高一物理竞赛第11讲 带电粒子运动.教师版

第11讲 带电物体在电场中的运动本讲提纲1. 电场中的能量2. 自能，互能，电场能本讲的主要例题只是通过带电粒子运动把整个电场一章的内容做一次复习。知识点睛一.电势能1.电势能的差静电力是保守力，可引入电势能的概念。由保守力作功和势能增量的关系有： Epab = -(Wb - Wa) q0在电场中a、b两点电势能之差等于把q0自a点移至b点过程中电场力所作的功。电势能应属于q0和产生电场的源电荷系统共有。2.电势能选标准点(势能零点)，在电场中某点a的电势能为即把q0自a “标准点”的过程中电场力作的功。所以电势能的定义为：3.连续电荷分布的静电能对于一个有限体积的带电体，我们姑且不考虑其微观结构而只注意其静电性质，那么可以说，这一带电体之所以能够结合在一起，是需要外力维持的。我们设想下面的过程来说明如何构成一个有限大小的带电体。开始的时候，所有的电荷都位于无穷远处，我们人为地将一个个电荷从无穷远处极缓慢地移动到指定的位置，那么，在这个极缓慢的过程中我们对电荷所施加的力与电荷所受的的静电力想必是大小相等而方向相反的，我们所作的功就应该等于电荷的电势能的增量。不断地重复这一过程，直到最终组成我们所要的有限大小的带电体，在整个过程中，我们所作的功就是静电体系的静电能。这样，从功能原理的角度我们重新解释了静电能。下面通过一个简单的例子来说明书这一过程。我们来计算一个半径为R的均匀带电球体的电势能。现在让我们从功能原理的角度考虑这个问题。如图所示，为了构造一个半径为R的带电球体，我们就要准静态地把电荷从无穷远处搬运到适当的位置，并组成球形。假设在某个时候我们已经构成了如图所示的情形，即已经有了一个半径为r的带电球体，接下来我们要继续从无穷远处搬运电荷，并将搬来的电荷均匀地分布在这个球体上。我们每次搬运的电荷都是很少的，设电荷密度为，那么每次搬运的电荷量可以表示为，而球表面的电势为，无穷远处的电势为零，故在某一次的搬运过程中我们所作的功即为电量为的电荷的电势能的改变，它就是最后我们要组成半径为R的带电球，于是该球体的电势能就是对上式的积分，即 =可以将电荷密度表示为，这里Q是这个球体的带电量，于是上式化为 这便是半径为R带电量为Q的均匀球体的静电能。由于同种电荷是彼此排斥的，所以这一能量可以理解为维持这样的带电系统保持平衡所需要能量。下面我们来比较一下这样一些概念：静电能、相互作用能、自能。在不少教科书及参考书中这些概念经常出现。首先要重申，点电荷这一概念是数学上的抽象而不是物理上的实在，当用点电荷这一概念讨论物理问题时，我们不再关注已经被抽象成“点”的电荷的大小、形状及内部结构，转而关注这些“点”电荷对自身以外的空间或其它电荷的影响。于是，对于由点电荷组成的静电系统，所谓的静电能就只能是各个点电荷之间的相互作用能。对于那些有具体形状或大小的连续电荷分布，整体上的静电能可以分为自能和相互作用能两部分，让我们对此稍作分析。上面我们计算了一个均匀带电球体的静电能，这个带电球体当然是一种连续的电荷分布，而且空间中除了这个带电球体外再没有别的带电体，这时我们可以说，这个带电球所具有的静电能就是其自身的自能。再设想另有一个带电球体，那么，由这两个带电体组成的静电体系的总的静电能应该表示为：总的静电能=带电球1的自能+带电球2的自能+两个带电球间的相互作用能其中相互作用能的计算是这样：把带电球1设想为源，它将在空间形成一定的电场，而带电球2位于该电场中，那么带电球2所具有的电势能便是二者间的相互作用能；当然，你也可以将球2设想为源，计算球1在带电球2形成电场中的电势能即可，二者只取其一，是不能相加的。 在上一讲中，我们介绍过电场能的概念，通过计算不难发现，实际总的静电能，既可以通过做功来计算，也可以定义：静电场的静电能可以表示为：。对于真空中的静电场 在均匀的各向同性的介质中，静电能的能量密度为 。从上面的讨论中可以看出，静电能储存在电场中，虽然我们是从电荷的带电量和电势的角度出发的，但结果显示，能量和电场有着不可分割的联系，这也从另一方面说明电场的物质性及确实是真实存在的物质。例题精讲【例1】 一粒子从A点射入电场，从B点射出，电场的等势面和粒子的运动轨迹如图所示，图中左侧前三个等势面彼此平行，不计粒子的重力。下列说法正确的有A粒子带负电B粒子的加速度先不变，后变小C粒子的速度不断增大D粒子的电势能先减小，后增大答案：AB【例2】 图为静电除尘器除尘机理的示意图。尘埃在电场中通过某种机制带电，在电场力的作用下向集尘极迁移并沉积，以达到除尘目的。下列表述正确的是A.到达集尘极的尘埃带正电荷B.