高中物理竞赛第四阶段第10讲 电容 电介质有答案

第 10 讲电容 电介质本讲提纲1.电容器的基本原理。2.电容的决定因素。3.电场中的电介质。 本讲慢慢要开始从静电向电路过渡，物理的学习的过程就是更新认知的过程。重新从更本质的角度理解带电，电流等现象会经常让我们有恍然大悟的感觉。知识模块引入：1748 年的一个晴朗的日子，在巴黎圣母院前广场有一场大型“魔术” 表演，观众是法国国王路易十五的王室成员和王公大臣们。魔术师诺莱特让 700 个传教士手牵手站一排，用手去触摸一根从玻璃 瓶中引出的导线，瓶子中另引了一根线与起电机相连。当最前面的传教士接触导线的一瞬间，所有的 传教士突然齐声大叫起来被震倒了。这个实验轰动一时，而那个瓶子，就是莱顿发明的第一个可以把 电荷“装起来”的电容，又叫莱顿瓶。知识点睛电容：顾名思义，电容器是储存电荷的装置.从莱顿开始，人类发明了各式各样的电容。下面我们分 别给与定义与介绍。一孤立导体的电容附近没有其他导体和带电体的电容叫孤立电容。不难证明，孤立电容的电势与其电量成正比。我 们把其带电与电势的比叫做孤立电容器的电容值，简称电容，用字母 C 表示。记作：q = C U电容的单位为库伦每福特记作 C/V，又叫法记作 F，一般实用的单位为微法 F，或者皮法 pF。 1F=106F=1012pF1显然上述的表达式只能是电容的测量定义式，不是确定式。以下推到球形孤立电容的决定式：KQ如图：U =RQR所以有： C =UK可见：电容只与导体的几何因素和介质有关，与导体是否带电无关，是一个类似电阻一样的电器12参数。比如整个地球的电容约 CE二双极电容 7 10-4 F（这么小由此可见球电容的电容能力很小）实际工作的电容大部分为双级电容，分别带等量异种电荷。此时电容器的电容为电容器一块极板 所带电荷 Q 与两极板电势差 U 的比值 .电容的电路符号为：如图： C =Q= Q VA -VBUvvE其中：U = AB dl双极电容的容值依然只与其几何参数以及两板间介质的种类有关，与是否带电以及带多少电无 关。下面我们推导几种典型的电容的容值决定式。不过首先我们来研究一下一般绝缘介质在电场中的 行为。三电介质的极化由于分子结构的不同，电介质分为两类：一类介质分子的正负电荷中心重合，这样的分子称为 无极分子；一类介质分子的正负电荷中心不重合，形成一个电偶极子，这样的分子称为有极分子将电介质置于静电场中，无极分子正负电荷中心错开，沿外电场方向形成电偶极子；有极分子 的电偶极矩将趋于按外电场方向排列，两端面出现等量的异种电荷，这种现象叫电介质的极化，两端 面产生的电荷称为极化电荷或束缚电荷由于极化电荷产生的附加电场 E 跟外电场 E0 反向，所以介质内的场强 E 的比外场强 E0 小，我E0们把 E0 与 E 的比值称为电介质的相对介电常数： er =(er 1) E电介质的相对介电常数与真空介电常数的乘积 e = ere0 ,称为电介质的绝对介电常数，简称介电常 数不考虑材料分子对称的因素，我们可以简单的把均匀介质中的静电规律在真空中公式中的 K 换成K er四电容器电容的计算 根据电容的定义，我们不难总结出电容决定式计算的步骤。 1.设两极板分别带电Q2.求两极板间的电场强度 E，注意如果有电介质存在，场强要除以相对介电常数.3.求两极板间的电势差 U4.由 C=Q/U 求 C应用：1.平板电容如图，把两块金属板正对，中间夹上绝缘介质，就能形成平板电容。把这个电容与电源正负极相 接，就可以给电容冲上正负的等量异种电荷。因为平板电容器中间电场强度： E =Qdse 0e r=Qe 0e r S所以电势差：U = Ed =e0e r SQe e S所以平板电容器电容决定式： C =U= 0 rd实际应用的平板电容：纸质电容，通过在绝缘纸间夹上很薄的锡箔，再滚成圆筒制作。2.圆柱形电容器 如图用同心的导体圆筒夹着电介质制作.设单位长度带电 l ，由高斯定理：E =l2 e r e 0 r(RA r RB )RB又：U = ldr=Qln RBRA 2 e r e 0 r2 e r e 0lRAC = Q = 2 e r 0lUln RB RA3.球形电容器的电容 同理易得同心球壳电容：R1 R 2C =五电容电路4 e r e 0R 2 - R1，其中 R1，R2 为内外球壳半径。这里不再证明。