高二物理竞赛班第4讲-磁电路-教师版

第4讲磁电路问题本讲导学磁电路问题是电磁感应章节比较复杂的问题，由于对电路概念，原理考查的比较深，所以我们专门用一讲进行专题训练. 本讲的难点有两点：1.电势差，阻降，电动势，电压表读数等相似概念的区别. 2微分方程的应用. 知识点睛一电路概念问题辨析1.关于电路电压：我们在春季学期电路一讲学过，电路两端电压等于电路上各个电压升降的代数和.例如如下一段电路：形成稳定电流时应该有：或者ab两端电压：电路中的E1，E2等可以是任意电动势，例如感生或动生电动势.2. 关于法拉第电磁感应定律与感生电动势动生电动势的概念联系与区别： 1）法拉第定理计算出来的电动势是整个回路的总电动势，研究的物理量是磁通量的变化，得出的电动势是整个回路的，但是电动势具体在电路的哪一部分分布无所知. 2）动生电动势的研究的部分导体，所以会具体指导电路中电动势具体的分布. 3）感生电动势如果用计算依然不知道电动势具体在每根导线上的分布，但是如果磁场是对称分布，电路几何形状也是对称的话，那么每个边上的电动势一定是等大的. 对于圆形磁场均匀变化形成的电动势用计算既可以计算整个回路电动势，也可以计算部分导线上的电动势. 3. 具体到问题：1） 如果我们计算部分电路中两点间电势差，则我们必须了解这部分所有电器上的电流，计算阻降，但是也必须计算这部分电路导线上的部分电动势. 2） 如果我们计算部分电路中电流，则只需要了解回路的总电动势即可，这样法拉第定律即可满足需求. 3） 如果我们计算理想电压表读数，或者稳定时电容器电压，由于电压表或者稳定电容体现的局部的阻降U，那么我们把含表（容）的一路当做断路，把这个阻降U列入整个回路的基尔霍夫定律方程组即可，这样的问题我们也只需要计算整个回路的总电动势. 例题选讲【例1】 在一半径为R的无限长密绕螺线管中有一均匀磁场，磁感应强度随时间线性变化(即B/t=k).现用单位长度电阻为r的导体线弯成半径为a的圆环，并把此环与螺线管同心放置（如图），求圆环中电流（考虑aR和aR:I=kR22r1aaR:I=ka2r【例2】 在上题中，圆环上处于同一直径上的两点AC之间电压UAC为多少？【解析】其实就是预热一下电压、电动势的计算，估计还是有不会的UAC=-AC+IRAC=0【例3】 在一无限长密绕螺线管中有一均匀磁场，磁感应强度随时间线性变化(即B/t=k)，求螺线管内横截面上,长为l的直线段MN上的感生电动势. (横截面圆的圆心O到MN的垂直距离为h)【解析】:求感生电动势有两种方法. 根据电动势的定义：某一线段上的感生电动势等于感生电场搬运单位正电荷沿此段运动时所做的功. 在MN上任选一小段，O点到距离为r，处的如图所示，与的夹角为，感生电场沿移动单位正电荷所做的功为， 而 则 而 故 把MN上所有的电动势相加， (2)用法拉第定律求解. 连接OM，ON，则封闭回路三角形OMN的电动势等于其所包围的磁通量的变化率. OM和ON上各点的感生电场均各自与OM和ON垂直，单位正电荷OM和ON上移动时，感生电场的功为零，故OM和ON上的感生电动势为零，封闭回路OMNO的电动势就是MN上的电动势. PMNQR2R【例4】 两根长度相度、材料相同、电阻分别为R和2R的细导线，围成一直径为D的圆环，P、Q为其两个接点，如图所示. 在圆环所围成的区域内，存在垂直于圆指向纸面里的匀强磁场. 磁场的磁感强度的大小随时间增大，变化率为恒定值b. 已知圆环中的感应电动势是均匀分布的. 设MN为圆环上的两点，MN间的弧长为半圆弧PMNQ的一半. 试求这两点间的电压. 【解析】：根据电磁感应定律，整个圆环中的感应电动势的大小为此电动势均匀分布在整个环路内，方向是逆时针方向. 