2013暑期高一物理竞赛讲义第4讲.教师版

第4讲 曲线运动温馨寄语前面三讲我们主要研究的是直线运动，对于曲线运动的研究从今天开始。只要是速度矢量和加速度矢量方向不在一个直线上，就必然出现曲线运动。引入了曲线运动之后，我们之前的运动学知识也可以变得更加完备了。知识点睛一抛体运动1. 平抛运动a) 思考：水平的扔出一个小石子，那么空气对于它的阻力就很小，可以忽略。如果同时有两组平行光源分别从上面和水平方向照射，那么这个石子的两个影子会分别做什么样子的运动？他们运动的时间有什么关系？b) 条件：加速度为，（或者说除了重力之外不受其他力的干扰）；并且有一定的水平初速度c) 方程：水平方向是匀速直线运动，竖直方向是自由落体（一个初速度为零的加速度为的匀加速直线运动）速度满足关系：位移满足关系：d) 思考：如果用角度本别表示最终状态时候的位移方向，速度方向和初速度方向的夹角，则有，如何证明？2. 斜抛运动a) 条件：和平抛类似，只不过初速度方向不是水平而是和水平方向成角。b) 方程：速度满足位移满足c) 思考：斜抛能到达的最高高度和最远距离是神马？射高：；射程可见当时候有极值思考：为神马沿某方向位移达到极值，说明这个方向速度为零？3. 轨迹方程：一个物体运动的轨迹所满足的方程就是我们的轨迹方程。一般的在二维空间中，轨迹方程就是和所满足的方程。例题精讲【例1】 (1)已知一个物体的运动方程为，求物体的轨道方程。 (2)已知一个物体的轨道方程为y方向的运动方程为：，求x方向的运动方程。【解析】 （1）消掉得到：（2）代入得到：【例2】 从底角为的斜面顶端，以初速度水平抛出一小球，不计空气阻力若斜面足够长，如图所示，则小球抛出后离开斜面的最大距离是多少？【解析】 解法一：（由数学角度分析，当轨迹的切线平行于斜面的时候，就是最大的距离的地方）当物体速度与斜面平行时，物体距斜面最远，以水平向右为轴正向，竖直向下为轴正向，则由，得运动时间为该点坐标为，由几何关系得解得解法二：分速度等于零也意味着距离斜面最远为了分速度为零则，于是得到；后面解法一样【例3】 从高处的一点先后平抛两个小球1和2，球1直接恰好越过竖直挡板落到水平地面上的点；球2则与地面碰撞一次后，也恰好越过竖直挡板，而后也落在点，如图所示设球2与地面碰撞遵循类似的反射定律，且反弹速度大小与碰撞前相同，求竖直挡板的高度【解析】 分析：本题要从运动的独立性着手考虑，由斜上抛运动特点，易得球2的运动时间是球1的3倍设球1、2运动的时间分别为和，则两球在水平方向有因为，所以又因两球飞过竖直挡板的水平位移相同，故它们过挡板的飞行时间满足设球2从第一次落到飞至挡板顶端所用时间为，则有球2落地时速度的竖直分量为到达挡板顶端时速度的竖直分量为两者满足解、两方程可得【例4】 地面上有一个水枪，要射过前方3米远处一高4米的墙，其发射速度至少多少？【解析】水流做斜上抛运动，以喷口O为原点建立如图所示的直角坐标，本题的任务就是水流能通过点A（d 、h）的最小初速度和发射仰角。根据平抛运动的规律，水流的运动方程为：把A点坐标（d 、h）代入以上两式，消去t ，得：=令= tan ，则= cos ，= sin ，上式可变为：=显然，当sin (2) = 1时，即2 = 90，亦即发射角 = 45+= 45+arctan= 45+ arctan= 71.6时，v0最小，且最小速度为：v0 = 3= 9.5m/s【例5】 一仓库高、宽，在仓库前某处点抛一石块过屋顶，试问距仓库前多远时，所需初速度最小？为多少？（）【解析】 此题是初速与射程问题，但要求过一平顶障碍物，如图所示建立坐标系要使最小，则要求石块擦，两点而过；而过段，可用通常的有关射程问题的方法解决解法一：如图，以两点之间作射程，有所以可见当时，有最小值，为设此斜下抛的时间为，由位移公式有，整理得，求得有效根为由此得到值为再求：，即与不平线夹角解法二：我们可以由轨迹方程法度解由水平位移，得，代入竖直位移中，并将已知条件代入，有将抛出点的坐标代入上面的轨迹方程，得方程，即求得结果为知识点睛圆周运动1. 圆周运动的描述：a) 类比位置，我们给出角度；类比速度，我们给出角速度；类比加速度，我们给出角加速度。而圆周运动本身还具有一个之前我们学习的直线运动没有的性质，那就是周期和频率。