江苏省南通市2019届高三第一次模拟考试数学试卷及解析

2019 届高三年级第一次模拟考试届高三年级第一次模拟考试 数数学学 (满分 160 分，考试时间 120 分钟) 参考公式： 柱体的体积公式：V柱体Sh，其中 S 为柱体的底面积，h 为高. 一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分. 1. 已知集合 A1，3，B0，1，则集合 AB. 2. 已知复数 z 2i 1i3i(i 为虚数单位)，则复数 z 的模为 . 3. 某中学组织学生参加社会实践活动，高二(1)班 50 名学生参加活动的次数统计如下： 次数2345 人数2015105 则平均每人参加活动的次数为. 4. 如图是一个算法流程图，则输出的 b 的值为. 5. 有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参 加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为. 6. 已知正四棱柱的底面边长是 3 cm，侧面的对角线长是 3 5cm， 则这个正四棱柱的体积为cm3. 7. 若实数 x，y 满足 xy2x3，则 xy 的最小值为. 8. 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知抛物线 y22px(p0)的准线为 l， 直线 l 与双曲线x 2 4 y21 的两条渐近线分别交于 A，B 两点，AB 6，则 p 的值为. 9. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 y3xt 与曲线 yasin xbcos x(a，b，tR) 相切于点(0，1)，则(ab)t 的值为。 10. 已知数列an是等比数列，有下列四个命题： 数列|an|是等比数列； 数列anan1是等比数列； 数列 1 an是等比数列； 数列lg a2n是等比数列. 其中正确的命题有个. 11. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x2)f(x).当 00)的左焦点为 F，右顶点为 A，上 顶点为 B. (1) 已知椭圆的离心率为1 2，线段 AF 中点的横坐标为 2 2 ，求椭圆的标准方程； (2) 已知ABF 的外接圆的圆心在直线 yx 上，求椭圆的离心率 e 的值. 18. (本小题满分 16 分) 如图 1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形 ABCD，AB，AD 的长分别为 2 3 m 和 4 m，上部是圆心为 O 的劣弧 CD，COD2 3 . (1) 求图 1 中拱门最高点到地面的距离； (2) 现欲以点 B 为支点将拱门放倒， 放倒过程中矩形 ABCD 所在的平面始终与地面垂直， 如图 2、图 3、图 4 所示.设 BC 与地面水平线 l 所成的角为.记拱门上的点到地面的最大距离 为 h，试用的函数表示 h，并求出 h 的最大值. 19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)a xln x(aR). (1) 讨论函数 f(x)的单调性； (2) 设函数 f(x)的导函数为 f(x)，若函数 f(x)有两个不相同的零点 x1，x2. 求实数 a 的取值范围； 证明：x1f(x1)x2f(x2)2ln a2. 20. (本小题满分 16 分) 已知等差数列an满足 a44，前 8 项和 S836. (1) 求数列an的通项公式； (2) 若数列bn满足错误错误!(bka2n12k)2an3(2n1)(nN*). 证明：bn为等比数列； 求集合 （m，p）|am bm 3ap bp ，m，pN* . 2019 届高三年级第一次模拟考试届高三年级第一次模拟考试 数学附加题数学附加题 (本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟) 21. 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并作答.若多做，则按 作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. 选修 4-2：矩阵与变换(本小题满分 10 分) 已知矩阵 M ab cd ，N 10 0 1 2，且(MN) 1 1 4 0 02，求矩阵 M. 选修 4-4：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程是 xt， yt2 (t 为参数).以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程是sin 4 2.求： (1) 直线 l 的直角坐标方程； (2) 直线 l 被曲线 C 截得的线段长. C. 选修 4-5：不等式选讲(本小题满分 10 分) 已知实数 a，b，c 满足 a2b2c21，求证： 1 a21 1 b21 1 c21 . 【必做题】 第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分.