由欧姆定律可知感应电流为PMNQR2RM、N两点的电压由以上各式，可得可见，M点电势比N点低【例5】 在图中，半径为的圆柱形区域内有匀强磁场，磁场方向垂直纸面指向纸外，磁感应强度随时间均匀变化，变化率(为一正值常量),圆柱形区外空间没有磁场，沿图中弦的方向画一直线，并向外延长，弦与半径的夹角直线上有一任意点，设该点与点的距离为，求从沿直线到该点的电动势的大小【解析】1任意点在磁场区域内：令为任意点（1），在图中连直线与. 取闭合回路，可得回路电动势，式中，分别为从到、从到、从到的电动势. 由前面的分析可知，故 （1）令的面积为，此面积上磁通量，由电磁感应定律，回路的电动势大小为根据题给的条件有 （2）由可知 （3）由（1）、（2）、（3）式可得沿线段的电动势大小为 （4）2任意点在磁场区域外：令为任意点，. 在图中连、. 取闭合回路，设回路中电动势为，根据类似上面的讨论有 （5）对于回路，回路中磁通量等于回路所包围的磁场区的面积的磁通量，此面积为，通过它的磁通量. 根据电磁感应定律可知回路中电动势的大小 （6）在图中连，令，则，于是当时，中有 于是得 （7）由（5）（6）（7）式可得沿线的电动势的大小为 （8）VV【例6】 将一个半径a、电阻为r的圆形导线，接上一个电阻为R的电压表后按图 (a)、(b)两种方式放在磁场中，连接电压表的导线电阻可忽略，(a)、(b)中的圆心角都是. 均匀变化的磁场垂直于圆面，变化率. 试问(a)、(b)中电压表的读数各为多少？【提示】 有限电阻的电压表读数为内阻乘以流过电压表的电流.设其读数为V，对含表回路列基尔霍尔方程即可，不用计算局部电动势与含表路的电流. 只需要对整个回路计算电动势，并且结算有电流部分的阻降即可第一种电路电压表的读数为零. 第二种【例7】 （预热超难理解的下一题）在一半径为R的无限长密绕螺线管中有一均匀磁场，磁感应强度随时间线性变化(即B/t=k).现用单位长度电阻为r的导体线弯成半径为a的圆环，并把此环与螺线管同心放置（如图）. (例题1)现在电路中接入一个体积可忽略，内阻无限大的电压表.（1） aR，电压表从AC点引出并如图（b）放置.（a） （b）【解析】注意电压表显示的其实是DF两点的电压（1） 其等效电路如图：示数U=UFD=FA-AC+IRAC+CD=FA+CD=R2k2（2） 同理U=R2k2【例8】 如图所示，在正方形导线回路所围的区域内分布有方向垂直于回路平面向里的匀强磁场，磁感应强度随时间以恒定的变化率增大，回路中的感应电流为已知、两边的电阻皆为零；边的电阻，边的电阻. 1试求两点间的电压、两点间的电压、两点间的电压、两点间的电压. 2若一内阻可视为无限大的电压表V位于正方形导线回路所在的平面内，其正负端与连线位置分别如图所示，求三种情况下电压表的读数、. 【解析】1. 设回路中的总感应电动势为，根据楞次定律可知，电路中的电流沿逆时针方向，按欧姆定律有 （1）由对称性可知，正方形回路每条边上的感应电动势相等，设为，等效电路如图所示. 有 （2）根据含源电路欧姆定律，并代入数值得 （3） （4） （5） （6）2. 三种情况下的等效电路分别如图. 对图中的回路，因磁通量变化率为零，回路中的总电动势为零，这表明连接两端的电压表支路亦为含源电路，电压表的读数等于由正端（）到负端（一）流过电压表的电流乘以电压表的内阻，因阻值为无限大，趋近于零（但为有限值），故得 解得 （7）同理，如图所示，回路的总电动势为，故有 （8）解得 （9）代入数据得 （10）所示，回路的总电动势为零，而边中的电阻又为零，故有 （11）【例9】 半径为R的金属丝圆环，有一个沿直径放置的金属跨接线，左、右两半圆上分别接上电容器C1和C2，如图所示. 将环放置在磁感应强度随时间而线性增大的磁场中，B（t）=B0t/T，磁场方向垂直于环面. 某一时刻撤去跨接线，接着磁场停止变化. 求两个电容器上带的电量. 【提示】分两步解决问题，有磁场时计算两电容上的电势差，计算之前电量以及电荷分布. 后来是电荷先中和后按电容比分布. 