这些都对我们研究圆周运动的本质十分有用。b) 定义：i. 角度：给定一个起始位置后，圆周运动的物体的任意一个位置和圆心的连线，和初始的位置线之间的角度我们可以看做是角度ii. 角速度定义为：单位时间内转过的角度，换句话讲，就是角度随时间的变化率：类似速度的定义，这里的时间也是很小很小但是大于零的时间。注意角速度是矢量。1. 角速度和线速度的关系：或者。2. 值得注意的是角速度也有相对运动一说。从矢量角度理解就更容易一些3. 对于同一个刚体，或者固连在一起的一组物体，选取任意相对平动的参考系，看到的角速度都相同。也可以理解为：选取任意点做参考“圆心”，也就是“瞬心”看到的角速度都相同。思考：为什么都是同一个角速度？iii. 角加速度定义为：角速度的变化率。角加速度也是矢量。iv. 转一圈的时间定义为周期：v. 频率定义为单位时间内转的圈数：c) 向心加速度：我们先研究一下初中学习过的匀速圆周运动，研究里面的速度变化情况：由于我们现在学习的速度是一个矢量，所以匀速地转动的物体速度矢量是在不断的改变着方向的。因此一定存在，也就一定存在加速度。如图所示：假设经过了非常小的时间速度大小保持不变，但是方向有所改变，为了研究速度变化量的大小，我们把原来的速度平移一下。由于时间很短，所以路程可以看成是一段“线段”，它和半径围成了一个非常小的角度的“等腰直角三角形”。容易看出，相似，因此：因此得到：从图中可以看出，只要时间足够短则这个加速度的方向必然垂直与速度矢量，也就是指向圆心，所以这个加速度也被叫做“向心加速度”2. 拓展到一般得曲线运动：任意的速度矢量方向和加速度矢量方向不在同一直线上的运动都必然是曲线运动。描述曲线运动我们一般有两种方法：a) 选取正交坐标系：坐标系，则有：（打点表示求对时间的变化率，打两个点表示求变化率的变化率；需要对数学很纯熟才能这种方法做）b) 选取一般的自然坐标系。也就是一个随着物体运动的坐标系，只不过他的两个轴分别表示的是平行于速度方向（切向）和垂直于速度方向（法向）。i. 切向的加速度： 改变速度的大小ii. 法向的加速度： 改变速度的方向c) 曲率半径：就是曲线上任意一点处，能画出的和曲线在此处相切的圆（是唯一的，为啥？）的半径：另一种理解是：当运动方向改变时候，改变单位角度所对应走过的路程：思考：这两种表示是一样的，为神马？例题精讲【例6】 如图所示是迈克尔逊用转动八面镜法测光速的实验示意图，图中为发光点，是望远镜，平面镜与凹面镜构成了反射系统，八面镜距反射系统的距离为（可长达几十千米），且远大于以及和到八面镜的距离，现使八面镜转动起来，并缓慢增大其转速，当转动频率达到并可认为是匀速转动时，恰能在望远镜中第一次看见发光点，由此迈克尔逊测出光速，根据题中所测量的物理量得到光速的近似表达式是 (SA，OB很小)【解析】【例7】 距河岸（看成直线）处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速转动当光束与岸边成角时，光束沿岸边移动的速率为（ ）ABCD【解析】 设经光点由点移动到点，如图所示弧的长度在时弧可认为是直线，且可认为，则，【答案】 B【例8】 如图所示，直杆以匀速搁在半径为的固定圆环上作平动，试求图示位置时，杆与环的交点的速度和加速度【解析】 对于点既是圆周上的一点，又是直杆上的一点，因此，点的运动一定具有圆周运动的特点，既其速度的方向为圆上点的切线方向；同时点的运动也一定具有直线运动的特征，既其运动速度的的方向分量应等于直线的运动速度，故有，得由于点作圆周运动，故其运动加速度由法向加速度和切向加速度组成，即，其中因点的运动具有直线运动的特征，即沿主向的加速度为零，故有，得由此可得点运动的加速度为【例9】 （清华自主招生）如图，纸面内两根足够长的红杆、都穿过小环，杆两端固定，杆可以在纸面内绕过点并与纸面垂直的定轴转动。若杆从图示位置开始，按照图中箭头所示的方向，以匀角速度转动，则小环的加速度 A逐渐增加B逐渐减小C先增加后减小D先减小后增加【例10】 （选讲）如图，在这个平面内，AB是固定的一条直线；已经知道AC和CD保持垂直（理解成一个直角尺），他们可以绕着A点以角速度匀速旋转，那么B点的运动速度大小随时间变化的表达式应该是？