第4讲热学_循环效率及绝热近似.教师版

高二物理竞赛 第 4 讲循环效率及绝热近似本讲导学循环过程是热力学中的一个主要的问题，本讲主要通过例题介绍各种循环过程。同时，在本讲的最后，也会将一些难题介绍给大家。知识点睛一、循环过程 系统由某一状态出发，经历一系列过程又回到原来状态的过程，称为循环过程。热机循环过程在 P-V 图上是一根顺时针绕向的闭合曲线(如图 2-2-1)。系统经过循环过程回到原来 状态，因此E=0。PBACDOMNV图 2-2-1由图可见，在 ABC 过程中，系统对外界作正功，在 CDA 过程中，外界对系统作正功。在热机循环中，系统 对外界所作的总功：W = (P-V 图中循环曲线所包围的面积)而且由热 力学第一定律可知：在整个循环中系统绕从外界吸收的热量总和 Q1 ，必然大于放出的热量总和 Q2 ，而且 Q1 - Q2 = W 热机效率表示吸收来的热量有多少转化为有用的功，是热机性能的重要标志之一，效率的定义为h = W = 1 - Q2 1Q1Q1卡诺循环物质系统经历一系列的变化过程又回到初始状态，这样的周而复始的变化过程为循环过 程，简称循环。在 P-V 图上，物质系统的循环过程用一个闭合的曲线表示。经历一个循环， 回到初始状态时，内能不变。利用物质系统(称为工作物)持续不断地把热转换为功的装置叫 做热机。在循环过程中，使工作物从膨胀作功以后的状态，再回到初始状态，周而复始进行 下去，并且必而使工作物在返回初始状态的过程中，外界压缩工作物所作的功少于工作物在 膨胀时对外所做的功，这样才能使工作物对外做功。获得低温装置的致冷机也是利用工作物 的循环过程来工作的，不过它的运行方向与热机中工作物的循环过程相反。卡诺循环是在两个温度恒定的热源之间工作的循环过程。我们来讨论由平衡过程组成的卡诺循环，工作物与温度为 T1 的高温热源接触是等温膨胀过程。同样，与温度为 T2 的低温 热源接触而放热是等温压缩过程。因为工作物只与两个热源交换能量，所以当工作物脱离两 热源时所进行的过程，必然是绝热的平衡过程。如图 2-3-1 所示，在理想气体卡诺循环的 P-V图上，曲线 ab 和 cd 表示温度为 T1 和T2 的两条等温线，曲线 bc 和 da 是两条绝热线。我们 先讨论以状态 a 为始点，沿闭合曲线 abcda 所作的循环过程。在 abc 的膨胀过程中，气体对 讲述高端的，真正的物理学高二物理竞赛第 4 讲教师版外做功W1 是曲线 abc 下面的面积，在 cda 的压缩过程中，外界对气体做功W2 是曲线 cda 下 面的面积。气体对外所做的净功W = (W1 - W2 ) 就是闭合曲线 abcda 所围面积，气体在等温膨胀过程V1ab 中，从高温热源吸热 Q = nRTIn V2 ，气体在等1温压缩过程 cd 中，向低温热源放热我们再讨论理想气体以状态 a 为始点，沿闭合曲线 adcba 所分的循环过程。显然，气体 将从低温热源吸取热量 Q2 ，又接受外界对气体所作的功 W，向高温热源传热 Q1 = W + Q2 。 由于循环从低温热源吸热，可导致低热源的温度降得更快，这就是致冷机可以致冷的原理。致冷机的功效常用从低温热源中吸热 Q2 和所消耗的外功 W 的比值来量度，称为致冷系数，即w = Q2W=Q2 Q1 - Q2，对卡诺致冷机而言，w =T2。T1 - T2二、热力学第二定律表述 1：不可能制成一种循环动作的热机，只从一个热源吸取热量，使之全部变为有用 的功，而其他物体不发生任何变化。表述 2：热量不可能自动地从低温物体转向高温物体。在表述 1 中，我们要特别注意“循环动作”几个字，如果工作物进行的不是循环过程， 如气体作等温膨胀，那么气体只使一个热源冷却作功而不放出热量便是可能的。该叙述反映 了热功转换的一种特殊规律，并且表述 1 与表述 2 具有等价性。我们用反证法来证明两者的 等价性。pV假设表述 1 不成立，亦即允许有一循环 E 可以从高温热源取 得热量 Q1 ，并全部转化为功 W。这样我们再利用一个逆卡诺循环 口接受 E 所作功 W(= Q1 )，使它从低温热源T2 取得热量 Q2 ，输 出热量 Q1 + Q2 给高温热源。现在把这两个循环总的看成一部复合致冷机，其总的结果是，外界没有对他做功而它却把热量 Q2 从 低温热源传给了高温热源。这就说明，如果表述 1 不成立，则表述 2 也不成立。反之，也可以证明如果表述 2 不成立，则表述 1 也必然不成立。试证明在 P-V 图上两条绝热线不能相交。假定两条绝热线与在 P-V 图上相交于一点 A，如图所示。现在，在图上再画一等温 线，使它与两条绝热线组成一个循环。这个循环只有一个单热源，它把吸收的热量全部转 变为功，即=1，并使周围没有变化。显然，这是违反热力学第二定律的，因此两条绝热线 不能相交。例题精讲【例1】 1mol 理想气体缓慢地经历了一个循环过程,在 p-V 图中这一过程是一个椭圆,如图 所示.已知次气体若处在与椭圆中心 O点所对应的状态时,其温度为 T0 =300K.求在整个循 环过程中气体的最高温度 T1 ,和最低温度 T2 各是多少.