高中物理竞赛第四阶段第11讲 带电物体在电场中的运动有答案

第 11 讲带电物体在电场中的运动本讲提纲1. 电场中的能量2. 自能，互能，电场能本讲的主要例题只是通过带电粒子运动把整个电场一章的内容做一次复习。知识点睛一.电势能1.电势能的差 静电力是保守力，可引入电势能的概念。由保守力作功和势能增量的关系有：Epab = -(Wb - Wa)q0 在电场中 a、b 两点电势能之差等于把 q0 自 a 点移至 b 点过程中电场力所作的功。电势能应属于q0 和产生电场的源电荷系统共有。2.电势能选标准点(势能零点)，在电场中某点 a 的电势能为即把 q0 自 a “标准点”的过程中电场力作 的功。所以电势能的定义为：Ep a = ja q03.连续电荷分布的静电能 对于一个有限体积的带电体，我们姑且不考虑其微观结构而只注意其静电性质，那么可以说，这一带电体之所以能够结合在一起，是需要外力维持的。我们设想下面的过程来说明如何构成一个有限 大小的带电体。开始的时候，所有的电荷都位于无穷远处，我们人为地将一个个电荷从无穷远处极缓 慢地移动到指定的位置，那么，在这个极缓慢的过程中我们对电荷所施加的力与电荷所受的的静电力 想必是大小相等而方向相反的，我们所作的功就应该等于电荷的电势能的增量。不断地重复这一过程，直到最终组成我们所要的有限大小的带电体，在整个过程中，我们所作的 功就是静电体系的静电能。这样，从功能原理的角度我们重新解释了静电能。下面通过一个简单的例 子来说明书这一过程。我们来计算一个半径为 R 的均匀带电球体的电势能。现在让我们从功能原理的角度考虑这个问 题。如图所示，为了构造一个半径为 R 的带电球体，我们就要准静态地把电荷从无穷远处搬运到适当 的位置，并组成球形。假设在某个时候我们已经构成了如图所示的情形，即已经有了一个半径为 r 的 带电球体，接下来我们要继续从无穷远处搬运电荷，并将搬来的电荷均匀地分布在这个球体上。我们每次搬运的电荷都是很少的，设电荷密度为 r ，那么每次搬运的电荷量可以表示为 4pr 2 rdr ，而球11表面的电势为14pe 0r 4 pr 23r，无穷远处的电势为零，故在某一次的搬运过程中我们所作的功即为电量为 4pr 2 rdr 的电荷的电势能的改变，它就是r 4 pr 2134pe 0r r 4pr 2 dr最后我们要组成半径为 R 的带电球，于是该球体的电势能就是对上式的积分，即4Rr pr 2 32 1W = r 4pr dr0 4pe 0r1=4pe 0(4p ) 23r 2 1 R 55可以将电荷密度 r 表示为Q4pR 33，这里 Q 是这个球体的带电量，于是上式化为2W = 31Q5 4pe 0 R这便是半径为 R 带电量为 Q 的均匀球体的静电能。由于同种电荷是彼此排斥的，所以这一能量 可以理解为维持这样的带电系统保持平衡所需要能量。下面我们来比较一下这样一些概念：静电能、相互作用能、自能。 在不少教科书及参考书中这些概念经常出现。首先要重申，点电荷这一概念是数学上的抽象而不是物理上的实在，当用点电荷这一概念讨论物理问题时，我们不再关注已经被抽象成“点”的电荷的大 小、形状及内部结构，转而关注这些“点”电荷对自身以外的空间或其它电荷的影响。于是，对于由点电荷组成的静电系统，所谓的静电能就只能是各个点电荷之间的相互作用能。对 于那些有具体形状或大小的连续电荷分布，整体上的静电能可以分为自能和相互作用能两部分，让我 们对此稍作分析。上面我们计算了一个均匀带电球体的静电能，这个带电球体当然是一种连续的电荷 分布，而且空间中除了这个带电球体外再没有别的带电体，这时我们可以说，这个带电球所具有的静 电能就是其自身的自能。