【例11】 如图，纸面内两根足够长的红杆、都穿过小环，杆两端固定，杆可以在纸面内绕过点并与纸面垂直的定轴转动。若杆从图示位置开始，按照图中箭头所示的方向，以匀角速度转动，则小环的加速度 A逐渐增加B逐渐减小C先增加后减小D先减小后增加【例12】 如图所示，竖直放置的内壁光滑圆筒，高为，以初速度沿内壁水平放出一小球，筒底半径为(1) 多长时间小球能到筒底？(2) 从上往下滑小球经过多长时间转过一圆？(3) 如果足够大（螺距定义为相邻两圈间的竖直距离）相邻的两圈，螺距差为多少？【解析】 竖直方向为自由落体，时间 转一圈时间 螺距差为【例13】 如图所示，一个轮子在水平地面上滚动，轮心速度为，半径为计算角度为处的轮边沿点的速度【解析】 转运过程中与地面接触点速度为零，设为轴，则，得连接考查点和轴知该点速度必垂直于速度大小设为，则得【例14】 如图所示两个一样的轮子，内外径分别为、，用绳子绕在轮子的内圈上，只是绕法不同，已知绳端速度大小为，水平向右，问两个轮子如何运动？地面不光滑【解析】 轮子与地面接触点速度为零，轮子的运动实际为轮心的运动所以对于第1个轮子有：同理对第2个轮子有：所以两轮都水平向右移动，速度分别为，【例15】 （选讲）如图所示，一个圆台上底半径为，下底半径为，其母线长为，放置在水平地面上，推动它之后，它自身以角速度旋转，整体绕点作匀速圆周运动若接触部分不打滑，求旋转半径及旋转一周所需的时间【解析】 设旋转半径长为，由相似三角形相似比关系得，得圆台转一周所需时间为【例16】 求抛物线上任意一点的曲率半径（用表示）。（提示：神马运动能有类似的轨迹呢？）【解析】 对于可以看出是一个平抛的情况：水平方向速度若为：则有，可以看到是一个的平抛运动某时刻速度大小为：，角度法向加速度因此曲率半径为：华山论剑1. 如图所示，在离水平地面高5m的平台上水平抛出两个小球1和2两球的初速度分别为v1和v2(v1v2)，球1抛出后刚好能越过位于A点的竖直墙面A的顶端，然后落地与地面作弹性碰撞，反弹后又刚好越过位于B处的墙面B，然后落到地面上C点处，C点到平台的水平距离为9m。球2抛出后先与地面作弹性碰撞，反弹后也刚好越过墙面A，然后与地面作第二次弹性碰撞，再次反弹后又刚好越过墙面B，然后也落到地面上C点处试求：(1)v1和v2；(2)墙A和B离开平台的水平距离；(3)两墙面的高度2. 如图所示，一人作射靶游戏，为使每次枪弹都击中在靶面的同一条水平线上，则每次射击的瞄准点必须在靶面同一圆周上，试加以证明。已知水平线离地面高度为h，枪与靶相距为d，子弹发射速率为V0。小故事：关于Up那部电影，你看过么？如果仔细考虑一下电影故事里的飞屋的话，你是不是也会想，真的可以用那么多气球，制作出一个飞屋吗？或者说，我们能不能也造一个这样的飞屋呢？让我们不妨来仔细地看一看。在我们的现实生活中，节日、生日等庆典常见的“氢气球”（其实应该是“氦气球”，因为最初人们用氢气充满气球，但其实后来大家发现氢气很危险、容易爆炸，所以现在常用的其实是充满氦气的气球，只不过因为习惯大家依然使用“氢气球”这个名字）。通过一些科学知识粗略地计算一下，就可以知道，一只大约30厘米大小的氦气球可以承担大约15克的重量。15克有多少？也就只有两三根铅笔的重量。那么需要大约5000只这样的气球才能将一个正常的成年人飞起来，想要用这些气球带起一栋房屋？这是不是天方夜谭了呢？其实倒也不是。电影里，卡尔的房子和我们通常见到的房子不同，是一栋木屋，我们都知道木头比砖瓦要轻地多，因此也更容易飞起来。若是从电影里的画面来估算一下房子的重量，大概需要十几万只的气球就可以将这个屋子飞起来了。其实，并不只有我们才较真，出品飞屋环游记的电影公司在制作这部电影之前可是做了认真的计算的。他们的计算结果和我们的很接近，也是十几万只气球，但是为了更好的视觉效果，电影里最终只放了两万多只气球。基于这部动画片的影响，2011年3月初，美国国家地理杂志的工作人员真的造出了一栋用氦气球提供升力，可以在天空飞翔的房子。他们花了两个星期的时间，特别制作了一个大约5米高、20平方米大小的木房子，然后使用了300只超大号气球（每一只有2.4米那么高），最终成功地使房子载着房客一起飞行了一个多小时，甚至飞到了大约3000米的高空。虽然这栋房子可能还不如一辆普通的小汽车重，但这