电容上电压的测量，不能依赖电压表，因为电压表其实也是导体，会让电容两端相连放电。所 以一般只能用静电计粗略的测一下电势差，比较精确的电势差计原理很复杂，这里就不介绍了。有兴 趣的同学可以自己查阅资料。1.串联电容电路特点：电压之和等于总电压，且电量处处一样，则必然有：1 =1 + 1CC1C22并联电容电路特点：电压一致，总量为各电容电量之和，则必然有： C = C1 + C2 以上推导留给同学们作为小练习。3.电容器的能量用图表征电容器的充电过程，“搬运”电荷做功 W 就是图中阴影的面积，这也就是电容器的储能E ，所以q12E = 1 q0U0 = 1 C U2 =02202 C电场的能量。电容器储存的能量究竟是属于电荷还是属于电场？正确答案是后者，因此，我们 可以将电容器的能量用场强 E 表示。对平行板电容器 E 总 =Sd E28pk由公式 W = 1 CU 2 ，似乎可以认为能量与带电体的电量有关，能量是集中在电荷上的其实，前2面只是根据功能关系求得带电导体的静电能，并未涉及能量的分布问题由于在静电场范围内，电荷 与电场总是联系在一起的，因此电能究竟与电荷还是与电场联系在一起，尚无法确定经过麦克斯韦 的计算，表明电场可以脱离电荷而单独存在，并以有限的速度在空间传播，形成电磁波，而电磁波携带能量早已被实践所证实因此我们说，电场是电能的携带者，电能是电场的能量下面以平行板电 容器为例，用电场强度表示能量公式W = 1 CU 2 = 1 e Se E2 SdE2 d 2 =22 4kd8k2单位体积的电场能量称为电场的能量密度，用 w 来表示 w = W = e EV8k上式是一个普遍适用的表达式，只要空间某点的电场强度已知，该处的能量密度即可求出，而整个电场区的电场能量可以通过对体积求和来求得一电动势为 U 的电源对一电容为 C 的电容器充电，充电完毕后，电容器所带电量Q = CU电容器所带能量W = 1 CU 22而电源在对电容器充电过程中，所提供的能量为W = QU = CU 2 = 2W也就是说，在充电过程中，电容器仅得到了电源提供的一半能量，另一半能量在导线和电源内阻 上转化为内能，以及以电磁波的形式发射出去六电容的应用 电容是电路中最基本的三大基本元器件之一，应用十分广泛。下面是常见的电容器件：以下是一些电容出人意外的应用，具体原理请大家作为课后作业自己查阅资料弄明白。1.自动干手机，利用电容原理控制电吹风工作。2.现代移动电子设备的电容触摸屏：表面实际是一个电容板。3.电磁炮：应用电容放电产生巨大推力。其他的应用还有很多，有兴趣的同学不妨通过查阅资料做点小研究。知识点睛【例1】 两块平行放置的很大的金属薄板 A 和 B，面积都是 S ，间距为 d（d 远小于金属板的线 度），已知 A 板带净电量+Q1 ，B 板带尽电量+Q2 ，且 Q2Q1 ，试求：（1）两板内外表面的电量分别是多少；（2）空间各处的场强；（3）两板间的电势差。【例2】 如图所示，一平行板电容器，极板面积为 S ，其上半部为真空，而下半部充满相对介 电常数为 r 的均匀电介质，当两极板分别带上+Q 和Q 的电量后，试求：（1）板上自由电荷的分布；（2）两板之间的场强；（3）介质表面的极化电荷。【例3】 如图所示，当两极板带上恒定的等量异号电荷时，有一个质量为 m ，带电量为 +q 的质 点，平衡在极板间的空气区域中。此后，若将平行板电容器中的电介质抽去，则该质点：（） A保持不动B.是否运动不能确定C. 向上运动D.向下运动【例4】 C1 和 C2 两空气电容器并联以后接电源充电，在电源保持联接的情况下，在 C1 中插入一 电介质板，则（）AC1 极板上电量增加，C2 极板上电量减少。B.C1 极板上电量减少，C2 极板上电量增加。C.C1 极板上电量增加，C2 极板上电量不变。D.C1 极板上电量减少，C2 极板上电量不变。C1C2e【例5】 将一空气平行板电容器接到电源上充电到一定电压后，断开电源。再将一块与极板面积 相同的金属板平行地插入两极板之间，则由于金属板的插入及其所放位置的不同，对电容器 储能的影响为：（ ）(A) 储能减少，但与金属板位置无关； (B) 储能减少，但与金属板位置有关； (C) 储能增加，但与金属板位置无关；(D) 储能增加，但与金属板位置有关。金属板B【例6】 A、B、C 是三块平行金属板，面积均为 200cm2，A、B 相距 4.0mm，A、C 相距 2.0mm， B、C 两板都接地，如图 91 所示。