再设想另有一个带电球体，那么，由这两个带电体组成的静电体系的总的静 电能应该表示为：总的静电能=带电球 1 的自能+带电球 2 的自能+两个带电球间的相互作用能其中相互作用能的计算是这样：把带电球 1 设想为源，它将在空间形成一定的电场，而带电球 2位于该电场中，那么带电球 2 所具有的电势能便是二者间的相互作用能；当然，你也可以将球 2 设想为源，计算球 1 在带电球 2 形成电场中的电势能即可，二者只取其一，是不能相加的。 在上一讲中，我们介绍过电场能的概念，通过计算不难发现，实际总的静电能，既可以通过做功来计算，也可以定义： 静电场的静电能可以表示为：W = wdV 。对于真空中的静电场w = 1 e2E2 o在均匀的各向同性的介质中，静电能的能量密度为w = 1 eE 2 。2从上面的讨论中可以看出，静电能储存在电场中，虽然我们是从电荷的带电量和电势的角度出发 的，但结果显示，能量和电场有着不可分割的联系，这也从另一方面说明电场的物质性及确实是真实 存在的物质。例题精讲【例1】 一粒子从 A 点射入电场，从 B 点射出，电场的等势面和粒 子的运动轨迹如图所示，图中左侧前三个等势面彼此平行，不计 粒子的重力。下列说法正确的有A粒子带负电 B粒子的加速度先不变，后变小 C粒子的速度不断增大 D粒子的电势能先减小，后增大【例2】图为静电除尘器除尘机理的示意图。尘埃在电场中通过某种机制带电，在电场力的作用 下向集尘极迁移并沉积，以达到除尘目的。下 列表述正确的是A.到达集尘极的尘埃带正电荷 B.电场方向由集尘极指向放电极 C.带电尘埃所受电场力的方向与电场方向相同 D.同一电荷运动过程中加速度一直在变小【例3】如题图所示，电量为+q 和-q 的点电荷分别位于正方体的顶点，正方体范围内电场强度 为零的点有A. 体中心、各面中心和各边中点B. 体中心和各边中点C. 各面中心和各边中点 D. 体中心和各面中心 答案：Dv【例4】一电场强度为 E 的均匀电场， E的方向与 X 轴正向平行，如图所示，则通过图中一半径为 R 的半球面的电场强度通量为。（A） pR2 E ；（B） 1 pR 2 E ；（C）2 pR 2 E ；（D）0。2【例5】 测定压力变化的电容式传感器如图所示，A 为固定电极，B 为可动哇 且成一个电容 大小可变的电容器可动电极两端固定，当待测压力施加在可动电极上时，可动电极发生形 变，从而改变了电容器的电容现将此电容式传感器连接到如图所示的电路中，当待测压力增大时()A电容器的电容将减小B电阻 R 中没有电流C电阻 R 中有从 a 流向 b 的电流D电阻 R 中有从 b 流向 a 的电流【例6】 空间有一沿 x 轴对称分布的电场，其电场强度 E 随 X 变化的图像如图所示。下列说法 正确的是AO 点的电势最低BX2 点的电势最高CX1 和- X1 两点的电势相等DX1 和 X3 两点的电势相等【例7】图（a）为示管的原理图。如果在电极 YY之间所加的电压图按图（b）所示的规律变化， 在电极 XX 亮 Y 电 子 Y Y X X X X偏转电 荧光屏YUUOt12t t Ot12t 3tt图图(b)图之间所加的电压按图（c）所示的规律变化，则在荧光屏上会看到的图形是ABCD)【例8】如图所示，A、B 两点相距 2L ，圆弧 OCD 是以B 为圆心、L 为半径的半圆。A 处放有电量为 q 的电荷，B 处放有电量为q 的点电荷。试问：（1）将单)位正电荷从 O 点沿 OCD 移到 D 点，电场力对它做了多少功？（2）将单位负电荷从 D 点沿AB 的延长线移到无穷远处去，电场力对它做多少功？【例9】在不计重力空间，有 A、B 两个带电小球，电量分别为 q1 和 q2 ，质量分别为 m1 和 m2 ， 被固定在相距 L 的两点。试问：（1）若解除 A 球的固定，它能获得的最大动能是多少？（2） 若同时解除两球的固定，它们各自的获得的最大动能是多少？（3）未解除固定时，这个系 统的静电势能是多少？