电场方向由集尘极指向放电极C.带电尘埃所受电场力的方向与电场方向相同D.同一电荷运动过程中加速度一直在变小答案：BD【例3】 如题图所示，电量为+q和-q的点电荷分别位于正方体的顶点，正方体范围内电场强度为零的点有A. 体中心、各面中心和各边中点B. 体中心和各边中点C. 各面中心和各边中点D. 体中心和各面中心答案：D【例4】 一电场强度为的均匀电场，的方向与X轴正向平行，如图所示，则通过图中一半径为R的半球面的电场强度通量为。 （A）；（B）；（C）2；（D）0。答案：D 【例5】 测定压力变化的电容式传感器如图所示，为固定电极，为可动哇 且成一个电容大小可变的电容器可动电极两端固定，当待测压力施加在可动电极上时，可动电极发生形变，从而改变了电容器的电容现将此电容式传感器连接到如图所示的电路中，当待测压力增大时( ) A电容器的电容将减小 B电阻中没有电流 C电阻中有从流向的电流D电阻中有从流向的电流答案：D【例6】 空间有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E随X变化的图像如图所示。下列说法正确的是AO点的电势最低w w w.ks5 u .c omBX2点的电势最高CX1和- X1两点的电势相等DX1和X3两点的电势相等答案：C【例7】 图（a）为示管的原理图。如果在电极YY之间所加的电压图按图（b）所示的规律变化，在电极XX亮斑荧光屏YYXXXYY偏转电极电子枪Xttt12t12t13t1t1UxUyOO图(a)图(b)图(c)之间所加的电压按图（c）所示的规律变化，则在荧光屏上会看到的图形是ABC D 答案：B【例8】 如图所示，A、B两点相距2L ，圆弧是以B为圆心、L为半径的半圆。A处放有电量为q的电荷，B处放有电量为q的点电荷。试问：（1）将单位正电荷从O点沿移到D点，电场力对它做了多少功？（2）将单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远处去，电场力对它做多少功？解析：UO = k + k = 0UD = k + k = U = 0再用功与电势的关系即可。【例9】 在不计重力空间，有A、B两个带电小球，电量分别为q1和q2 ，质量分别为m1和m2 ，被固定在相距L的两点。试问：（1）若解除A球的固定，它能获得的最大动能是多少？（2）若同时解除两球的固定，它们各自的获得的最大动能是多少？（3）未解除固定时，这个系统的静电势能是多少？【答】（1）k；（2）Ek1 = k ，Ek2 = k；（3）k 。【例10】 如图所示，三个带同种电荷的相同金属小球，每个球的质量均为m 、电量均为q ，用长度为L的三根绝缘轻绳连接着，系统放在光滑、绝缘的水平面上。现将其中的一根绳子剪断，三个球将开始运动起来，试求中间这个小球的最大速度。解设剪断的是1、3之间的绳子，动力学分析易知，2球获得最大动能时，1、2之间的绳子与2、3之间的绳子刚好应该在一条直线上。而且由动量守恒知，三球不可能有沿绳子方向的速度。设2球的速度为v ，1球和3球的速度为v，则动量关系 mv + 2m v= 0能量关系 3k = 2 k + k + mv2 + 2m解以上两式即可的v值。答v = q 。【例11】 如图所示，真空中相距d=5 cm的两块平行金属板A、B与电源连接(图中未画出)，其中B板接地（电势为零）,A板电势变化的规律如图8-3所示.将一个质量m=2.010-23 kg,电量q=+1.610-1C的带电粒子从紧临B板处释放，不计重力.求： (1)在t=0时刻释放该带电粒子，释放瞬间粒子加速度的大小; (2)若A板电势变化周期T=1.010-5 s,在t=0时将带电粒子从紧临B板处无初速释放，粒子到达A板时动量的大小；(3)A板电势变化频率多大时，在t=到t=时间内从紧临B板处无初速释放该带电粒子，粒子不能到达A板. 【解析】电场强度E =带电粒子所受电场力，F=ma粒子在0时间内走过的距离为m故带电粒在在时恰好到达A板根据动量定理，此时粒子动量kgm/s带电粒子在向A板做匀加速运动，在向A板做匀减速运动，速度减为零后将返回，粒子向A板运动的可能最大位移要求粒子不能到达A板，有s d/2 代入数据可得，为使电子都打不到屏上，U至少为100V （2）当电子恰好从A板右边缘射出偏转电场时，其侧移量最大ymax=d/2=2.5cm。