解得 MNCO【例10】 如图所示,OC为一绝缘杆，C端固定一金属细杆MN，已知MC=CN，MN=OC=R，MCO=60. ，此结构整体可绕O点在纸面内沿顺时针方向以匀角速度转动，设磁感强度为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场存在，则M、N两点间的电势差UMN=？【解析】或动生+感生简化运算（也可以直接用动生电动势积分）连OM、ON构成一个三角形OMN，在转动过程中，因三角形回路中磁通量不变，故有，且，所以【例11】 如图所示，一很长的薄导体平板沿x轴放置，板面位于水平位置，板的宽度为L，电阻可忽略不计，aebcfd是圆弧形均匀导线，其电阻为3R，圆弧所在的平面与x轴垂直. 圆弧的两端a和d与导体板的两个侧面相接触，并可在其上滑动. 圆弧ae=eb=cf=fd=圆周长，圆弧bc=圆周长. 一内阻R的体积很小的电压表位于圆弧的圆心O处，电压表的两端分别用电阻可以忽略的直导线与b和c点相连. 整个装置处在磁感强度为B、方向竖直向上的匀强磁场中. 当导体板不动而圆弧导线与电压表一起以恒定速度v沿x轴方向平移运动时. (1)求电压表的读数. (2)求e点与f点的电势差. 【解析】: 当圆弧型导线和电压表的连线在磁场中运动时，各段导线都切割磁感线，都有感应电动势. 由图可以看出，弧bc段的感应电动势的大小E. 弧ae段的感应电动势的大小. 弧eb,cf,fd各段的感应电动势的大小都等于E. 连接电压表的每根导线中的感应电动势的大小都为E. 由以上分析，可得如图所示的等效电路. 设各导线中的电流分别为、V和，方向如图所示，则有=-=-V=2I以及注意到，得图解式并将代入，得.电压表的读数2、e点与f点的电势差科技史第一个行星探测器人们发射了人造卫星以后不久，就开始了行星探测器的研制工作. 太阳系内有9颗大行星，它们是水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星、冥王星. 探测的第一个目标，就是离地球最近的金星. 开始，事情进行得并不顺利，屡次失败. 直到1962年8月27日，第一个金星探测器水手2号发射成功. 12月14日，水手2号在距金星34838公里处飞过，完成了对金星的逼近考察，成为一颗人造行星，永远环绕太阳飞行，每3459天绕太阳一周. 之后，人们发射了好几个金星探测器，其中有的进入了金星的大气层，有的在金星上软着陆. 它们向地球送回了大量的资料，揭开了蒙在金星表面的那层面纱，取得了丰硕成果. 火星是太阳系中一颗迷人的天体. 它上面是否有生命，一直是个谜，很自然地，在行星际旅行的最初阶段，人们立即想到要去拜访那些想象中的火星人. 1965年，人们发射了火星探测器水手4号，第一次对火星进行逼近探测. 之后，人们发射了好几个火星探测器，有的在绕火星的轨道上飞行，有的在火星表面上软着陆. 它们发回了大量资料. 但是，没有一个火星探测器找到过火星人的踪迹. 水星探测器水手10号于1973年11月3日发射成功. 它飞行了506个日日夜夜. 在飞行期间，它向地球传送了4000多幅很清晰的电视照片. 根据照片，人们已给水星绘制了地貌图. 水星给人们的印象是：它是多么地象月亮啊!为了考察木星这颗外行星，美国在1972年3月3日发射了第一个木星探测器-先锋10号. 先锋10号穿越火星轨道后，同年7月进入小行星带，1973年2月安全无恙地通过了这个危险区域，径直向木星飞去，开始了对木星这颗太阳系内最大的行星的观测. 这位重270千克的使者飞行了21个月，行程10亿公里，于1973年12月5日风尘仆仆地来到木星上空. 从它发回的资料来看，木星上奇异的大红斑是一个耸立在10公里高空的云团. 这云团可能是一个强大的逆时针旋转的长寿命旋涡，也可能是一个团激烈上升的气流. 先锋10号被木星的巨大引力加速，终于克服了太阳引力场，成为第一艘逃