2018-2019学年第一学期末汕头市高三质量监测试题和答案（理数）

第 3 题图 汕汕头头市市20182019学学年年度度普普通通高高中中毕毕业业班班教教学学质质量量监监测测试试题题 理理 科科 数数 学学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上。 将条形码横贴在答题卡右上角 “条形码粘贴处”。 2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答 案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在 试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一一、选择题选择题：本题共本题共12小题小题，每小题每小题5分分，共共60分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是只有一项是 符合要求的。符合要求的。 1若复数 2i 12i z （i为虚数单位） ，则2z A.2B.5C. 3D. 5 2已知全集UR，集合A=0,1,2,3,4,5,6， B= |0 3 x x x ，则图中阴影部分表示的集合为 A1,2B0,1,2 C1,2,3D0,1,2,3 3为了普及消防知识，增强消防意识，某学校组织消防知识抢答活动，现在随机抽取 30 名 学生参加本次活动，得分情况（十分制）如图所示，则得分值的众数和中位数分别为 A5， 5B5， 5.5C5， 6D6， 6.5 第 2 题图 4已知x，y满足约束条件 0 1 21 xy xy xy ，则22zxy的最大值为 A1B2C3D4 5如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆将一颗豆 子随机地扔到正方形MNPQ内， 用A表示事件 “豆子落在圆O内” ， B表示事件“豆子落在扇形OEF（阴影部分）内” ，则() P B A A. 4 B. 1 4 C. 16 D. 1 8 6执行如图所示的程序框图，则输出的S= A. 74B. 83 C. 177D. 166 7. 已知向量5,2, 2 ,amb 若 abb ，则m= A.1B. 1 C. 2D.2 8已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体 的体积为 24+48，则r= A. 2B. 4 C. 1D. 3第 8 题图 9函数 2 ( )ln(1)1f xxxx的大致图象为 ABCD 10 若将函数( )sin23cos2f xxx的图象向右平移（0） 个单位， 所得图象关于y轴 对称，则的最小值是 A. 12 B. 4 C. 3 8 D. 5 12 第 5 题图 第 6 题图 11在四面体ABCD中，AB=1，3BCCD，2AC，当四面体ABCD的体积最大 时，其外接球的表面积为 A.2B. 3C.6D. 8 12设曲线 2 x f xex（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为 1 l，总存在曲线 sing xaxx 上某点处的切线 2 l，使得 12 ll，则实数a的取值范围为 A. 1,2B.( 1,2)C. 1 (,1) 2 D. 1 ,1 2 二、填空题：本题共二、填空题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分。分。 13已知函数 2 2 ,1 ( ) log (1),1 x ex f x xx （其中e是自然对数的底数） ，则 ( 3)f f. 14把分别写有 1，2，3，4，5 的五张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张， 且若分得的卡片超过一张， 则必须是连号， 那么不同的分法种数为_(用数字作答) 15已知正三棱柱 111 ABCA BC的所有棱长都相等，M为 11 AC的中点，N为 1 BB的中点，则 直线CM与AN所成的角的余弦值为_. 16ABC 中，2 3BC ，3AC ，2AB，D是BC上一点且ADAC，则ABD 的面 积为_. 三三、解答题解答题：共共 70 分分。解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤。第第 1721 题为必考题题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 (一一)必考题：共必考题：共 60 分。分。 