【例10】 如图所示，三个带同种电荷的相同金属小球，每个球的质量均为 m 、电量均为 q ，用 长度为 L 的三根绝缘轻绳连接着，系统放在光滑、绝缘的水平面上。现将其中的一根绳子剪 断，三个球将开始运动起来，试求中间这个小球的最大速度。【例11】 如图所示，真空中相距 d=5 cm 的两块平行金属板 A、B 与电源连接(图中未画出)，其中 B 板接地（电势为零）,A 板电势变化的规律如图 8-3 所示.将一个质量 m=2.010-23 kg,电量 q=+1.610-1C 的带电粒子从紧临 B 板处释放，不计重力.求：(1)在 t=0 时刻释放该带电粒子，释放瞬间粒子加速度的大小;(2)若 A 板电势变化周期 T=1.010-5 s,在 t=0 时将带电粒子从紧临 B 板处无初速释放，粒子到达 A 板时动量的大小；T(3)A 板电势变化频率多大时，在 t=4到达 A 板.T到 t=2时间内从紧临 B 板处无初速释放该带电粒子，粒子不能yE0A(d,0)x【例12】如图所示，匀强电场方向沿 x 轴的正方向，场强为 E。在 A（d，0）点有一个静止的中 性微粒，由于内部作用，某一时刻突然分裂成两个质量均为 m的带电微粒，其中电荷量为 q 的微粒 1 沿 y 轴负方向运动，经过一段时间到达（0，d）点。不计重力和分裂后两微粒 间的作用。试求（1）分裂时两个微粒各自的速度；（2）当微粒 1 到达（0，d）点时，电场力对微粒 1 做功的瞬间 功率；（3）当微粒 1 到达（0，d）点时，两微粒间的距离。【例13】有两个相同的平行板电容器，水平放置，将两电容器，上下各用导线相连，给电容器都 充上电；开始的时候左边电池中间放了一个点电荷（电量很小），在重力与电场力作用下平衡。现将右边电容器上板平移，使得重叠面积从 S 变到 S 。使得左边电荷加速度成为 g ，求2S 。Sa，m【例14】用力 F 把电容器中的电介质板拉出，在图( a )和图( b )的两种情况下：分别在电容充电 后或者充电后切断电源，电容器中储存的静电能量将（ a ） ；（ b ） 。课后练习1.如图甲所示，真空中的电极 K 连续不断地发出电子（电子的初速度可忽略不计），经电压为 u 的电场加速，加速电压 u 随时间 t 变化的图象如图乙所示。每个电子通过加速电场的过程时间极 短，可认为加速电压不变。电子被加速后由小孔 S 穿出，沿两个彼此靠近且正对的水平金属板 A、 B 间中轴线从左边缘射入 A、B 两板间的偏转电场，A、B 两板长均为 L=0.20m，两板之间距离 d=0.050m，A 板的电势比 B 板的电势高。A、B 板右侧边缘到竖直放置的荧光屏 P（面积足够大） 之间的距离 b=0.10m，荧光屏的中心 O 与 A、B 板的中心轴线在同一水平直线上。不计电子之间 的相互作用力及其所受的重力，求：(1)要使电子都打不到荧光屏上，则 A、B 两板间所加电压 U 应满足什么条件；(2)当 A、B 板间所加电压 U= 50V 时，电子打在荧光屏上距离中心 O 多远的范围内。u/Vt/s0.20.40.6KSAOuBP8000乙甲:2.静电喷漆技术具有效率高，浪费少，质量好，有利于工人健康等优点，其装置示意图如图所示。 A、B 为两块平行金属板，间距 d0.30m，两板间有方向由 B 指向 A、电场强度 E1.0103N/C 的匀强电场。在 A 板的中央放置一个安全接地的静电油漆喷枪 P，油漆喷枪的半圆形喷嘴可向 各个方向均匀地喷出带电油漆微粒，油漆微粒的质量 m2.01015kg、电荷量为 q2.010 16C，喷出的初速度 v02.0 m/s。油漆微粒最后都落在金属板 B 上。微粒所受重力和空气阻力以 及微粒之间的相互作用力均可忽略。试求：（1）微粒落在 B 板上的动能；（2）微粒从离开喷枪后到达 B 板所需的最短时间；（3）微粒最后落在 B 板上所形成图形的面积。