【答案】549K，149K【例2】 1mol 单原子气体，经历的循环过程由 PV 图上的直线过程与绝热压缩过程组成。【例3】 1mol 理想气体经历一循环过程在 T - P1 图中的过程分式如图所示。其中状态1 2 的过程方程为 T = T b 2 P2 其中 T 为状态 1 的温度， b 为已知常数，状态 2 的温度11T2 = 4T1 ；状态 2 到状态 3 的过程线为过原点 O 的直线；状态 3 到状态 1 的过程为与 P 轴垂5直的直线。已知该理想气体定容摩尔热容量为 Cv=R 。求（1）各状态的状态参量，并在2P -V 图上作出该循环的图线。（2）求该循环的效率。【例4】 1 摩尔的理想气体经历了一个在 T-v 图上标为 1231 的循环过程，如图所 示其中，过程 12 的方程式为 T2T1(1-V/2)V，过程 23 为经过原点的直线上的一段，过程 31 的方程式为 T=T12V2，式中是常量状态 1 和 2 的热力学温度已知为 T1 和 3T1/4，和求该气体在此循环过程中对外所做的功【答案】W = 0.25RT1【例5】 如图所示，摩尔的理想气体沿 p-V 坐标面上的直线由状态 a 到达状态 b（直线 ab 的延长线通过原点 O），设该气体的摩尔质量为，定容比热为常量 CV，其他图中标明的参 量 p1，V1，V2 亦已知。（1）试求经 ab 过程，系统内能的增量U，对外作功 W，以及系统从外界吸收的热量 Q；（2）试证明在 ab 过程中，比热为常量。【例6】 已知 n mol 理 想 气 体 所 经 历 的 某 准 静 态 过 程 中 ， 摩 尔 热 容 量 C 可 表 为0V - 2(1 + 1 )Vppg式中 C 为定压摩尔热容量，g 为绝热指数，C 和 g 均为常量。设气体C =CpV0 - 4V体积为 v0 时，其温度为 T0。试求，气体在该过程中体积从 v0 增为 2v0 的膨胀阶段对外所作的 功 W。【解析】难。先由热力学第一定律求解出气体过程的状态方程T = aV (2V V0)，可以得到末态的 T=6T0。由初始条件可定出 a 的值。进而可得【例7】 已知 n (mol)的某理想气体在 T 2T0 时的定容热容 CV 1 = a nR ，在 T 2T0 时的定容 热容 CV 2 = bCV 1 ，其中 a 、 b 均为大于 1 的常量，该气体经历的循环过程 ABCDA 是如图所示的矩形(1)试求状态 D 的温度 TD ，并画出循环过程中系统内能随温度 T 变化的图线，(2) 试计算循环过程的效率h .【解析】由图可知，p2 = 2p1, V2 = 1.5V1, 故TD = 1.5T0【答案】图略，做功为W = 0.5V0 p0 = 0.5nRT0吸热为Q = T0 nR + T0 (nR + nR) = nRT0(1 + + )固效率为1 2(1+)【例8】 （选讲）如图所示，一绝热密封容器中间有一绝热活塞，质量为 m。当活塞处于正 中间时，两边空气的压强均为 p0，设两边长度均为 l，活塞面积为 S，若不计摩擦，求 活塞做微振动的周期。（把空气看作双原子分子理想气体）【解析】绝热模型，将快自由度的动力学方程平均成为状态方程，找到合适的“温度、压强、 体积”，将慢自由度写成能量守恒（热一）【答案】 F =mv2l + x， F =mv2l - xd (1 mv2 ) = -Fdx ，由此得绝热方程： F (l + x)3 = C2x由此 SF = -6F0l6vT = 2pl【例9】 （选讲）一个吊在墙上单摆，摆长 l ，重力加速度 g ，质量 m ，振幅 A 。慢慢从顶部把绳子抽短到 l /2 ，求当前振幅 A _2【答案】 F - mg = m vl_+ (cosq -1)mg =1 mg A24l2d (1 mv22max) = -(F - mg)dl4dAdl1 1由此得-= 0 ，可见振幅变为 ( )4Al2【例10】（选讲）一个带点粒子在磁场中做匀速率圆周运动，半径为 R ，磁场缓慢增 强为原来的两倍，则半径应当变为原来的多少倍？mv【答案】状态方程= R ，热一定律：dB p R2q = 2p REq =d 1 mv222p RBqdtdtv由此得dBdv2=，因此 BR2 = 常数Bv2【例11】（选讲）目前，由于精密焊接等技术的需求，人们对纳米尺度的缝隙或细管中 的液体的性质（例如，凝固、蒸发、等）极为关注。假设碳纳米管中水与管壁间的接触角为q ，纳米管的半径为 RP ，水的表面张力系数为s ，表面平直的水的凝结温度为 TS ,B ， 冰的熔解热为 l ，密度为 r .1. 试证明：上述碳纳米管中的水的凝结温度 TS ,P 相对于表面平直的水的凝结温度的改变量为 DTS= TS ,P - TS ,B 2s cosq= -r lRPTS ,B ；提示：最大热机效率为h =Tmax - Tmin Tmax2.实验测得当接触角q = 83.5o （即 cosq = 0.1132）时，纳米管中水的凝结温度的改变量与纳米管内（直）径 DP 间的对应关系如下表所示，DP (nm)1.351.701.873.21