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 n a的前n项和为 n S， 且 2 n S+1=4 n a， 数列 n b满足 1 b=2， 1n a n b 2 n a 1 2n n b . (1)求 n a的通项公式； (2)设 2 log (4) nn ca，求数列 1 1 nn bc 的前n项和 n T. 18. (本小题满分 12 分) 如图(1)，已知ABC 是边长为6的等边三角形，点D、E分别是边AB、AC上的点， 且满足2ADCE，如图(2)，将ADE 沿DE折成四棱锥 1 ABCED，且有平面 1 ADE 平 面BCED 第 18 题图（1）第 18 题图（2） (1)求证： 1 AD 平面BCED； (2)记 1 A E的中点为M，求二面角 1 MDCA的余弦值 19. (本小题满分12分) 某市为了了解民众对开展创建文明城市工作以来的满意度，随机调查了 40 名群众，并将 他们随机分成A，B两组，每组 20 人，A组群众给第一阶段的创文工作评分，B组群众给 第二阶段的创文工作评分根据两组群众的评分绘制了如下茎叶图： A 组（第一阶段）B 组（第二阶段） 976415 9887536567 667679998 65428456689 721912578 (1)根据茎叶图比较群众对两个阶段创文工作满意度评分的平均值及集中程度 （不要求计 算出具体值，给出结论即可）； (2)根据群众的评分将满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分低于70分70分到89分不低于90分 满意度等级不满意满意非常满意 假设两组群众的评价结果相互独立，由频率估计概率，求创文工作第二阶段的民众满 意度等级高于第一阶段的概率； 从这 40 名群众中随机抽取 2 人，记X表示满意度等级为“非常满意”的群众人数， 求X的分布列与数学期望. 20. (本小题满分12分) 已知椭圆 22 22 :1 xy E ab (0)ab的离心率为 1 2 ，且过点 3 ( 3,) 2 . (1)求椭圆E的方程； (2)设直线ykxm(m0)与椭圆E交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两 点（且C、D在A、B之间或同时在A、B之外）. 问：是否存在定值k，使得OAC 的面 积与OBD 的面积总相等，若存在，求k的值，并求出实数m取值范围；若不存在，说明理 由. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 2 1 ( )ln () 2 f xxaxx aR. (1)讨论( )f x的单调性； (2)若 1 x， 2 x是( )f x的两个极值点，证明： 12 12 ()() 2 f xf xa xx . (二二)选考题选考题：共共10分分。请考生在第请考生在第22、23题中任选一题作答题中任选一题作答。如果多做如果多做，则按所做的第一题记分则按所做的第一题记分。 22. (本小题满分10分)选修选修44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为: 23cos 3sin x y (为参数)，以坐标 原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系. (1)求曲线C的极坐标方程； (2)设直线l的极坐标方程为(R)，若直线l与曲线C交于M，N两点，且 2 6MN ，求直线l的直角坐标方程 23. (本小题满分 10 分)选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 已知函数 2 ()fxxkxkR. (1)当k=2 时，求不等式( )8f x 的解集； (2)若 2 ( )23h xxx， 1 xR， 2 (0,)x，使得 1 ()f x h( 2 x)成立，求实数k的取 值范围. 围绕必备题型，靶向复习，减负增效。 众所周知，高中数学内容繁多，题型千变万化，高三备考往往采用题海战术，学生疲于应 付，复习效果不佳，事倍功半，有的学生甚至对数学产生厌烦情绪和恐惧心理。 为帮助高三学生减轻学习负担，增强信心，把握方向，抓住重点，提高效率，提升成绩， 我们对全国高考课标卷和高中课程标准、高考大纲、考试说明进行深入研究，分析历年高考 题的命题规律，发现高考全国卷试题结构、特色、重点、难度等方面都非常稳定，有章可循。 经过大家反复讨论和试验，将高考考查的主要内容和问题，归纳提炼成 29 个题型。为更好地 落实题型、用好题型，实现资源共享，我们把研究成果整理、充实，编辑成高考数学必备题 型。 必备题型以高考各个知识板块重要考点为依据，解读分析各题型内容、关键知识、题型呈 现，分析典范例题思路（包括思维突破口和思路推进法）、规范解答、得分攻略（包括得分 点拨和抢分策略）以及易错规避，对全国高考课标卷考查的主要题型和问题进行全面解析， 帮助师生快速理解、领会高考考查的重点、考查方式、考查题型、试题呈现模式、评卷尺度、 突破策略以及得分攻略。 必备题型浓缩了高中数学的精华，题目少而精，教学效果立竿见影。