高二竞赛班第6讲 动力学关联和惯性力 教师版

第6讲 动力学I关联和惯性力本讲导学 第一部分是关联的处理。两套思路：第一套是矢量力学，写加速度关联，写对每个物理写牛顿第二定律，然后暴力解方程。第二套思路是分析力学，写几何约束，写能量表达式，求一次导数得答案。具体可能遇到各种细节问题，例如转动的问题，曲率半径的问题等等。第二部分是复习惯性力。先给几个简单例子，然后给了一个科里奥利力的简单计算，希望大家不要再对这一项惯性力感到玄妙。例题精讲第一部分 关联的处理【例1】 如图有两根长度为的轻杆铰接在一起，在顶点和中点处镶上五个质量为的质点。地面光滑，某时刻左右两个物体速度大小为，分别向左向右，角度为。求此时五个物体的加速度。注意比较用加速度关联的做法和用能量求导数的办法。为什么现在加速度大小和速度有关了？【例2】 如图一根横梁上有两个定点，间距为，找到一个轻绳，长度为。套一个质量为的小环，初始状态质点在点正下方，绳子拉直，从静止释放。求当走到的中垂线的位置的时候，的速度和加速度，以及绳子拉力，忽略一切摩擦。将题设改为点固定，点变成一个无质量的小环，套在横梁上，在任意点的时候，绳子的拉力。七、（26分）一根不可伸长的细轻绳，穿上一粒质量为的珠子（视为质点），绳的下端固定在点，上端系在轻质小环上，小环可沿固定的水平细杆滑动（小环的质量及与细杆摩擦皆可忽略不计），细杆与在同一竖直平面内开始时，珠子紧靠小环，绳被拉直，如图复19-7-1所示，已知，绳长为，点到杆的距离为，绳能承受的最大张力为，珠子下滑过程中到达最低点前绳子被拉断，求细绳被拉断时珠子的位置和速度的大小（珠子与绳子之间无摩擦）注：质点在平面内做曲线运动时，它在任一点的加速度沿该点轨道法线方向的分量称为法向加速度，可以证明，为质点在该点时速度的大小，为轨道曲线在该点的“曲率半径”，所谓平面曲线上某点的曲率半径，就是在曲线上取包含该点在内的一段弧，当这段弧极小时，可以把它看做是某个“圆”的弧，则此圆的半径就是曲线在该点的曲率半径如图复19-7-2中曲线在点的曲率半径为，在点的曲率半径为1. 珠子运动的轨迹建立如图复解19-7所示的坐标系，原点在过点的竖直线与细杆相交处，轴沿细杆向右，轴沿向下。当珠子运动到点处且绳子未断时，小环在处，垂直于轴，所以珠子的坐标为 由知 即有，得 （1）这是一个以轴为对称轴，顶点位于处，焦点与顶点的距离为的抛物线，如图复解19-7-1所示，图中的，为焦点。OBHPAChyFTTNaaaaxMxMxmg切线法线mg法线切线NmgxyCPAOHTCAN图复解 19-7-1图复解 19-7-22. 珠子在点的运动方程因为忽略绳子的质量，所以可把与珠子接触的那一小段绳子看做是珠子的一部分，则珠子受的力有三个，一是重力；另外两个是两绳子对珠子的拉力，它们分别沿和方向，这两个拉力大小相等，皆用表示，则它们的合力的大小为 （2）为点两边绳子之间夹角的一半，沿的角平分线方向。因为是焦点至的连线，平行于轴，根据解析几何所述的抛物线性质可知，点的法线是的角平分线故合力的方向与点的法线一致。由以上的论证再根据牛顿定律和题中的注，珠子在点的运动方程（沿法线方向）应为 （3） （4）式中是点处轨道曲线的曲率半径；为珠子在处时速度的大小。根据机械能守恒定律可得 （5）3. 求曲车半径当绳子断裂时，由（4）式可见，如果我们能另想其他办法求得曲率半径与的关系,则就可能由（4）、（5）两式求得绳子断裂时珠子的纵坐标。