PdEAB学习之外电的故事电在我们的日常生活中已经成为司空见惯的东西了。然而在一百六十多年前，它还是一种神秘 莫测的“怪物呢”。1745 年，荷兰莱顿城的两个科学家发明了可以放电的电容器莱顿瓶，把过去只是在摩擦 时或打雷时一瞬而过的神秘东西电，变成了可以人工控制并反复出现的事实。1831 年，英国 的法拉第打开了电学迷宫，将磁转变成电。1879 年，美国的爱迪生点亮了世界上第一盏电灯泡，开创了人类用电的新纪元。然而，鱼类用电的历史却更早。远在 35000 万年以前，鱼类的祖先古老的无颌类甲鱼，就已经有了发电器官。而意大利的物理学家伏特，在 1799 年所发明的第一个直流电源伏特电池，就是以鱼的发 电器官为模式而设计的，所以伏特把自己设计的电池叫做“人造电器官”。由此可见，鱼类才是电的 老祖宗。鱼类能够生电的有许多种，电压较高的有电鳐、电瞻星鱼、电鲶、电鳗等。电鳐生活在热带和亚热带海洋中，我国东南沿海有双鳍电鳐和单鳍电鳐。它属于软骨鱼类，体 型像一把肥厚的蒲扇。它眼睛很小，皮下粘液使得皮肤与肌肉连接得非常松弛。虽然其貌不扬，但 身上却装有两台“发电机”。我们若将它头胸部的两侧皮肤剥开，就可以看到每侧各有一蜂窝状的器 官，这就是它的“发电机”发电器。这个发电器的构造十分复杂，它是由许多纤维组织隔成的若干六角形、垂直的管（电柱）组成 的。每一个管内部都贮有无色胶状物，并由许多小电板分成许多间隔，每块电板的腹面，又都有神 经纤维相连接。电板的腹面是负极，背面是正极。每个电柱约有 40 块左右的电板，而每个发电器 都有电柱 200600 个。如果我们按每个发电器有 600 个电柱来计算，那么一尾电鳐就有 24000 块 电板。这样复杂的电路，安排得如此精巧，就是技术高超的电工，恐怕也是望尘莫及的。电鳐依靠 这种发电器发出的电压可高达 7080 伏特，而且可以自行控制，随时发出。电鳐发电是用来捕食 和击退敌人的。当小鱼虾游来时，它放电将其击昏而饱餐一顿；当敌人来袭击时，它放电以自卫。有趣的是，在欧洲一些国家的沿海居民，在很早以前就把电鳐当作“电疗机”来治病。据说，用 电鳐可治疗头痛病和风湿性关节炎。直到现在，有时仍可看到人们在海滩上寻找电鳐治病的情景。触到电鳐，足以使人麻木，但它的电压在发电鱼中并不是高的，若比起电鲶和电鳗来，就大为 逊色了。电鲶生活在非洲河流中，它的发电电压可达 400450 伏；电鳗生活于美洲的河流中，它 的发电电压竟可达 300860 伏特。如此之高，可谓高压放电了。发电鱼的发电器官的排列方式和构造并不相同。例如，电鳗的电柱不是与身体垂直，而是与鱼 纵轴平行，电板虽只有 6000 块，但是很大，几乎占了躯干部和尾部的大部分。一尾体重 20 公斤的电鳗，发电器就要占 10 公斤以上。电鲶的电柱与体轴垂直，并且它的电板最多，竟有 200 万块。 这里有个问题需要说明，就是放电鱼类无论其放电电压多么高或蓄电能力多么强，但它们的电源并 非用之不竭。如电鳐放电，每秒钟可放 50 次，但随着放电次数的增加，电流却逐渐减弱，经 10 15 秒钟后，电流就完全消失，而需要经过一段时间的休息，才能够恢复继续放电。所以在过去捕 鱼方法落后的时候，为捕获电鳗，是先将成群的家畜赶入河中，触动电鳗不断放电，在它们电量消 耗殆尽而尚未恢复时，才下水捕捉。鱼类在放电过程中，自己本身不会触电，这一问题一直使人迷惑不解。现在的解释是这样：因 为电流各线都与体内其他可以兴奋的构造互成直角，所以减少了刺激作用。显然，这种解释是不能 令人满意的，因为既然是这种原因，那么如果两种放电的鱼，都利用电的武器相互进攻又怎么办呢？ 当然也还有解释，那是因为电鱼的肌肉和神经对电有特别高的兴奋界限，另外，它们的神经系统为 一层“超绝缘体”（厚脂肪层）所包围，所以不会触电。但总的来说，我们现在对鱼体内电流的确切 分布情