（中学联盟）河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断考试（数学理）

河北省河北省“五个一名校联盟五个一名校联盟”20192019 届高三第一次诊断考试届高三第一次诊断考试 数学（理科）试题数学（理科）试题2019.22019.2 （满分：150 分，测试时间：120 分钟） 第第 I I 卷（选择题卷（选择题 共共 6060 分）分） 一一、选择题选择题：本题共本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目只有一项是符合题目 要求的要求的. . 1i是虚数单位， 4 1 i z i 则| z A2B2 2C4D4 2 2集合|2lg1Axx， 2 |90Bx x，则AB A 3,3 B 0, 10C0,3 D 3, 10 3已知向量2a ，1b ，(2 )2a ab ，则a 与b 的夹角为 A o 30B o 60C o 90D o 150 4如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形ABC的三个顶点为 圆心， 以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点， 则此点取自 等边三角形内的概率是 A 3 23 B 3 22 3 C 3 3 D 3 42 3 5已知圆 222 (0)xyrr与抛物线 2 2yx交于, A B两点，与抛物线的准线交于,C D两 点，若四边形ABCD是矩形，则r等于 A 2 2 B2C 5 2 D5 6函数 1 ln(1) y xx 的图象大致为 ABCD 7若1p ，01mn，则下列不等式正确的是 A1 p m n B pmm pnn C pp mn D loglog mn pp 8已知棱长为 1 的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三 视图如图所示，则剩余部分的表面积为 A 2 3 B33 C 93 2 D2 3 9 函数( )f x的定义域为R， 且 ( )(3)f xf x， 当20 x 时， 2 ( )(1)f xx； 当01x 时，( )21f xx ，则(1)(2)(3)(2018)ffff A671B673C1343D1345 10如图所示，直三棱柱的高为 4，底面边长分别是 5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时 球心到下底面距离为 8，则球的体积为 A 160 5 3 B 64 2 3 C 96 3 3 D 256 2 3 11函数( )sin3cosf xxx (0)与函数( )yg x的图像关于点,0 3 对称，且 ( )() 3 g xf x ，则的最小值等于 A1B2C3D4 12已知函数( )(1) x f xex，若关于x的方程|( )|( )1| 1f xaf xa有且仅有两个不 同的整数解，则实数a的取值范围是 A 2 23 1,1) ee B 2 23 ,) ee C 2 1, e D 2 0,e 第第 II 卷（共卷（共 90 分）分） 本卷本卷包括必考题和选考题两部分包括必考题和选考题两部分。第第 13 题题第第 21 题题为必考题为必考题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答； 第第 22 题题第第 23 题题为选考题，考生根据为选考题，考生根据要求要求作答。作答。 二二、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分。分。 13若 x，y 满足 1 1 3 x y xy ，则2zxy的最小值为 14在 5 1 11x x 的展开式中常数项等于 15已 知双曲线 2 2 :1 3 y C x 的左右焦点分别为 1 F、 2 F，点A在双曲线上，点M的坐标为 2 ,0 3 ，且M到直线 1 AF， 2 AF的距离相等，则 1 |AF 16在ABC中，内角ABC、 、所对的边分别为 , ,a b c，D是AB的中点，若1CD 且 1 ()sin()(sinsin ) 2 abAcbCB，则ABC面积的最大值是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a满足 1 32 1 21 22 222 n n n aaa a * ()nN， 4 log nn ba （）求数列 n a的通项公式； （）求数列 1 1 nn b b 的前n项和 n T 18 （本小题满分 12 分） 山东省高考改革试点方案 规定： 从 2017 年秋季高中入学的新生开始， 不分文理科； 2020 年开始，高考总成绩由语数外 3 门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目 的考生原始成绩从高到低划分为 A、B+、B、C+、C、D+、D、E 共 8 个等级.参照正态分布原则， 确定各等级人数所占比例分别为 3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生 总成绩时， 将 A 至 E 等级内的考生原始成绩， 依照等比例转换法则， 分别转换到91,100、 81,90、 71,80、61,70、51,60、41,50、31,40、21,30八个分数区间，得到考生的等级成绩 某校高一年级共 2000 人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物 理考试原始成绩基本服从正态分布 N（60,169） （）求物理原始成绩在区间（47,86）的人数； （） 按高考改革方案， 若从全省考生中随机抽取3人， 记X表示这3人中等级成绩在区间61,80 的人数，求 X 的分布列和数学期望. （附：若随机变量 2 ( ,)N ，则()=0 682P.， (22 )=0 954P.，(33 )=0 997P.） 19 （本小题满分 12 分） 如图，在四面体ABCD中，,E F分别是线段,AD BD的中点， o 90ABDBCD ， 2EC ，2ABBD，直线EC与平面ABC所成的角等于 o 30 （）证明： 平面EFC 平面BCD； （）求二面角A CEB的余弦值 20 （本小题满分 12 分） 椭圆 22 22 :1 (0) xy Eab ab 的离心率是 5 3 ，过点 (0,1)P做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于,A B两点，当直线l垂直于y轴时 | 3 3AB （）求椭圆E的方程； （）当k变化时，在x轴上是否存在点( ,0)M m，使得AMB是以AB为底的等腰三角形， 若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )=2lnf xxaxx（a为常数） （）若( )f x是定义域上的单调函数，求a的取值范围； （）若( )f x存在两个极值点 12 ,x x，且 12 3 | 2 xx，求 12 |()()|f xf x的最大值 请考生在请考生在 22,23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22 （本小题满分 10 分） 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 cos , sin xt yt （t为参数） ，在以坐标原点为极 点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 1: 2cosC，曲线 2: cos() 3 C （）求 2 C的直角坐标方程； （）若直线l与曲线 1 C, 2 C分别相交于异于原点的点,M N,求|MN的最大值. 