第二章z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)PPT课件

第二章z变换和DTFT,本章主要内容：,1、z变换的定义及收敛域2、z变换的反变换3、z变换的基本性质和定理4、离散信号的DTFT5、z变换与DTFT的关系6、离散系统的z变换法描述,2.1z变换的定义及收敛域,信号和系统的分析方法有两种：时域分析方法变换域分析方法连续时间信号与系统LTFT离散时间信号与系统ZTFT,一、ZT的定义,z是复变量，所在的复平面称为z平面,二、ZT的收敛域,对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。级数收敛的充要条件是满足绝对可和,1）有限长序列,除0和两点是否收敛与n1和n2取值情况有关外，整个z平面均收敛。,如果n20，则收敛域不包括点如果n10，则收敛域不包括0点如果n10n2，收敛域不包括0、点,2）右边序列,因果序列的z变换必在处收敛在处收敛的z变换，其序列必为因果序列,3）左边序列,4）双边序列,例1,收敛域应是整个z的闭平面,例2：求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域,例3：求x(n)=anu(n)的变换及其收敛域,例4：求x(n)=-anu(-n-1)的变换及其收敛域,例5：求x(n)=a|n|，a为实数，求ZT及其收敛域,给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列，只有同时给出收敛域才能唯一确定。X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内,2.2z反变换,实质：求X(z)幂级数展开式z反变换的求解方法：围线积分法（留数法）部分分式法长除法,z反变换:从X(z)中还原出原序列x(n),1、围数积分法求解（留数法）,若函数X(z)zn-1在围数C上连续，在C以内有K个极点zk，而在C以外有M个极点zm，则有：,1、围数积分法求解（留数法）,根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域内是解析的，则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即而其中围线c是在X(z)的环状收敛域内环绕原点的一条反时针方向的闭合单围线。,若F(z)在c外M个极点zm，且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，则：,利用留数定理求围线积分，令,若F(z)在围线c上连续，在c内有K个极点zk，则：,单阶极点的留数：,思考：n=0,1时，F(z)在围线c外也无极点，为何,2、部分分式展开法求解IZT：,常见序列的ZT参见书p.54页的表2-1,若函数X(z)是z的有理分式，可表示为：,利用部分分式的z反变换和可以得到函数X(z)的z反变换。,例2设利用部分分式法求z反变换。,解：,3、幂级数展开法求解（长除法）:,一般X(z)是有理分式，可利用分子多项式除分母多项式（长除法法）得到幂级数展开式，从而得到x(n)。,根据收敛域判断x(n)的性质，在展开成相应的z的幂级数将X(z)X(z)的x(n)展成z的分子分母按z的因果序列负幂级数降幂排列左边序列正幂级数升幂排列,例1,ROC1:,长除法示例,解：由Roc判定x(n)是因果序列，用长除法展成z的负幂级数,ROC2:,解：由Roc判定x(n)是左边序列，用长除法展成z的正幂级数,解：X(z)的Roc为环状，故x(n)是双边序列极点z=1/4对应右边序列，极点z=4对应左边序列先把X(z)展成部分分式,1、线性性,2.3Z变换的基本性质和定理,R1R2,R,|a|R,R,2、序列的移位,3、z域尺度变换（乘以指数序列）,4、z域求导（序列线性加权）,Z变换的基本性质（续）,5、翻褶序列,1/R,R,6、共轭序列,7、初值定理,8、终值定理,Z变换的基本性质（续）,9、有限项累加特性,ZT的主要性质参见书p.69页的表2-2,10、序列的卷积和,11、序列乘法,12、帕塞瓦定理,2.4序列ZT、连续信号LT和FT的关系,若：,连续信号采样后的拉氏变换LT,抽样序列：,当,两变换之间的关系，就是由复变量s平面到复变量z平面的映射，其映射关系为,对比：,进一步讨论这一映射关系：,1,s平面到z平面的映射是多值映射。