡，它们一定受安培力作用因此，回路中必有电流，总电动势不为零根据法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律和平衡条件建立方程组即可求解设、受到的安培力分别为和，对由平衡条件有；对由平衡条件有：，因流经、的电流相等，故，解得：回路中的总电动势为，电流，解得【一题多变】本题只需要做个状态分析即可，所以不难，如果把题改为：开始两棒都是静止的，突然给ab棒一个恒力F=0.06N，1） 当cd启动时候ab运动状态如何2） 系统最终稳定的情况如何？【例14】 光滑平行异形金属轨道abcd如图所示。轨道水平部分bcd处于竖直向上的匀强磁场中，bc段的宽度为cd段宽度的2倍，轨道足够长。将质量相同的金属棒P和Q分别放置于轨道上的ab和cd段，P棒位于距水平轨道高h的地方，放开P棒，使其自由下滑。求P棒和Q棒的最终速度。【例15】 如图所示，电源的电动势为U，电容器的电容为C，K是单刀双掷开关，MN、PQ是两根位于同一水平面内的平行光滑长导轨，它们的电阻可以忽略不计，两导轨间距为L，导轨处在磁感应强度为B的均匀磁场中，磁场方向垂直于两导轨所在的平面并指向图中纸面向里的方向。和是两根横放在导轨上的导体小棒，它们在导轨上滑动时与导轨保持垂直并接触良好，不计摩擦，两小棒的电阻相同，质量分别为ml和m2，且m1m2。开始时两根小棒均静止在导轨上，现将开关K先合向1，然后合向2。求：(1)两根小棒最终的速度大小。 (2)在整个过程中的焦耳热损耗。(当问路中有电流时，该电流所产生的磁场可以忽略)【例16】 如图，水平地面上有足够长的平行金属导轨，导轨上放置两根可无摩擦滑动的平行导体棒，每根导体棒中串联一个电容值为C的固体介质电容器，构成闭合的矩形回路.整个轨道处于竖直方向的匀强磁场中.已知轨道间距为l，导体棒质量都是m，电阻为R，余下部分电阻可忽略不计. 开始时，左边导体棒静止，右边导体棒以初速度v0向右运动，运动过程中可以对电容充电.（1） 两棒的最终速度差是多少？（2） 就两电容器的充电过程而言，回路可等效为（b）图的无外磁场的静态回路，试求图中的、R和C值.解析（1） 对右棒，ma=-iBl, dP2=-Bldq,因此P2=-BlQ同样，左棒有：P1 =BlQ,因此有：mv1+mv2=mv0（1）mv0-v2=BlQ（2）回路：v2-v1Bl=2Q/C（3）得：v2-v1=mB2l2C+mv0（2） 就整个充电过程而言，有由（1）问的分析，mv2t-v1t=mv0-2BlQ(t)因此（4）式可以写为：v0Bl-2B2l2mQt-2QtC=itR 5(b)图中的电路方程为：-1CQt-2QtC=itR 6对比（5）（6）可得：=v0BlC=m2B2l2R=R【例17】 如图所示，两条平行的长直金属细导轨KL、PQ固定于同一水平面内，它们之间的距离为l，电阻可忽略不计；ab和cd是两根质量皆为m的金属细杆，杆与导轨垂直，且与导轨良好接触，并可沿导轨无摩擦地滑动。两杆的电阻皆为R。杆cd的中点系一轻绳，绳的另一端绕过轻的定滑轮悬挂一质量为M的物体，滑轮与转轴之间的摩擦不计，滑轮与杆cd之间的轻绳处于水平伸直状态并与导轨平行。导轨和金属细杆都处于匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨所在平面向上，磁感应强度的大小为B。现两杆及悬物都从静止开始运动，当ab杆及cd杆的速度分别达到v1和v2时，两杆加速度的大小各为多少？用E 和I分别表示abdc回路的感应电动势和感应电流的大小，根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律可知E Bl（v2v1） （1） （2）令F表示磁场对每根杆的安培力的大小，则FIBl （3）令a1和a2分别表示ab杆cd杆和物体M加速度的大小，T表示绳中张力的大小，由牛顿定律可知Fma1 （4）MgTma2 （5）TFma2 （6）由以上各式解得 （7） （8）评分标准：本题15分（l）式3分，（2）式2分，（3）式3分，（4）、（5）、（6）式各1分，（7）、（8）式各2分。【例18】 如图所示，有二平行金属导轨，相距l，位于同一水平面内（图中纸面），处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向竖直向下（垂直纸面向里）质量均为m的两金属杆ab和cd放在导轨上，与导轨垂直初始时刻， 金属杆ab和cd分别位于x = x0和x = 0处假设导轨及金属杆的电阻都为零，由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数为L今对金属杆ab施以沿导轨向右的瞬时冲量，使它获得初速设导轨足够长，也足够大，在运动过程中，两金属杆之间距离的变化远小于两金属杆的初始间距，因而可以认为在杆运动过程中由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数L是恒定不变的杆与导轨之间摩擦可不计求任意时刻两杆的位置xab和xcd以及由两杆和导轨构成的回路中的电流i三者各自随时间t的变化关系xO yv0cabyd(28)解法：当金属杆在磁场中运动时，因切割磁力线而产生感应电动势，回路中出现电流时，两金属杆都要受到安培力的作用，安培力使ab杆的速度改变，使cd杆运动设任意时刻t，两杆的速度分别为v1和v2（相对地面参考系S），若规定逆时针方向为回路电动势和电流的正方向，则由两金属杆与导轨构成的回路中，因杆在磁场中运动而出现的感应电动势为(1)令u表示ab杆相对于cd杆的速度，有(2)当回路中的电流i变化时，回路中有自感电动势EL，其大小与电流的变化率成正比，即有(3)根据欧姆定律，注意到回路没有电阻，有由式(2)、(3)两式得(4)设在t时刻，金属杆ab相对于cd杆的距离为，在tDt时刻，ab相对于c