必备题型能帮助师生 用较少的时间，了解高考考题特色，掌握常考的知识方法，把准方向，抓住复习的重点和热 点，快速提升解题能力，少走弯路，少做无用功，有效提高备考效率，实现了预期的目标 核心题型，锁定考点；完美剖析，化难为易；靶向复习，减负增效。 2018 年高考，我市数学科 150 分有 3 名，149 分有 6 名，高分层特别厚实；2017 年高考， 我市大部分重点中学文科数学平均分都有大幅度提升，有 22 所学校平均分提升 10 分以上。 后阶段关键时期，时间紧，任务重，要以必备题型为中心，配合近四年高考分类真题进行 复习，不要盲目做题，相信会收到事半功倍的备考效果！ 汕汕头头市市20182019学学年年度度普普通通高高中中毕毕业业班班教教学学质质量量监监测测 数学数学(理理)参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一、一、选择题选择题：本大题共本大题共 1212 题题，每小题每小题 5 5 分分，满分满分 6060 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有 一项是符合要求的一项是符合要求的 题号12345678910 1112 答案BCBDBCBAAD CD 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小小题，考生作答题，考生作答 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 2020 分分 13.e14.3615. 1 5 16. 2 10 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，满分小题，满分 7070 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17 （本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 解:（1）当1n 时， 11 214 Sa即 1 1 2 a1 分 当2n 时，214 nn Sa 11 214 nn Sa2 分 -得： 1 244 nnn aaa3 分 所以： 1 2(2) n n a n a 所以 n a是以 1 2 为首项，2为公比的等比数列， 4 分 所以： 12* 1 22() 2 nn n anN5 分 （2）由（1）知 2 2 n n a，所以 1 1 2 n n a 因为 11 22 n nnnn aba b， 所以 12 1 22 22 nnn nn bb， 6 分 所以 1 2 nn bb， 所以 n b是公差为2的等差数列， 7 分 所以 * 2(1)22 () n bnn nN，8 分 因为 2 22 log 4log 4 2 n nn can，9 分 所以 1 111 11 () (22)21 nn bcnnnn ，10 分 所以 111 111 11 (1)()() 222 2321 n T nn ， 11 分 111111 (1) 222312(1) n nnn . 12 分 18 （本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 解： （1）证明：依题意， 111 2,4,60ADBDAEDAE ， 1 分 在 1 ADE中，由余弦定理得 222 242 4 2 cos6012DE ， 2 分 2 3DE 从而由 222 11 AEDEAD，得到 1 ADDE，3 分 平面 1 ADE 平面BCED， 平面 1 ADE 平面BCEDDE，4 分 1 AD 平面BCED5 分 （2）解：由（1）得 1 AD 平面BCED，且BDDE， 以D为原点建立空间直角坐标系，6 分 则(0,0,0),(1,3 3,0),DC7 分 1(0,0,2), (0,2 3,0),(0, 3,1)AEM8 分 (1,3 3,0),DC (0, 3,1),DM 1 (0,0,2),DA 设平面MDC的一个法向量为 1 ( , , ),nx y z 则 3 30 30 n DCxy n DMyz 得 1 (3 3, 1, 3)n 9 分 设平面 1 DCA的一个法向量为 2 ( , , ),nx y z 则 1 3 30 20 n DCxy n DAz 得 2 (3 3, 1,0)n 10 分 依题意有， 12 12 12 282 217 cos, 31|2831 nn n n nn 11 分 由图可知,二面角 1 MDCA为锐角，则其余弦值为 2 217 31 . 12 分 19 （本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 解： （1） 通过茎叶图可以看出，B组群众给第二阶段创文工作满意度评分的 “叶” 分布在 “茎” 的 7、8、9 上，也相对集中在峰值的附近，故B组给第二阶段创文工作满意度评分的平均分 高于A组群众给第一阶段创文工作满意度评分的平均值，给分相对A组更集中稳定.