第5讲几何光学、费马原理、二次曲线几何性质、相位表示、惠更斯原理.教师版

高二物理竞赛 第 5 讲 几何光学本讲导学几何光学是光学的一个古老的分支，也是物理学中最早被研究的分支。据传，阿基米德 就已经掌握了光的反射定律。当然，如今我们要面对的几何光学元件是远远要比平面镜复杂 的。随着光学的发展，费马提出了以自己名字命名的定理，费马定理几乎可以概括整个集合 光学。本讲就为大家详细地介绍几何光学。知识点睛一、全反射21全反射光从密度媒质 1 射向光疏媒质 2，当入射角大于临界角 a = sin -1 ni1i2i3生全反射。 二、多层介质折射如图：多层介质折射率分别为 n1 , n2 , n3 L则由折射定律得：n1 sin i1 = n2 sin i2 = L = nk sin ik三、球面折射成像时，光线发n1 n2 n3（1）球面折射成像公式（a）单介质球面折射成像如图所示，如果球面左、右方的折射率分别为 1 和 n， S 为 S 的像。因 为 i、r 均很小，所以 nR 讲述高端的，真正的物理学高二物理竞赛第 5 讲教师版是球心，O 是顶点，球面曲率半径为 R，S 是物点， S 是像点，对于近轴光线n1i1 = n2i2 讲述高端的，真正的物理学高二物理竞赛第 5 讲教师版i1 = a + b ，i2 = b - q ，a =A0 ， b =uA0 ，q = A0Rvn联立上式解得 1u+ n2v= n2 - n1r同时，我们可以算出，放大率为s nsn四、费马原理：光总选择光程取极值的路径五、惠更斯原理：惠更斯指出，由光源发出的光波，在同一时刻 t 时它所达到的各点的 集合所构成的面，叫做此时刻的波阵面（又称为波前），在同一波阵面上各点的相位 都相同，且波阵面上的各点又都作为新的波源向外发射子波， 子波相遇时可以互相叠加，历时t 后，这些子波的包络面例题精讲就是 t+t 时刻的新的波阵面。波的传播方向与波阵面垂直， 波阵面是一个平面的波叫做平面波，其传播方向与此平面垂 直，波阵面是一个球面（或球面的一部分）的波叫做球面波， 其传播方向为沿球面的半径方向,如图 六、二次曲线由于具有特殊的几何性质，在某些条件下可以理 想成像。不同的二次曲线理想成像的条件也不同。多次反射：一定角度的镜子，成几个象【例1】 两镜面间夹角 a =15,OA=10cm，镜子长 20cmA 点发出的垂直于 L2 的光线射向 L1 后 在两镜间反复反射，直到光线平行于某一镜面射出，则从 A 点开始到最后一次反射点，L1O 光线所走的路程是多少。AL2【解析】依次做出一面镜子在另一面镜子中成的虚像。【答案】17.32cm【例2】 在光导纤维制造过程中，由于拉伸速度不均匀，会使拉出的光纤偏离均匀的圆柱体， 而呈圆锥状现把一段长为 L，折射率为 n(=1.5)的光纤简化为细长圆锥体的一部分，其顶 角很小，两端截面的半径分别是 R1 和 R2，R1 略大于 R2.图是过光纤轴线的剖面图。1 将该光纤置于空气中，求从大头入射并能从小头出射的光线的最大入射角。2 计算以最大的入射角入射的光线在光纤中的反射次数。【解析】一直做虚像，可得，大头形成了一个大圆，小头形成了一个小圆。只要入射光线能 和小圆相交或相切即可。【例3】 设有一块透明光学材料，由折射率略有不同的许多相互平行、厚度为 d=0.1mm 的薄层密接构成。如图，表示与各薄层垂直的一个截面，AB 为此材料的端面，与薄层界面垂直。 OO表示截面的中心线。各薄层的折射率 nk 的数值为 nk=n0k，其中 n0=1.4142，=0.0025。 今有一光线 PO 以入射角0=30射向 O 点。求此光线在材料内能够达到的离 OO最远的距 离。【解析】从 O 摄入后，其折射角为【例 4】给定一块平行平板，折射率按 变化，其中 n 0 为 O 点的折射率，n0=1.2、r =12cm、x 为图中 x 轴的坐标。一束光线在 O 点由空气垂直入射平板，并在 A 点以300 角出射，如图所示。求 A 点的折射率，并确定 A 点的位置和平板的厚度【答案】光线路径是一个圆，半径为 r。A 处n = 0.83, 坐标为(12 63, 6), 平板厚 6cm。QQuv【例 5】在一个曲率半径为 R 的左右两侧面各有折射率为 n1， n2 的两种透明介质，证明球介面折射的成像公式为：n1 + n2 = n2n1。当入射光从顶点uvR射向球心时，R 取正值，当入射光从球心射向顶点时，R 取负值。【提示】用小角近似，注意几何关系及折射定律，具体证明略。