设 A 板带正电 3.010-7C，不计边缘效应，求 B 板和 C 板上的感应电荷，以及 A 板的电势。C E- q2q 2 q1A- q1ACE AB【例7】 一平行板电容器，极板面积为 S，相距为 d。若 B 板接地，且保持 A 板的电势 UA = U0 不变，如左下图所示。把一块面积相同的带电量为 Q 的导体薄板 C 平行地插入两板之间，则 导体薄板 C 的电势 UC 。【例8】 一电容为 C 的空气平行板电容器，接端电压为 U 的电源充电后随即断开，试求把两个 极板间距离增大至 n 倍时外力所作的功。【例9】 一空气电容器是由同样的四片同样的金属片平行整齐排列而成的，极板面积为 S ，相隔 均为 d ，求按照和连接时， A ， B 的电容是多少？【例10】 如图所示，平行板电容器两极板 M、N 水平放置，距离为 d =1.0cm，其电容为 c = 2.0m F ， 上极板 M 与地连接，且中央有一小孔 A，开始时两极板不带电。一个装满油的容器置于小孔A 正上方，带电油滴一滴一滴地，从容器下的小孔无初速滴下，正好掉入小孔。油滴下落高度 h = 10cm 处，带电量 q = 2.0 10-8 C ，质量 m = 2.0 10-3 g ，设油滴落在 N 板后把全部 电量传给 N 板，N 板上积存的油可以不考虑，g 取 10m/s2，求：（1）第几滴油滴在板间作匀速直线运动？（2）能够到达 N 板的油滴数量最多为多少？PMABN【例11】 把一个半径为 R，带电为 Q 的实心均匀带电球从中间切成两半，再按在一起，至少需要 多大外力？提示：不妨先用能量法计算平板电容间吸引力。课后练习1. 极板间为真空的平行板电容器，充电后与电源断开，将两极板用绝缘工具拉开一些距离，则下列 说法正确的是（）(A) 电容器极板上电荷面密度增加； (B) 电容器极板间的电场强度增加； (C) 电容器的电容不变；(D) 电容器极板间的电势差增大。2. 由四块面积相同的金属板 P1 、 P2 、 P3 、 P4 组成两个电容器，按如图所示接入电路中，已知两个电 池的电动势分别为 e1 = 10V ， e 2 = 30V 开始时，四块金属板都不带电，且板间都是真空1122 如果合上开关 K ，则流过开关 K 的总电量为 Q = 3 10-11 C ；如果合上开关 K ，则流过开关 K 的总电量为 Q= 9 10-11 C 试求电容 C 和 C 的值；012 如果先合上 K1 ，然后再合上 K2 ，那么流过 K2 的总电量是多少？ 如果只合上 K1 ，从电容器 C2 两板 P3 、 P4 的中间 S 处，以水平方向射入一带负电荷的油滴，并经 过时间 t = 0.2s 恰好到达大底板 P4 ， P3 和 P4 两板间的距离为 d = 0.2 m 试问若使该油滴不发生偏转， 必须在电容器 C1 的两板 P1 和 P2 间充满相对介电常数为多大的电介质？3.如图所示，在 A 点和 B 点之间有 5 个电容器，连接如图所示。（1）求 A，B 两点之间的等效电容；（2）若 A，B 两点之间的电势差为 12V，求U AC ，UCD 和UDB 。4.两块平行的金属板 A ，B 相距 80 cm ，使得 A ，B 分别保持 60V 和 -60V 的电势，并在他们之间离 A 板 20 cm 处平行地插入一块接地的厚为10 cm 的金属板 C ，如图，均不考虑金属板的边缘效应，求 C 板 插入后他自己获的何种电荷？ AB 两板上的电量发生什么变化？发明故事卡尔森和他发明的静电复印机在现代化的办公室里，复印机成了必不可少的办公用具。复印机是谁发明的呢？这位发明家叫 查切斯特卡尔森。卡尔森 12 岁时，个子长得又瘦又高。为了帮助父母养家糊口，他在加利福尼亚州圣贝纳迪诺干 零活。14 岁那年，他挑起了抚养双亲的重担，每天早早就得起床，上学前先去商店擦玻璃橱窗，下 午还得去银行和报社打扫，每星期六要从早晨六点一直忙到晚上六点。他的父亲是一位流动理发师， 由于关节炎和肺病而无法工作。母亲也患有肺病，长年卧床不起。他俩就生卡尔森一人。生活上的重担压得卡尔森喘不过气来，许多小孩子处于这种压力下早就退学了。但是，卡尔森顶 住了。当他念初中时除了看门的工作外，还在印刷厂当学徒。高中时他除了继续干擦洗玻璃窗、打扫 地板等活计外，还利用星期六和星期天在化学实验室工作。