现提出如下一种办法。做一条与小珠轨迹对于轴呈对称状态的抛物线，如图复解19-7-2所示。由此很容易想到这是一个从高处平抛物体的轨迹。平抛运动是我们熟悉的，我们不仅知道其轨迹是抛物线，而且知道其受力情况及详细的运动学方程。这样我们可不必通过轨道方程而是运用力学原理分析其运动过程即可求出与对称的点处抛物线的曲率半径与的关系，也就是处抛物线的曲率半径与的关系。设从抛出至落地的时间为，则有 由此解得 （7）设物体在处的速度为，由机械能守恒定律可得 （8）物体在处法线方向的运动方程为 （9）式中即为处抛物线的曲率半径，从（7）、（8）、（9）式及,可求得 这也等于点抛物线的曲率半径，故得 （10）4. 求绳被拉断时小珠的位置和速度的大小把（5）式和（10）式代入（4）式，可求得绳子的张力为 （11）当时绳子被拉断，设此时珠子位置的坐标为，由（11）式得 （12）代入（1）式，得 （13）绳子断开时珠子速度的大小为 （14）【例3】 如图所示，质量为的光滑三角劈，倾角为，在其顶点固定一个小滑轮，忽略摩擦。质量为的一个物块以绳子连接，绳子另一端固定在竖直墙上，物块则放在劈上。问系统自由释放加速运动，到达速度为时，三角劈的加速度为多少?注意比较加速度关联和能量求导出的做法。【例4】 27届第三题。注意如何表达约束。三、参考解答：解法一图1hqm一倾角为的直角三角形薄片(如图1所示)紧贴于半径为的圆柱面，圆柱面的轴线与直角三角形薄片的沿竖直方向的直角边平行，若把此三角形薄片卷绕在柱面上，则三角形薄片的斜边就相当于题中的螺线环根据题意有 （1）可得：， （2）设在所考察的时刻，螺旋环绕其转轴的角速度为，则环上每一质量为的小质元绕转轴转动线速度的大小都相同，用u表示， （3）该小质元对转轴的角动量整个螺旋环对转轴的角动量 （4）小球沿螺旋环的运动可视为在水平面内的圆周运动和沿竖直方向的直线运动的合成在螺旋环的角速度为时，设小球相对螺旋环的速度为，则小球在水平面内作圆周运动的速度为 （5）沿竖直方向的速度 （6）对由小球和螺旋环组成的系绕，外力对转轴的力矩为0，系统对转轴的角动量守恒，故有 （7）由（4）、（5）、（7）三式得： （8） 在小球沿螺旋环运动的过程中，系统的机械能守恒，有 （9）由（3）、（5）、（6）、（9）四式得： （10）解（8）、（10）二式，并利用（2）式得 （11） （12）由（6）、（12）以及（2）式得 （13） 或有 （14）（14）式表明，小球在竖直方向的运动是匀加速直线运动，其加速度 （15）若小球自静止开始运动到所考察时刻经历时间为，则有 （16）由（11）和（16）式得 （17）（17）式表明，螺旋环的运动是匀加速转动，其角加速度 （18）CRm图2小球对螺旋环的作用力有：小球对螺旋环的正压力，在图1所示的薄片平面内，方向垂直于薄片的斜边；螺旋环迫使小球在水平面内作圆周运动的向心力的反作用力向心力在水平面内，方向指向转轴C，如图2所示、两力中只有对螺旋环的转轴有力矩，由角动量定理有 （19）由（4）、（18）式并注意到得 （20）而 （21）由以上有关各式得 （22）小球对螺旋环的作用力 （23）评分标准：本题22分（1）、（2）式共3分，（7）式1分，（9）式1分，求得（11）式给6分，（20）式5分，（22）式4分，（23）式2分解法二一倾角为的直角三角形薄片(如图1所示)紧贴于半径为的圆柱面，圆柱面的轴线与直角三角形薄片的沿竖直方向的直角边平行，若把此三角形薄片卷绕在柱面上，则三角形薄片的斜边就相当于题中的螺线环图1hqm根据题意有： （1）可得： ， （2）螺旋环绕其对称轴无摩擦地转动时，环上每点线速度的大小等于直角三角形薄片在光滑水平地面上向左移动的速度小球沿螺旋环的运动可视为在竖直方向的直线运动和在水平面内的圆周运动的合成在考察圆周运动的速率时可以把圆周运动看做沿水平方向的直线运动，结果小球的运动等价于小球沿直角三角形斜边的运动小球自静止开始沿螺旋环运动到在竖直方向离初始位置的距离为的位置时，设小球相对薄片斜边的速度为，沿薄片斜边的加速度为薄片相对地面向左移动的速度为，向左移动的加速度为就是螺旋环上每一质元绕转轴转动的线速度，若此时螺旋环转动的角速度为，则有 （3）而就是螺旋环上每一质元绕转轴转动的切向加速度，若此时螺旋环转动的角加速度为，则有 （4）小球位于斜面上的受力情况如图2所示：重力，方向竖直向下，斜面的支持力，方向与斜面垂直，以薄片为参考系时的惯性力，方向水平向右，其大小 （5） 由牛顿定律有 （6） （7） （8）解（5）、（6）、（7）、（8）四式得 （9） （10） （11）利用（2）式可得 （12） （13） （14）由（4）式和（14）式，可得螺旋环的角加速度 （15）若小球自静止开始运动到所考察时刻经历时间为，则此时螺旋环的角速度 （16）因小球沿螺旋环的运动可视为在水平面内的圆周运动和沿竖直方向的直线运动的合成，而小球沿竖直方向的加速度 （17）故有 （18） 由（15）、（16）、（17）、（18）、以及（2）式得 （19） 小球在水平面内作圆周运动的向心力由螺旋环提供，向心力位于水平面内，方向指向转轴，故向心力与图2中的纸面垂直，亦即与垂直向心力的大小 （20）式中是小球相对地面的速度在水平面内的分量.若为小球相对地面的加速度在水平面内的分量，则有 （21）令为在水平面内的分量，有 （22）由以上有关各式得 （23）小球作用于螺旋环的力的大小 （24）由（13）、（23）和（24）式得 （25）评分标准：本题22分（1）、（2）式共3分，（9）或（12）式1分，（10）或（13）式5分，（11）或（14）式1分，（19）式6分，（23）式4分，（25）式2分第二部分 复习惯性力【例5】如图所示，一平台在水平面内绕竖直中心轴以角速度匀速运动，在平台内沿半径方向开两个沟槽，质量为mA的小球置入一个两者间摩擦因数为的沟槽A内，质量为mB的小球放在一个光滑的沟槽B内。用长l的细线绕过平台中心轴两端与A、B两球相连。设平台中心是半径可忽略的细轴且光滑。A球位置可以用它到中心点O的距离x表示。求在稳定情形下，x的取值范围。【例6】 在XZ竖直平面内，支在原点O的一根弯杆，其形状可以用函数z=x2/k来描写，k为有长度量纲的非零正常数在杆上穿有一个滑块，杆与滑块间的静摩擦系数为（如图所示）1不考虑摩擦，求滑块的高度为z时，它在沿杆方向的加速度的大小下列5种答案中有一个是正确的，试作出判断并说明理由：0；g；2g; gz; gz/k2考虑摩擦，但杆不动，在什么情况下滑动可以在杆上静止？（用z、g、k等表达）3现在设杆以速度绕Z轴匀速转动，且有关系=，这时滑块可以在何处相对于杆静止？4若=0.5, =，则滑块不滑动的条件