电子飞出偏转电场时，其速度的反向延长线通过偏转电场的中心，设电子打在屏上距中心点的最大距离为Ymax，则由几何关系可知：，解得：Ymax=ymax=5.0cm 由第（1）问中的可知，在其它条件不变的情况下，u越大y越小，所以当u=800V时，电子通过偏转电场的侧移量最小 其最小侧移量=1.2510-2m=1.25cm同理，电子打在屏上距中心点的最小距离Ymin=ymin=2.5cm 所以电子打在屏上距离中心点O在2.5cm5.0cm的范围内 2.静电喷漆技术具有效率高，浪费少，质量好，有利于工人健康等优点，其装置示意图如图所示。A、B为两块平行金属板，间距d0.30m，两板间有方向由B指向A、电场强度E1.0103N/C的匀强电场。在A板的中央放置一个安全接地的静电油漆喷枪P，油漆喷枪的半圆形喷嘴可向各个方向均匀地喷出带电油漆微粒，油漆微粒的质量m2.01015kg、电荷量为q2.01016C，喷出的初速度v02.0 m/s。油漆微粒最后都落在金属板B上。微粒所受重力和空气阻力以及微粒之间的相互作用力均可忽略。试求：（1）微粒落在B板上的动能；（2）微粒从离开喷枪后到达B板所需的最短时间；（3）微粒最后落在B板上所形成图形的面积。 BPdEA解析：（1）据动能定理，电场力对每个微粒做功，微粒打在B板上时的动能 代入数据解得： J （2）微粒初速度方向垂直于极板时，到达B板时间最短，到达B板时速度为vt，有 可得vt=8.0m/s。由于微粒在两极板间做匀变速运动，即 可解得 t =0.06s （3）由于喷枪喷出的油漆微粒是向各个方向，因此微粒落在B板上所形成的图形是圆形。对于喷枪沿垂直电场方向喷出的油漆微粒，在电场中做抛物线运动，根据牛顿第二定律，油漆颗粒沿电场方向运动的加速度 运动的位移 油漆颗粒沿垂直于电场方向做匀速运动，运动的位移即为落在B板上圆周的半径 微粒最后落在B板上所形成的圆面积 S=R2联立以上各式，得 代入数据解得 S =7.510-2m2 学习之外 电的故事电在我们的日常生活中已经成为司空见惯的东西了。然而在一百六十多年前，它还是一种神秘莫测的“怪物呢”。1745年，荷兰莱顿城的两个科学家发明了可以放电的电容器莱顿瓶，把过去只是在摩擦时或打雷时一瞬而过的神秘东西电，变成了可以人工控制并反复出现的事实。1831年，英国的法拉第打开了电学迷宫，将磁转变成电。1879年，美国的爱迪生点亮了世界上第一盏电灯泡，开创了人类用电的新纪元。然而，鱼类用电的历史却更早。远在35000万年以前，鱼类的祖先古老的无颌类甲鱼，就已经有了发电器官。而意大利的物理学家伏特，在1799年所发明的第一个直流电源伏特电池，就是以鱼的发电器官为模式而设计的，所以伏特把自己设计的电池叫做“人造电器官”。由此可见，鱼类才是电的老祖宗。鱼类能够生电的有许多种，电压较高的有电鳐、电瞻星鱼、电鲶、电鳗等。电鳐生活在热带和亚热带海洋中，我国东南沿海有双鳍电鳐和单鳍电鳐。它属于软骨鱼类，体型像一把肥厚的蒲扇。它眼睛很小，皮下粘液使得皮肤与肌肉连接得非常松弛。虽然其貌不扬，但身上却装有两台“发电机”。我们若将它头胸部的两侧皮肤剥开，就可以看到每侧各有一蜂窝状的器官，这就是它的“发电机”发电器。这个发电器的构造十分复杂，它是由许多纤维组织隔成的若干六角形、垂直的管（电柱）组成的。每一个管内部都贮有无色胶状物，并由许多小电板分成许多间隔，每块电板的腹面，又都有神经纤维相连接。电板的腹面是负极，背面是正极。每个电柱约有40块左右的电板，而每个发电器都有电柱200600个。如果我们按每个发电器有600个电柱来计算，那么一尾电鳐就有24000块电板。这样复杂的电路，安排得如此精巧，就是技术高超的电工，恐怕也是望尘莫及的。电鳐依靠这种发电器发出的电压可高达7080伏特，而且可以自行控制，随时发出。电鳐发电是用来捕食和击退敌人的。当小鱼虾游来时，它放电将其击昏而饱餐一顿；当敌人来袭击时，它放电以自卫。有趣的是，在欧洲一些国家的沿海居民，在很早以前就把电鳐当作“电疗机”来治病。据说，用电鳐可治疗头痛病和风湿性关节炎。直到现在，有时仍可看到人们在海滩上寻找电鳐治病的情景。触到电鳐，足以使人麻木，但它的电压在发电鱼中并不是高的，若比起电鲶和电鳗来，就大为逊色了。电鲶生活在非洲河流中，它的发电电压可达400450伏；电鳗生活于美洲的河流中，它的发电电压竟可达300860伏特。如此之高，可谓高压放电了。发电鱼的发电器官的排列方式和构造并不相同。例如，电鳗的电柱不是与身体垂直，而是与鱼纵轴平行，电板虽只有6000块，但是很大，几乎占了躯干部和尾部的大部分。一尾体重20公斤的电鳗，发电器就要占10公斤以上。电鲶的电柱与体轴垂直，并且它的电板最多，竟有200万块。这里有个问题需要说明，就是放电鱼类无论其放电电压多么高或蓄电能力多么强，但它们的电源并非