他先进入里弗赛德专科学校学习，然后又 在加利福尼亚州理工学院念书。他艰苦奋斗了 5 年，可是，他却欠了 1400 美元的债。1930 年，工作特别难找，卡尔森给 82 家公司写信要求工作，但是只有两家公司给他复函，还表 示不能雇用他。最后，卡尔森总算在纽约一家电子公司的专利部门找到了一个固定的工作。在那儿复 制文件和图表之类的麻烦事给他留下了不可磨灭的印象。手稿必须重新打印出来，图表得送到照相复印公司去复印，这既花钱又费时间。他心想如果在办 公室里有一架机器，只要把原文本塞进这架机器里，一按电钮就可得到一模一样的复本，那该有多好 呀！1935 年，他开始着手研制这种机器。当时人们同现在一样，总认为没有设备完善、规模巨大的 实验室就不可能有重大发明。29 岁的卡尔森，瘦瘦的个子，虽然两眼近视，却是个意志坚强、锲而 不舍的人。他单枪匹马埋头干了三年，细心观察光怎样作用于物质和探索图像从一张纸传到另张纸上 面的独特方法。星期六、星期天和每天晚上，纽约公共图书馆内都留下了他勤奋学习的身影，甚至在 地铁里他也在思考问题。对他来说，时间永远不够用，因为他身负三副重担，白天他得努力工作来保 住他的饭碗；夜晚去夜校读书，以便取得学位；百忙之中还要实现他的夙愿研制复印机。通过理 论上探索，他终于掌握了静电学。1937 年，他正式提出申请，要求获得“静电摄影法”的专利权。 卡尔森确信他已掌握了静电复印的基本概念，但是他还得把理论用于实际。他便把自己唯一的一间起居室的壁橱改成临时实验室，但结果证明它不能适应实验需要。因此，他在长岛的阿斯托里亚租了一 小间简陋房子，在里面配备了实验用的物品。另外，他节衣缩食，用节省下的钱雇用了一位实验助手， 帮他一起做实验。1938 年 10 月 22 日，在这间简陋的房间里，卡尔森用墨水在一块玻璃板上书写了“阿斯托里亚1938.10.22”几个字，又用一块布手帕在涂硫金属板上拭擦，使它带上电荷，然后隔着写有字的玻璃 板，在泛光灯下将这块金属板爆光 3 秒钟，又在板上显示出来了。接着卡尔森又把一张蜡纸平压在涂 硫的金属板上，纸上也复印出了相同的字。这就是世界上最早的静电复印，以后这种方法被命名为“静 电印刷术”。然而，对卡尔森来说，以后几年的经历并不是一帆风顺的。根据他的图纸设计生产的各 种复印机总不能使他满意。他想方设法推广这种机器，以引起人们的注意，可是他发现人们对他的发 明漠不关心。19391944 年间，包括雷明顿兰德和国际商业机器公司在内的二十多家公司拒绝接 受卡尔森的新产品。尽管美国全国发明者理事会看到复印机的需要，但却否定了卡尔森的制作法。卡尔森仍不断地向四处发信，打电话，以加强他的专利权地位。1944 年，他专程到了俄亥俄州 的哥伦布市向非盈利性工业研究机构巴特尔纪念学院表演了他的制作法，“巴特尔”表示同意从事复 印机的发展工作，但要将收益的 60%付给该学院。然而，制造商们对此仍毫无兴趣。其中有的人把卡 尔森制作法称为“粗糙或玩具式器具”。根据合同，“巴特尔”用于研究静电复印机付出的费用超过某个限度时，卡尔森就得多付 15000 美元。卡尔森取出自己的银行存款，好言劝其亲属慷慨解囊，帮助他凑足资金。不久，势头开始变了。 纽约罗彻斯特的一家小公司开始为卡尔森作小笔推销。1947 年 4 月，卡尔森收到了巴特尔公司汇出 的第一张 2500 美元专利支票。但直到 1950 年，静电复印机才在市场上出售。此后又过了 10 年，该公司生产了 914 型书桌大小的复印机，人们只要一按电钮就可以在一般的纸张上得到干印复本。当时，在市场上出售的复印机有好多种型号，其中有伊斯门柯达克公司的一种采用化合显影剂的 “湿写”复印机和明尼苏达矿业公司的一种利用红外线灯光热量在纸上形成图像的“热写”复印机。 而静电复印机突出的优点是：这种复印机用干写法，不需要化学药品或特殊的纸张，而加工出的复印 件质量特别好。 学习效果反馈： 代课教师： 通过今天学习，你觉得：1. 本讲讲义内容设置： A 太难太多，吃不透B 难度稍大，个别问题需要下去继续思考 C 稍易，较轻松D 太容易，来点给力的2. 本节课老师讲解你明白了： A .40%以下B .40%到 80%C .80%以上但不全懂D .自以为都懂了 3有什么东西希望老师下节课再复习一下么？（可填题号，知识点，或者填无）知识点睛【例 1】1 = 4 =答