23 （本小题满分 10 分） 已知( ) |1|1|f xxax,( ) |1| 2g xx （）若 1 2 a ,求不等式( )2f x 的解集； （）设关于x的不等式( )( )f xg x的解集为A,若集合(0,1A,求a的取值范围. 理科数学理科数学评分评分标准参考标准参考 一、选择题 1. B2. C3.B4. B5.C6. A7. D8. B9. D10. A11. D12.A 二、填空题 13.214.915.416. 15 5 三、解答题 17【解析】 （）当1n 时， 1 2a 当2n时由 1 32 1 21 +23 222 n n n aaa a 312 1 22 +23 222 n n n aaa a 两式相减得 1 2 2 n n n a ，即 21 2 n n a 4 分 且上式对于1n 时也成立所以数列 n a的通项公式 21 2 n n a 6 分 （）因为 21 4 21 log 2 2 n n n b ，8 分 1 1411 2() (21)(21)2121 nn b bnnnn 10 分 所以 12231 111 n nn T b bb bb b 11111 2(1)()() 3352121nn 1 2(1) 21n 4 21 n n 12 分 18【解析】 （）因为物理原始成绩 2 (60,13 )N 则(4786)(4760)(6086)PPP 0.6820.954 0.818 22 3 分 所以物理原始成绩在（47，86）的人数为2000 0.8181636（人） 5 分 （）随机抽取 1 人，其成绩在区间61,80的概率为 2 5 所以随机抽取三人，则X可取 0,1,2,3，且 2 (3, ) 5 XB7 分 3 327 (0) 5125 P X 2 1 3 2354 (1) 55125 P XC 2 2 3 2336 (2) 55125 P XC 3 28 (3) 5125 P X 所以X的分布列为 10 分 数学期望 26 ()3 55 E X 12 分 19【解析】 （）在tRBCD中，F是斜边BD的中点，所以 1 1 2 FCBD. 因为EF，是ADBD，的中点，所以 1 1 2 EFAB，且2EC ， 所以 222 EFFCEC，EFFC.2 分 又因为,/ /ABBD EFAB，所以EFBD， 且BDFCF，故EF 平面BCD 因为EF 平面EFC，所以平面EFC 平面BCD5 分 （）方法一：取AC中点M，则/ /MECD 因为 1 2 2 CEAD，所以CDAC. 又因为CDBC，所以CD 平面ABC，故ME 平面ABC 因此ECM是直线EC与平面ABC所成的角 22cos306,ACMCEC 所以 2CDBC .8 分 过点B作BNAC于N，则BN 平面ACD， 2 3 3 AB BC BN AC X0123 P 27 125 54 125 36 125 8 125 过点B作BHEC于H，连接HN， 则BHN为二面角A CEB的平面角.10 分 因为 2BEBCEC ， 所以 22 366 , 226 BHBEHNBHBN 1 cos 3 HN BHN BH 因此二面角A CEB的余弦值为 1 3 12 分 方法二： 如图所示，在平面 BCD 中，作 x 轴BD，以 B 为坐标原 点，BD，BA 为 y，z 轴建立空间直角坐标系. 因为 2CDBC (同方法一,过程略) 则(1,1,0)C，(0,0,2)A,(0,1,1)E8 分 所以=( 1,0,1)CE ,(0,1,1)BE ,(0,1, 1)AE 设平面ACE的法向量 111 ( ,)mx y z 则 0 C0 AE m E m 即 11 11 0 0 yz xz 取 1 1x ,得 1,1,1m （）10 分 设平面BCE的法向量 222 (,)nx y z 则 0 0 BE n CE n 即 22 22 0 0 yz xz 取 2 1x ,得 1, 1,1n （） 所以 11 cos,= 3|33 m n m n m n 因此二面角A CEB的余弦值为 1 3 12 分 20【解析】 （）由已知椭圆过点 3 3 ,1 2 ，可得 22 222 271 1 4 5 3 ab abc c a ，.3 分 解得 22 9,4ab所以椭圆的E方程为 22 1 94 xy . 5 分 （）设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，AB的中点 00 (,)C xy 由 22 1 1 94 ykx xy 消去y得 22 (49)18270kxkx， 所以 12 000 22 94 , 1 24949 xxk xykx kk . 7 分 当0k 时， 设过点C且与l垂直的直线方程 22 194 () 4949 k yx kkk 将( ,0)M m代入得： 5 4 9 m k k 9 分 若0k ，则 44 929 =12kk kk ， 若0k ，则 444 9( 9 )2( 9 )=12kkk kkk 所以 5 0 12 m或 5 0 12 m11 分 当0k 时，0m 综上所述，存在点M满足条件,m 取值范围是 55 1212 m.12 分 21【解析】 （） 2 222 ( )2,(0,) xax fxxax xx 设 2 ( )22g xxax，定义域为(0,) 由二次函数图象性质可知，函数( )f x是单调函数等价于( )0g x 恒成立，2 分 所以0 4 a 或 2 0 4 160 a a 解得4a .5 分 （）由（I）函数( )f x的两个极值点 12 ,x x满足 2 220 xax， 所以 1212 1, 2 a xxxx 不妨设 12 01xx ，则( )f x在 12 ( ,)x x上是减函数， 22 1 121212 2 ()()()2ln x f xf xxxa xx x 22 1 121212 2 22 1 21 2 2()()2ln 2ln x xxxxxx x x xx x 22 22 2 2 1 2lnxx x 8 分 令 2 2 tx设函数 1 ( )2ln (1)h tttt t 因为 2 22