n阶行列式的计算方法探索

N阶行列式的计算方法探索,指导老师：朱 敏 学 生：姚 梅 学 号：091101223,选题的意义：,1、行列式的计算是学习高等代数的基石，它是求解线性方程组、求逆矩阵及求矩阵特征值的基础； 2、对行列式计算方法的整理归纳，能让行列式众多的计算方法更易于被掌握和应用； 3、行列式在高中代数和立体几何中的应用也为我们解题提供了不一样的思路。,1.总结了计算行列式的多种基本方法；2.介绍其他不太常用的计算行列式的方法；3.行列式在初等代数和立体几何中的应用。,1.利用行列式的定义计算；行列式的定义：2.利用行列式的性质计算行列式性质1 某行（列）的公因子可以提到行列式符号外；性质2 如果行列式中有两行（列）对应元素都相等，那么行列式为零；性质3 把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变；,3.化为三角形法 化三角形法指的是通过行列式的行变换和列变换，使得行列式变成下面的形式：位于主对角线一侧的所有元素全等于0，这样得到的行列式的值等于主对角线元素的乘积，对于次对角线的情形，行列式的值等于 与次对角线上所有元素的乘积。4.行列式按一行（列）展开,定理：行列式的值等于它的某一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。例：计算解：原式=,5.加边法加边法的一般做法是：,6.递推法 递推方法计算行列式是将已知的行列式按行（列）展开成较低阶的同类型的行列式（同类型行列式是指阶数不同，但结构相同的行列式），再找出Dn与Dn-1或Dn与Dn-1、Dn-2（其中Dn、Dn-1、Dn-2结构一定要相同）之间的递推关系，然后利用这个递推公式求出行列式的值。,7.数学归纳法 例：证明证明：用第一数学归纳法证明。 当n=1时, ，等式成立； n=2时, , 等式成立； 设当n=k 时, 等式成立 则当n=k+l时, =右边，故等式成立，得证。,8线性因子计算法 两个命题： (1) 设行列式D 中的各元素都是a,b 的有理整函数, 若以b代替a时，行列式的值为零, 则a- b 是原行列式的一个因子。 (2) 设行列式D 的元素都是x 的有理整函数, 如果x=a 时, D 有p行( 列) 各元素变成相同, 那么行列式D 有因式(x- a)p- 1。9.拆项法10.构造法,1.应用公式和定理计算,范德蒙行列式 N阶范德蒙行列式的形式和结果为：拉普拉斯定理：任意取定n级行列式D的某k行（列）（ ）,由这k行（列）元素所组成的一切k级子式（共有 个）与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D的值。,2 辅助行列式法例：计算解：在Dn的各元素上加上（-a）后，得,3.四分块矩阵计算 例：计算2n阶行列式解：令,1.行列式在初等代数中的应用（1）用行列式分解因式：利用行列式分解因式，关键在于把所给的多项式写成行列式的形式，并注意行列式的排列规则。 例 分解因式： 解：原式,（2）.用行列式证明不等式和恒等式 利用行列式的这些性质，构造行列式来证明等式和不等式。 例 已知 ，求证 证明：令 则 而 ，命题得证。,2.三阶行列式在立体几何中的应用由高等数学的相关知识可知，两个不共线非零向量的叉乘表示这两个向量所在平面的法向量。而行列式恰好可以解决垂直问题，因此求一个平面的法向量可以通过构造一个三阶行列式来进行计算。,通过对以上方法的熟练掌握和灵活应用，最终会使行列式的运算变的简洁、方便、准确。针对具体问题具体行列式的时候，务必要把握行列式的特点，灵活选用计算方法。观察行列式的特点，有时综合运用以上方法可以更简便的求出行列式的值；有时也可以运用多种方法计算一个行列式。,致谢,大学本科的学习生活即将结束。在此，我要感谢所有曾经教导过我的老师和关心过我的同学，他们在我成长过程中给予了我很大的帮助。本文能够顺利完成，要特别感谢