解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) “回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如 22，121，3 553 等.显然 2 位“回文数”共 9 个：11，22，33，99.现从 9 个不同的 2 位“回文数”中任取 1 个乘以 4，其结果记为 X；从 9 个不同的 2 位“回文数”中任取 2 个相加，其结果记为 Y. (1) 求 X 为“回文数”的概率； (2) 设随机变量表示 X，Y 两数中“回文数”的个数，求的概率分布和数学期望 E(). 23. (本小题满分 10 分) 设集合 B 是集合 An1，2，3，3n2，3n1，3n，nN*的子集.记集合 B 中所 有元素的和为 S(规定：集合 B 为空集时，S0).若 S 为 3 的整数倍，则称 B 为 An的“和谐子 集”.求： (1) 集合 A1的“和谐子集”的个数； (2) 集合 An的“和谐子集”的个数. 2019 届高三年级第一次模拟考试届高三年级第一次模拟考试(南通南通) 数学参考答案数学参考答案 1.0，1，32. 53.34.75.2 3 6.54 7.68.2 69.410.311.212.2 5 13. 4，4 314.337 15. (1) 在四棱锥 PABCD 中，M，N 分别为棱 PA，PD 的中点， 所以 MNAD.(2 分) 又底面 ABCD 是矩形， 所以 BCAD. 所以 MNBC.(4 分) 又 BC平面 PBC，MN平面 PBC， 所以 MN平面 PBC.(6 分) (2) 因为底面 ABCD 是矩形， 所以 ABAD. 又侧面 PAD底面 ABCD，侧面 PAD底面 ABCDAD，AB底面 ABCD， 所以 AB侧面 PAD.(8 分) 又 MD侧面 PAD， 所以 ABMD.(10 分) 因为 DADP，又 M 为 AP 的中点， 从而 MDPA.(12 分) 又 PA，AB 在平面 PAB 内，PAABA， 所以 MD平面 PAB.(14 分) 16. (1) 在ABC 中，因为 cosA 3 3 ，0A， 所以 sinA 1cos2A 6 3 .(2 分) 因为 acosB 2bcosA， 由正弦定理 a sinA b sinB，得 sinAcosB 2sinBcosA. 所以 cosBsinB.(4 分) 若 cosB0，则 sinB0，与 sin2Bcos2B1 矛盾，故 cosB0. 于是 tanBsinB cosB1. 又因为 00)的离心率为 1 2， 所以c a 1 2，则 a2c. 因为线段 AF 中点的横坐标为 2 2 ， 所以ac 2 2 2 . 所以 c 2，则 a28，b2a2c26. 所以椭圆的标准方程为x 2 8 y 2 6 1.(4 分) (2) 因为点 A(a，0)，点 F(c，0)， 所以线段 AF 的中垂线方程为 xac 2 . 又因为ABF 的外接圆的圆心 C 在直线 yx 上， 所以点 C ac 2 ，ac 2.(6 分) 因为点 A(a，0)，点 B(0，b)， 所以线段 AB 的中垂线方程为：yb 2 a b xa 2 . 由点 C 在线段 AB 的中垂线上，得ac 2 b 2 a b ac 2 a 2 ， 整理得，b(ac)b2ac，(10 分) 即(bc)(ab)0. 因为 ab0，所以 bc.(12 分) 所以椭圆的离心率 ec a c b2c2 2 2 .(14 分) 18. (1) 如图 1， 过点 O 作与地面垂直的直线交 AB， CD 于点 O1， O2， 交劣弧 CD 于点 P， O1P 的长即为拱门最高点到地面的距离. 在 RtO2OC 中，O2OC 3，CO 2 3， 所以 OO21，圆的半径 ROC2. 所以 O1PROO1RO1O2OO25. 故拱门最高点到地面的距离为 5m.(4 分) (2) 在拱门放倒过程中，过点 O 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点 P. 当点 P 在劣弧 CD 上时， 拱门上的点到地面的最大距离 h 等于圆 O 的半径长与圆心 O 到 地面距离之和； 当点 P 在线段 AD 上时，拱门上的点到地面的最大距离 h 等于点 D 到地面的距离. 由(1)知，在 RtOO1B 中，OB OO21O1B22 3. 以 B 为坐标原点，地面所在的直线为 x 轴，建立如图 2 所示的坐标系. 当点 P 在劣弧 CD 上时， 6 2. 由OBx 6，OB2 3， 由三角函数定义， 得点 O 2 3cos 6 ，2 3sin 6， 则 h22 3sin 6 .(8 分) 所以当 6 2即 3时，h 取得最大值 22 3.(10 分) 如图 3，当点 P 在线段 AD 上时，0 6. 设CBD，在 RtBCD 中， DB BC2CD22 7， sin2 3 2 7 21 7 ，cos 4 2 7 2 7 7 . 由DBx，得点 D(2 7cos()，2 7sin(). 所以 h2 7sin()4sin2 3cos.(14 分) 又当 00. 所以 h4sin2 3cos在 0， 6 上递增. 所以当 6时，h 取得最大值 5. 因为 22 35，所以 h 的最大值为 22 3. 