高二秋季物理竞赛班第13讲_相对论三.学生版

高二物理竞赛第13讲相对论（三）知识点拨相对论动量能量关系物体在其自身参照系中的能量叫做静质量。狭义相对论指出，物体的能量，动量，静质量之间满足一定的关系：其中为静质量。可以形象地理解为、构成一个直角三角形的两条直角边，而构成斜边。爱因斯坦推导出著名的质能关系：其中是物体的质量，叫做动质量。也就是说物体的动质量总是大于静质量的。物体的动量定义为是物体的速度。由此可以导出动质量和静止质量之间的关系：这里的是指物体的总能量。可见当物体静止的时候就具有能量，而物体因为运动多获得的能量为就是我们通常说所的动能。可以验证，在低速情形下，这个式子回归到牛顿里学中的动能表达式。如果发生一些反应，使得物体的静质量减少，那么这减少的部分就会以能量的形式表现出来。例如核裂变是，新产生的原子核和其它粒子的总静质量小，这样就会释放能量，这也就是原子弹破坏力的来源。同样的道理，如果一个反应吸收/放出能量，其静质量也会相应的增加/减少。例如一个质子俘获一个电子形成氢原子，要释放能量，这样氢原子的静质量就会比单独的质子与电子的静止量和要少。对于静质量为0的粒子，例如光子，质量和动量之间的关系为：并且，光子的频率和能量之间满足关系其中，。可见光子也是可以有动质量的，和频率成正比。在粒子物理中我们常用作为能量单位，其大小等于让一个带有一个电子电量的粒子通过一个伏特电压所需要的能量。有时候利用质能关系，用能量来代表质量：【例1】 设质子质量为，He核中一个核子的平均质量为，电子质量。假设发生如下反应：则每消耗一个质子，这样的核反应能释放多少能量？【例2】 在大型强子对撞机中，质子被加速到很高的能量，然后对撞，以期望寻找新的粒子。加设发生如下反应，其中H是期望发现的新粒子，其静质量为100GeV，质子的静质量为0.987GeV。那么要观测到这样的反应发生，至少要把入射的质子加速到多高的速度？【例3】 两粒子静止质量为 m 以速度 0.6c 迎头相撞。 撞后粘在一起。求撞后总质量 M。【例4】 利用质能关系证明，一对正负电子不能湮灭成为一个光子【例5】 质量为的静止粒子衰变为两个粒子，这两个粒子的静质量分别是和，求衰变成这两个粒子的能量。【例6】 康普顿散射。一个波长为的光子与一个静止的电子发生弹性碰撞。碰撞之后电子获得速度远小于光速。求出射方向与入射方向夹角为的光子的波长。用出射角度，电子质量和普朗克常数表示。【例7】 静止的正负电子对淹没产生两个光子，若其中一个光子再与一个静止电子相碰（1）散射光子的能量与散射角的关系，并求最小能量（2）被碰电子的最大速度【例8】 （1）宇宙射线中快速介子的能量约为3000MeV，竟能约为1000MEV，故有寿命。若用地面实验室坐标系的时钟记录，在该介子的平均寿命时间内在大气中运动的距离为多大？（2）远处恒星离地球以很大的速度v运动，此恒星上发出波长为的光。试计算地球上观测该光的波长为多少？【例9】 设有一“光子火箭”，完全用射出光子流作为反冲推进剂，使“火箭”从静止开始加速（射出光是单色的）。如果这“光火箭”开始时的静止量和最后的质量分别为和。求火箭的末速。【例10】 施恒力F将一个静止质量为m0的粒子从静止状态加速，若Fm00.5cs，求t0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1.0s时粒子的速度和动能。【例11】 由于相对论效应，在回旋加速器中被加速的高速粒子的质量随速度增加，粒子很难达到很高的速度。为了弥补这一缺点而设计了同步回旋加速器。同步回旋加速器使加速电场的周期随粒子质量同步增加，以保证粒子通过二“D”形盒间加速电压频率是如此改变的，从开始的25MHz到加速完毕引出高能质子时变为18.5MHz试求这台同步回旋加速器的磁感应强度B和最后引出质子的动能为多大？【例12】 串列静电加速器是加速质子、重离子进行核物理基础研究以及核技术应用研究的设备，右图是其构造示意图。S 是产生负离子的装置，称为离子源；中间部分 N 为充有氮气的管道，通过高压装置 H 使其对地有 5.00106 V 的高压。现将氢气通入离子源 S，S 的作用是使氢分子变为氢原子，并使氢原子粘附上一个电子，成为带有一个电子电量的氢负离子。氢负离子（其初速度为0）在静电场的作用下，形成高速运动的氢负离子束流。氢负离子束射入管道 N 后将与氮气分子发生相互作用，这种作用可使大部分的氢负离子失去粘附在它们上面的多余的电子而成为氢原子，又可能进一步剥离掉氢原子的电子使它成为质子。