,:,:,:,:,抽样序列在单位圆上的z变换，就等于其理想抽样信号的傅里叶变换,数字频率w表示z平面的辐角，它和模拟角频率W的关系为,在以后的讨论中，将用数字频率w来作为z平面上单位圆的参数，即,所以说，数字频率是模拟角频率的归一化值，或是模拟频率对抽样频率的相对比值乘以2p,2.5离散信号的付氏变换DTFT,一、DTFT的定义,变换对：,称为离散时间傅里叶变换（DTFT）。,FT存在的充分必要条件是：,如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来。,二、比较ZT和DTFT的定义：,利用ZT和DTFT的关系可以有ZT计算DTFT。,序列的傅里叶变换是序列的z变换在单位圆上的值,例1、计算门序列的DTFT,(类似Sa(.)函数),(线性相位),解：,DTFT,幅频特性：,相频特性：,图示说明：,例2、已知(),计算其DTFT。,由此可以得到FT的幅频特性和相频特性,物理说明:若(语音信号处理中常用该指数函数展宽单音信号的频谱),该信号3db带宽(或)。具体求解过程如下：令即可解出,三、FT与DTFT的关系,归一化,利用FT与DTFT关系计算下列序列的DTFT,例：,解：1）,2）,3）,2.6DTFT的一些性质,1、线性性：,2、实序列：,实偶性：,实奇性：,3、时移特性：,4、乘以指数序列（调制性）,5、序列线性加权,6、序列翻褶,7、序列共轭,8、卷积定理：(时域)(频域),DTFT的主要性质参见书p.78页的表2-3,9、帕色伐尔定理：(ParsevalTheory),频域卷积在一周期内积分,称周期卷积。,下面举例说明DTFT性质得使用。计算下列积分I的值。,解：根据,利用时域卷积定理有：,上式卷积n=0时就是积分I的值。,2.7周期性序列的DTFT,1、复指数序列的傅里叶变换,复指数序列ejw0n的傅里叶变换，是以w0为中心，以2p的整数倍为间距的一系列冲激函数，其积分面积为2p思考，DTFTcos(w0n+f)、DTFTsin(w0n+f),2、常数序列的傅里叶变换,常数序列的傅里叶变换，是以w=0为中心，以2p的整数倍为间距的一系列冲激函数，其积分面积为2p,3、周期为N的抽样序列串的傅里叶变换,周期为N的周期性抽样序列，其傅里叶变换是频率在w=2p/N的整数倍上的一系列冲激函数之和，这些冲激函数的积分面积为2p/N,4、一般性的周期为N的周期性序列的傅里叶变换,周期性序列（周期为N）的傅里叶变换是一系列冲激函数串，其冲激函数的积分面积等于乘以，而是x(n)的一个周期的傅里叶变换X(ejw)在频域中w=2p/N的整数倍的各抽样点上的抽样值。,即：,e满足0e2p/N,从w=0之前开始抽样；在w=2p之间结束抽样；此区间共有N个抽样值：0kN-1,周期序列的DFS正变换和反变换,周期序列的傅里叶级数（DFS）,其中：,2.8Fourier变换的对称性质,共轭对称序列：,共轭反对称序列：,任意序列可表示成xe(n)和xo(n)之和:,其中：,定义：,其中：,同样，x(n)的Fourier变换也可分解成：,对称性质,序列Fourier变换,实数序列的对称性质,序列Fourier变换,实数序列的Fourier变换满足共轭对称性,实部是的偶函数虚部是的奇函数,幅度是的偶函数幅角是的奇函数,2.9离散系统的系统函数、系统的频率响应,LSI系统的系统函数H(z)：单位抽样响应h(n)的z变换,其中：y(n)=x(n)*h(n)Y(z)=X(z)H(z),系统的频率响应：,单位圆上的系统函数,单位抽样响应h(n)的DTFT,1、若LSI系统为因果稳定系统,稳定系统的系统函数H(z)的Roc须包含单位圆，即频率响应存在且连续,H(z)须从单位圆到的整个z域内收敛即系统函数H(z)的全部极点必须在单位圆内,1）因果：,2）稳定：,序列h(n)绝对可和，即,而h(n)的z变换的Roc：,3）因果稳定：Roc：,2、系统函数与差分方程,常系数线性差分方程：,取z变换,则系统函数,3、系统的频率响应的意义,1）LSI系统对复指数序列的稳态响应：,2）LSI系统对正弦序列的稳态响应,输出同频正弦序列幅度受频率响应幅度加权相位为输入相位与系统相位响应之和,3）LSI系统对任意输入序列的稳态响应,其中：,微分增量（复指数）：,4、频率响应的几何确定法,利用H(z)在z平面上的零极点分布,频率响应：,则频率响应的,令,幅角：,幅度：,零点位置影响凹谷点的位置与深度零点在单位圆上，谷点为零零点趋向于单位圆，谷点趋向于零极点位置影响凸峰的位置和深度极点趋向于单位圆，峰值趋向于无穷极点在单位圆外，系统不稳定,5、IIR系统和FIR系统,无限长单位冲激响应（IIR）系统：单位冲激响应h(n)是无限长序列,有限长单位冲激响应（FIR）系统：单位冲激响应h(n)是有限长