【例 6】一束平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射，经透镜折射后，会聚于透镜后 f=48cm 处，透镜的折射率 n=1.5。若将此透镜的凸面镀银，物置于平面前 12cm 处，求最后所成像的位 置。【解析】:平凸透镜的凸面镀银后将成为凹面镜，我们可根据平凸透镜平行光汇聚的几何关 系求出凸球面的曲率半径 R，即求出凹面镜的焦距，根据平面折射成像及凹面镜成像的规律 可进一步求出最后所成像的位置。解:（1）先求凸球面的曲率求径 R。平行于主光轴的光线与平面垂直，不发生折射，它在球面上发生折射，交主光轴于 F 点，如图所示，C 点为球面的球心， CO = R ，由正弦定 理可得R + f R=sin riiCrCO = ROr - iEsin(r - i)由折射定律知 sin i = 1 sin rn当 i、r 很小时，sin r r ，sin(r - i) r - i ，sin i i 由以上 两式得1 + f R=r r - i=n n -1= 1 +1n -1PCPPO12cm所以R = (n -1) f（2）凸面镀银后将成为半径 R 的凹面镜，如图所示令 P表示物所在的位置，P 点经平面折射成像于 P ，根据折射定 律可推出PO = nPO由于这是一个薄透镜， P 与凹面镜的距离可认为等于PO ， 设 反射 后成 像于 P ， 则 由 球 面镜 成像 公式 可得1+PO1= 2POR因此可解得 PO = 36cm ，可知 P 位于平面的左方，对平面折射来说，是一个虚物，经平面折射后，成实像于点。PO = 1PO = 24(cm)POn最后所成实像在透镜左方 24cm 处。【例 7】如图所示，折射率 n=1.5 的全反射棱镜上方 6cm 处放置一物体 AB，棱镜直角边长为 6cm，棱镜右侧 10cm 处放置一焦距 f1=10cm 的凸透镜，透镜右侧 15cm 处再放置一焦距 f2=10cm 的凹透镜，求该光学系统成的位置和像放大率。【例 8】（2002 年 19 届复赛第五题）薄凸透镜放在空气中时，两侧焦点与透镜中心的距离相 等。如果此薄透镜两侧的介质不同，其折射率分别为 n1 和 n2 ，则透镜两侧各有一个焦点（设为 F1 和 F2 ），但 F1 、 F2 和透镜中心的距离不相等，其值分别为 f1 和 f2 。现有一个薄凸透镜 L ，已知此凸透镜对平行光束起会聚作用，在其左右两侧介质的折射率及焦点的位置如图 复 19-5 所示。1试求出此时物距 u ，像距 v ，焦距 f1 、 f2 四者之间的关系式。2若有一傍轴光线射向透镜中心，已知它与透镜主轴的夹角为q1 ，则与之相应的出射 线与主轴的夹角q2 多大？3 f1 ， f2 ， n1 ， n2 四者之间有何关系？【解析】QyPn1f1n2F2Ff2Pyu1vQ图复解 19-5-1利用焦点的性质，用作图法 可求得小物 PQ 的像 PQ ，如下 图所示。（1）用 y 和 y 分别表示物和像的大小，则由图中的几何关系可得高二物理竞赛第 5 讲教师版y = u - f1 =f2（1）yf1v - f2(u - f1)(v - f2 ) = f1 f2简化后即得物像距公式，即 u ， v ， f1 ， f2 之间的关系式f1 +f2 = 1（2）uv（2）薄透镜中心附近可视为筹薄平行板，入射光线经过两次折射后射出，放大后的 光路如图复解19-5-2所示。图中q1 为入射角，q2 为与之相应的出射角， g 为平行板中的光线与法线的夹角。设透镜的折射率为 n ，则由折射定律得n1 sinq1 = nsing = n2 sinq2（3）对傍轴光线，q1 、q2 1，得 sinq1 q1 ， sinq2 q2 ，因而得21q = n1 qn2n1n2q1ng（4）gq2讲述高端的（3）由物点 Q 射向中心 O 的入射线，经图复解 19-5-2，真正的物理学L 折射后，出射线应射向 Q ，如图复解19-5-3所示，QLn1n2PyQyPF2q1F1uq2v图复解 19-5-3在傍轴的条件下，有二式相除并利用（4）式，得 讲述高端的，真正的物理学高二物理竞赛第 5 讲教师版yu = n1 yvn2（6）用（1）式的 y/ y = f1 /(u - f1) 代入（6）式，得f1u= n1(u - f1 )vn2即f1= n1uv n2u + n1v（7）用（1）式的 y/ y = (v - f2 ) / f2 代入（6）式，得(v - f2 )u = n1 f2vn2即f2= n2uv n2u + n1v（8）从而得 f1 ， f2 ， n1 ， n2 之间关系式f2 = n2（9）f1n1【例 9】普通光纤是一种可传输光的圆柱形细丝，由具有圆形截面的纤芯 A 和包层 B 组成， B 的折射率小于 A 的折射率，光纤的端面和圆柱体的轴垂直，由一端面射入的光在很长的 光纤中传播时，在纤芯 A 和包层 B 的分界面上发生多次全反射现在利用普通光纤测量流 体 F 的折射率实验方法如下：让光纤的一端（出射端）浸在流体 F 中令与光纤轴平行 的单色平行光束经凸透镜折射后会聚光纤入射端面的中心 O ，经端面折射进入光纤，在光 纤中传播由点 O 出发的光束为圆锥形，已知其边缘光线和轴的夹角为a0 ，如图所示最后光从另一端面出射进入流体 F 在距出射端面 h1 处放置一垂直于光纤轴的毛玻璃屏 D ， 在 D 上出现一圆形光斑，测出其直径为 d 1 ，然后移动光屏 D 至距光纤出射端面 h 2 处，再测 出圆形光斑的直径 d 2 ，如图所示1若已知 A 和 B 的折射率分别为 nA 与 nB ，求被测流体 F 的折射率 nF 的表达式2若 nA 、 nB 和a0 均为未知量，如何通过进一步的实验以测出 nF 的值?【答案】（1）由于光纤内所有光线都从轴上的 O 点出发，在光纤中传播的光线都与轴相交， 位于通过轴的纵剖面内，图 1-2-20 为纵面内的光路图。设由 O 点发出的与轴的夹角为的 光线，射至 A、B 分界面的入射角为 i，反射角也为 i，该光线在光纤中多次反射时的入射角 均为 i，射至出射端面时的入射角为。若该光线折射后的折射角为q ，则由几何关系和折射定可得 i + a = 90 nA sin a = nF sin q 当 i 大于全反射临界角 ic 时将发生全反射，没有光能损失，相应的光线将以不变的光强射向出射端面。而i iC的光线则因在发生反射时有部分光线通过折射进入 B，反射光强随着反射次数的增大而越来越弱，以致在未到达出射端面之前就已经衰减为零了。因而能射向出射端面的光线的 i 的数值一定大于或等于 ic，i aCsin a0 sin aC1 - sin 2 iC1 - ( nB )2nA= cos iC =时，或nA sin a0 时，由 O 发出的光束n2AB- n2中，只有a aC的光线才满足i iC的条件下，才n - n22AB能射向端面，此时出射端面处的最大值为0amax = ac = 90- iC若 a ac，即 nA sin a0 iC的条件，因而都能射向端面，此时出射端面处的最大值为amax = a0端面处入射角最大时，折射角也达最大值，设q max，由式可知nF sin q max = nA sin amax【例 10】有一种被称为直视分光镜的光谱学仪器。所有光学元件均放在一直长圆筒内。筒内有：三个焦距分别为 f1 、 f 2 和 f 3 的透镜 L1 , L2 , L3 ， f1 =f 2 f3 ；观察屏 P，它是一块带有刻度的玻璃片；由三块形状相同的等腰棱镜构成的分光元件（如图所示），棱镜分别用折射率不同的玻璃制成，两侧棱镜的质料相同，中间棱镜则与它们不同，棱镜底面与圆筒 轴平行。圆筒的一端有一与圆筒轴垂直的狭缝，它与圆筒轴的交点为 S，缝平行于棱镜的底 面当有狭缝的一端对准筒外的光源时，位于圆筒另一端的人眼可观察到屏上的光谱。已知：当光源是钠光源时，它的黄色谱线（波长为 589.3 nm，称为 D 线）位于圆筒轴 与观察屏相交处。制作棱镜所用的玻璃，一种为冕牌玻璃，它对钠 D 线的折射率 nD 1.5170; 另一种为火石玻璃，它对钠 D 线的折射率 nD =1.7200。 1.试在图中绘出圆筒内诸光学元件相对位置的示意图并说出各元件的作用。2.试论证三块棱镜各应由何种玻璃制成并求出三棱镜的顶角a 的数值。【例 11】快艇系在湖面很大的湖的岸边（湖岸线可以认为是直线），突然快艇被松脱，风吹 着快艇以恒定的速度 v0=2.5km/h 沿与湖岸成=15的角飘去。你若沿湖岸以速度 v1=4km/h 行走或在水中以速度 v2=2km/h 游去，能否赶上快艇？当快艇速度为多大时总可以赶上？【例 12】试用费马原理解释光的反射折射【例 13】试用费马原理解释：1） 平行光入射到凹面镜后汇聚到一点，这个凹面镜为一抛物面。2） 从某点发射的散射光经过一个曲面反射后如果能汇聚与另一点则该曲面为一 椭球面。【例 14】试用惠更斯原理预测水波通过小孔时会发生什么现象。【例 15】一个长轴旋转椭球，折射率为 n 。平行光沿着长轴从空气中入射。问椭圆几何形 状满足什么条件的