（只要能 简要回答出划线部分均给满分） 2 分 （2） 记 1 A表示事件“第一阶段创文工作满意度等级为不满意” ， 2 A表示事件“第一阶段 创文工作满意度等级为满意” ， 1 B表示事件 “第二阶段创文工作满意度等级为满意或非常满意” ， 2 B表示事件“第二阶段创文工作满意度等级为非常满意” ， 则由频率估计概率，有 1 11 () 20 P A ， 2 6 () 20 P A， 1 17 () 20 P B， 2 5 () 20 P B 5 分 设创文工作第二阶段的民众满意度等级高于第一阶段为事件A，由事件的相互独立性 11221122 ( )()() ()() () 111765217 0.5425 20202020400 P AP ABA BP A P BP A P B 故创文工作第二阶段的民众满意度等级高于第一阶段的概率为 0.5425. 7 分 由已知，在被随机调查的 40 名群众中，创文工作满意度等级为“非常满意”的人数为 8 人，其他等级为 32 人，则从中随机抽取 2 人，0, 1, 2X 8 分 2 32 2 40 124 (0) 195 C P X C ， 11 328 2 40 64 (1) 195 C C P X C ， 2 8 2 40 7 (2) 195 C P X C ， X的分布列为 X012 P124 195 64 195 7 195 124647782 ()012 1951951951955 E X 12 分 20 （本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 解： （1）由题可得 222 2 2 22 1 2 3 () ( 3) 2 1 c e a acb ab ，.2 分 解得. 2 2 2 4 3 1 a b c ，.4 分 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy .5 分 （2）联立 22 1 43 ykxm xy 消去y得： 222 (43)84120kxkmxm，.6 分 由 222222 644(43)(412)48(43)0k mkmkm ，得 22 43mk， .7 分 设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy，则 12 2 8 43 km xx k .8 分 由题意，得)0 ,( k m C ，), 0(mD, OAC的面积与OBD的面积总相等 |BDAC 恒成立线段AB的中点与线段CD的中点重合.9 分 2 8 43 kmm kk (0)m ，解得 3 2 k ，.10 分 由 22 436mk且0m，得60m或06m，.11 分 即存在定值 3 2 k ，使得OAC的面积与OBD的面积总相等. 此时实数m取值范围是(6,0)(0, 6).12 分 21 （本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 解： （1）( )f x的定义域为(0,).1 分 又 2 / 11 ( ) xax fxxa xx .2 分 令 2 ( )1u xxax，则(0)10u，( )u x的对称轴为 2 a x ， 2 4a 当0a 时，在(0,)上， /( ) 0fx ，( )f x是增函数；.3 分 当02a时，0 ，在(0,)上，( )0u x ， /( ) 0fx ，( )f x是增函数；.4 分 当2a 时，0 ，( )0u x 得： 2 1 4 2 aa x 或 2 2 4 2 aa x 在 2 4 (0,) 2 aa 和 2 4 (,) 2 aa 上，( )0u x ， /( ) 0fx ，( )f x是增函数； 在 22 44 (,) 22 aaaa 上，( )0u x ， /( ) 0fx ，( )f x是减函数.5 分 综合知：当2a 时，在0,上，( )f x是增函数； 当2a 时，在 2 4 (0,) 2 aa 和 2 4 (,) 2 aa 上，( )f x是增函数； 在 22 44 (,) 22 aaaa 上，( )f x是减函数；.6 分 （2）假设 12 xx，因为 12 ,x x是( )f x的极值点，则 12 ,x x是 /( ) 0fx 的解 得： 12 xxa且 12 1x x .7 分 所以： 22 121212 12 1212 1 ()()(lnln) ()() 2 xxa xxxx f xf x xxxx 11 22 12 1212 lnln 11 () 22 xx xx xxaa xxxx 即证： 1 2 12 ln 11 22 x x aa xx 1 2 12 12 ln x x axx xx 22 1 12 2 ln x xx x 2 1 22 1122 1 212 2 ()1 ln x xxxx x xx x x 12 21 xx xx .8 分 令 1 2 1 x t x