故 h 4sin2 3cos，0 6， 22 3sin 6 ， 60 成立， 所以函数 f(x)在(0，)为增函数；(2 分) 当 a0 时， () 当 xa 时，f(x)0，所以函数 f(x)在(a，)上为增函数； () 当 0xa 时，f(x)0 时，f(x)的最小值为 f(a)， 依题意知 f(a)1lna0，解得 00，函数 f(x)在(a，)为增函数，且函数 f(x)的图象在(a， 1)上不间断. 所以函数 f(x)在(a，)上有唯一的一个零点. 另一方面，因为 0a1 e，所以 0a 2a1 e. f(a2)1 alna 21 a2lna，令 g(a) 1 a2lna， 当 0a0. 又 f(a)a2. 不妨设 x1x2，由知 0x1a 2 x2. 因为 x1，a 2 x2(0，a)，函数 f(x)在(0，a)上为减函数， 所以只要证 f a2 x2f(x1). 又 f(x1)f(x2)0，即证 f a2 x2f(x2).(14 分) 设函数 F(x)f a2 x f(x)x a a x2lnx2lna(xa). 所以 F(x)（xa） 2 ax2 0， 所以函数 F(x)在(a，)上为增函数. 所以 F(x2)F(a)0， 所以 f a2 x2f(x2)成立. 从而 x1x2a2成立. 所以 p2ln(x1x2)2lna2，即 x1f(x1)x2f(x2)2lna2 成立.(16 分) 20. (1) 设等差数列an的公差为 d. 因为等差数列an满足 a44，前 8 项和 S836， 所以 a13d4， 8a187 2 d36，解得 a11， d1. 所以数列an的通项公式为 ann.(3 分) (2) 设数列bn的前 n 项和为 Bn. 由得 3(2n1)3(2n 11)(b1a2n 1b2a2n3bn1a3bna12n)(b1a2n3b2a2n5 bn1a12n2)b1(a2n32)b2(a2n52)bn1(a12)bna12n(b1a2n3b2a2n5 bn1a12n2)2(b1b2bn1)bn22(Bnbn)bn2. 所以 32n 12Bnbn2(n2，nN*)， 又 3(211)b1a12，所以 b11，满足上式. 所以 2Bnbn232n 1(nN*)， (6 分) 当 n2 时，2Bn1bn1232n 2， 由得，bnbn132n 2.(8 分) bn2n 1(bn 12n 2)(1)n1(b120)0， 所以 bn2n 1，bn1 bn 2， 所以数列bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列.(10 分) 由am bm 3ap bp ，得 m 2m 1 3p 2p 1，即 2 pm3p m . 记 cnan bn，由得，c nan bn n 2n 1， 所以cn 1 cn n1 2n 1，所以 cncn1(当且仅当 n1 时等号成立). 由am bm 3ap bp ，得 cm3cpcp， 所以 mp.(12 分) 设 tpm(m，p，tN*)， 由 2p m3p m ，得 m 3t 2t3. 当 t1 时，m3，不合题意； 当 t2 时，m6，此时 p8 符合题意； 当 t3 时，m9 5，不合题意； 当 t4 时，m12 130， 所以当 t4，tN*时，m 3t 2t31，不合题意. 综上，所求集合(m，p)|am bm 3ap bp ，m，pN*(6，8).(16 分) 21.A.由题意知(MN) 1 1 4 0 02， 则 MN 40 0 1 2.(4 分) 因为 N 10 0 1 2，则 N 1 10 02 .(6 分) 所以矩阵 M 40 0 1 2 10 02 40 01 .(10 分) B. (1) 直线 l 的极坐标方程可化为(sincos 4 cossin 4) 2，即sincos2. 又 xcos，ysin， 所以直线 l 的直角坐标方程为 xy20.(4 分) (2) 曲线 C xt， yt2 (t 为参数)的普通方程为 x2y. 由 x2y， xy20得 x 2x20， 所以直线 l 与曲线 C 的交点 A(1，1)，B(2，4).(8 分) 所以直线 l 被曲线 C 截得的线段长为 AB （12）2（14）23 2.(10 分) C.由柯西不等式，得 (a21)(b21)(c21)( 1 a21 1 b21 1 c21)( a 21 1 a21 b 21 1 b21 c21 1 c21) 29，(5 分) 所以 1 a21 1 b21 1 c21 9 a2b2c23 9 13 9 4.(10 分) 22. (1) 记“X 是回文数”为事件 A. 9 个不同的 2 位“回文数”乘以 4 的值依次为 44，88，132，176，220，264，308，352， 396，其中“回文数”有 44，88. 所以事件 A 的概率 P(A)2 9.(3 分) (2) 根据条件知，随机变量的所有可能取值为 0，1，2. 由(1)得 P(A)2 9.(5 分) 设“Y 是回文数”为事件 B，则事件 A，B 相互独立. 根据已知条件得，P(B)20 C29 5 9. P(0)P(A)P(B)(12 9)(1 5 9) 28 81； P(1)P(A)P(B)P(A)P(B)(12 9) 5 9 2 9 15 9 43 81； P(2)P(A)P(B)2 9 5 9 10 81(8 分) 所以，随机变量的概率分布为 012 P 28 81 43 81 10 81 所以随机变量的数学期望为 E()028 811 43 812 10 81 7 9.(10 分) 23. (1) 集合 A11，2，3的子集有，1，2，3，1，2，1，3，2，3，1， 2，