已知氮气与带电粒子的相互作用不会改变粒子的速度。质子在电场的作用下由 N 飞向串列静电加速器的终端靶子 T 。试在考虑相对论效应的情况下，求质子到达 T 时的速度 v 。电子电荷量 q1.601019 C，质子的静止质量 m01.6731027 kg。关于民科提起业余数学家或者数学研究者，每次都使我肃然起敬。在中国，出于对数学中歌德巴赫猜想的兴趣而爱好数学的有一大批人，笔者有幸在互联网和生活中 遇见到其中的几个。记得以前看到电视节目【东方时空】百姓故事栏目例介绍了一个业余研究歌德巴赫猜想的一位老先生，自己靠蒸馒头卖钱度日，却把大部分收入 用在了歌德巴赫猜想上。虽然研究数学不用什么花销，可是购买资料请教问题要外出吧，要有路费和旅途上的费用吧。这些研究歌德巴赫猜想的人有共同的特点，几 乎都宣称自己证明出来了，可是却无法发表在公开出版的学术刊物上，或者被别人挑出错误可是自己还不能理解。在一些论坛上，经常看到有关歌德巴赫猜想的证 明，有的看起来还很巧妙。比如我看到一个证明就用到了集合论中很深奥的良序公理，这个公理和选择公理等价。他巧妙的构造一系列集合，可惜他错误的理解了良序公理中任何集合都能被良序，而一厢情愿的认为良序就是一类集合的包含。这些人抱着一夜成名的心态的毕竟是少数，多数是出于对数学的热 爱，却由于各种原因，没有机会走上专职研究数学的道路。 德国数学家外尔斯特拉斯（Weierstrass）也算业余高手，后来走上了职业数学家的道路。他开始是学习法律和财经，后来在中学任教。这大概 是中学数学教师中最杰出的一位了。德国是一个多出哲学家的国度，德国人又以严格认真见长，外尔斯特拉斯也是一样，他的品性最能体现德国人对待真理的态度 了。他最大的贡献是在微积分严格化上作出了杰出的贡献。微积分在创立初期，理论上还不够严密性，无穷小变成了神秘和随心所欲被理解的量。因此1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表向一个不信神的数学家的进言，矛头指向微积分的基础-无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指 出：牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以以求出xn的增量与x的增量之 比，然后又让消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。他认为无穷小dx既等 于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，）“是消失了的量的鬼魂能消化得了二阶、三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。”无穷小量 究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。 外耳斯特拉斯告诉我们，直观有时是靠不住甚至是完全错误的。从前人们直观上一直认为连续曲线肯定是光滑的，或者大多数点都是光滑的。用在函数上， 就是一直认为连续函数是可导的，或者在多数点是可导的。可是外尔斯特拉斯却举出一个反例，在每一个点都连续，却有在任何点都不可导。他举出这个函数是画不出图像的，当时作为一个中学教师，的确令数学家们大跌了眼镜。 1851年，大数学家高斯最得意的弟子黎曼，在博士论文中提出了一个原理：狄利赫来（Dirichlet）原理，利用这个原理，可以美妙的解 决变分中提出的一系列问题，并且在数学物理上有着广泛的应用。按照微积分理论，狄利赫来原理应该算是理所当然成立的。可是外尔斯特拉斯却说：“不加证明的 使用狄利赫来原理，是不严格的。”黎曼也是很谦虚的，便回应到：“您说的对，不过这个原理肯定是正确的，很快我就会证明出来。”但是黎曼直到去世也没有证 明出来，又是这个中学教师，举出了一个反例，彻底推翻了狄利赫来原理。于是黎曼博士论文中的一切结果都是值得怀疑的了。因此数学家卡尔.诺依曼叹息道：“如此美妙而又有广泛应用前景的原理，已经永远从我们视野中消失了。” 1899年，旷世奇才希尔伯特（Hilbert）用了不到6页纸，通过附加一个条件，就消除了黎曼理论的缺陷，从而挽救了这个原理。更神奇的是， 还挽救了黎曼的名声，因为用这个改造的原理发现黎曼