高二竞赛班第14讲 简谐振动的判定和相位计算.学生版

第14讲简谐振动的判定和相位计算 导读1、 判定简谐振动的定义是说，一个量随着时间变化规律满足如果是由动力学因素引起的，则可以归结为方程：两边同时乘以，然后消去，得到也就说，本质上是需要寻找正比于平方的势能项和正比于平方的动能项。这也就形成了判定简协振动的两种常见思路：受力分析和能量分析。要注意的是，受力分析要精确到一阶小量，而能量分析要到第二阶（复习在平衡点的势能展开）。比较好的运算习惯是在平衡点，设无量纲数作为展开变量。简谐振动是广泛存在于物理世界中的，乃们好好学习遇到两个自由度运动的时候，如果猜想其中一个是简谐振动，可以考虑用守恒量消去一个。如果两个自由度看起来都在振动而且相互有关系，就要考虑是否要换元到独立变量了。2、 相位计算这个是竞赛为了增加计算量而独有的一坨题目。特点是包含不止一个运动过程，每次切换过程，需要用速度和位移，以及平衡点的位置，确定下一个过程的振幅的相位。常见的办法是直接对比运动方程：；或者比较能量方程。这个计算过程相对来说较长，每个状态结束的时候，振幅、相位、位移、速度之类的一般会作为采分点出现。例题精讲【例1】 如图，在半径为的光滑碗底，有两个质点，质量为均为，之间用一根长为的轻杆连接。在平衡点上给一个小扰动，求简谐振动周期。比较能量和受力两种做法。【例2】 如图四根杆铰接，长度比为3：3：1：1。短杆长度为，两边吊着质量为的重物，中间放着原长为的弹簧，弹簧下端和短杆一起铰接在地面上，平衡的时候杆和水平角度为。始终保持左右对称，求微小振动的时候系统的周期。重力加速度为。比较受力分析和能量两种办法。【例3】 在光滑平面上放有一个质量为的匀质圆环，内径为。从圆环的三个三等分点上各连出一根轻质弹簧，原长几乎为0，劲度系数为，三根弹簧连到一个质量为的质点上。用一个恒力沿着方向作用于圆环，若质点与圆环保持相对静止，则相对圆心位移为多少？初态圆环和质点保持静止，沿着某根弹簧方向给圆环一个冲量，使得速度为，求之后圆环和质点的运动方程。【例4】 讲一个密度为水的一半的均匀的，横截面为的矩形的长木条浮在水面上。a) 证明上下振动和左右摆动是两个独立的振动。b) 要求木条能稳定的浮在水面上，的取值范围。【例5】 在一个光滑顶角为的漏斗中，一个小球以速度在水平面内做圆周运动。求有微小扰动的时候，小球的轨道有什么样的变化。【例6】 （选讲）质量为M的中心星体周边有一堆密度为的尘埃，求这个体系中半径为R的圆轨道周期，并算出有扰动的时候对应的轨道进动周期。【例7】 如图两个质量为，直径为的圆盘之间用一个质量为，长度为的套筒固定相连，套筒中方有一个质量为，长度为的木棒。找两根原长为，劲度系数为的弹簧绳套，绕过直径把木棒两端各自套在圆盘上。（1） 让装置下端距离地面，静止释放木棒与地面发生完全非弹性碰撞，要求圆盘与地面不相碰，求的最大值。（2） 不考虑重力，把木棒拉开平衡位置一定距离，求体系振动周期。 【例8】 设有一湖水足够深的咸水湖，湖面宽阔而平静，初始时将一体积很小的匀质正立方体物块在湖面上由静止开始释放，释放时物块的下底面和湖水表面恰好接触。已知湖水密度为；物块边长为，密度为，且。在只考虑物块受重力和液体浮力作用的情况下，求物块从初始位置出发往返一次所需的时间。 【例9】 如图所示，一块长为的光滑平板PQ固定在轻质弹簧上端，弹簧的下端与地面固定连接。平板被限制在两条竖直光滑的平行导轨之间（图中未画出竖直导轨），从而只能地竖直方向运动。平板与弹簧构成的振动系统的振动周期。一小球B放在光滑的水平台面上，台面的右侧边缘正好在平板P端的正上方，到P端的距离为。平板静止在其平衡位置。水球B与平板PQ的质量相等。现给小球一水平向右的速度，使它从水平台面抛出。已知小球B与平板发生弹性碰撞，碰撞时间极短，且碰撞过程中重力可以忽略不计。要使小球与平板PQ发生一次碰撞而且只发生一次碰撞，的值应在什么范围内？取【例10】 从北极向北纬30度某地之间挖一条直线的光滑轨道。将两个质量为和的刚性小球从两个轨道洞口同时释放，在中间，发生完全弹性碰撞，然后发现