高考数学 5.3柯西不等式配套课件 理 新人教A版选修4.ppt

第三节柯西不等式,三年1考高考指数:1.了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义并会证明.,(1)柯西不等式的向量形式：(2)(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2(3)(通常称为平面三角不等式),2.用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：3.会用柯西不等式证明一些简单问题，能够利用柯西不等式求一些特定函数的极值.,1.利用柯西不等式证明不等式、求特定代数式的最值，以及解决一些实际问题的优化设计等是本节考查的重点.2.常与函数、不等式、数列、向量等知识进行综合考查，是本节的难点、重点.3.通常以解答题形式出现，是高考的新热点之一.,柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式代数形式若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)_,当且仅当_时,等号成立.向量形式设是两个向量,则_,当且仅当_，或_时,等号成立.,(ac+bd)2,ad=bc,是零向量,存在实数k,使,三角形式设x1,y1,x2,y2r,那么_.(2)三维形式的柯西不等式设a1,a2,a3,b1,b2,b3r,则_.当且仅当_或_时,等号成立.,b1=b2=b3=0,存在一个数k,使得a1=kb1,a2=kb2,a3=kb3,（3）一般形式的柯西不等式设a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bn是实数,则_,当且仅当_或_时,等号成立.,bi=0(i=1,2,3,n),存在一个数k,使得ai=,kbi(i=1,2,3,n),【即时应用】(1)思考：在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成吗？提示：不可以.当b=d0时，柯西不等式成立，但不成立.,(2)思考：不等式（a2+b2)（d2+c2)（ac+bd)2是柯西不等式吗？提示：不是.因为二维形式的柯西不等式可以理解为四个数对应的一种不等关系，对谁与谁组合是有顺序的，不是任意的搭配，因此要仔细体会，加强记忆.,(3)若2x+3y=1,则4x2+9y2的最小值为_.【解析】（4x2+9y2）（12+12）（2x+3y）2=1答案：,利用柯西不等式证明不等式【方法点睛】利用柯西不等式的解题方法(1)柯西不等式的一般结构为在利用柯西不等式证明不等式（或比较大小）时关键是正确构造左边的两个数组，从而利用题目的条件正确解题.,（2）使用柯西不等式时，既要注意它的数学意义，又要注意它的外在形式，当一个式子与柯西不等式的左侧或右侧具有一致形式时，就可以考虑使用柯西不等式对这个式子进行放大或缩小.,【例1】(1)设a,b,c为正数，且不全相等，求证：(2)已知a,b,c,d均为正实数，且a+b+c+d=1，求证：【解题指南】(1)根据题目条件，可构造两组数据然后利用柯西不等式解决.(2)因为a+b+c+d1，所以(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)5，故可构造数组，利用柯西不等式证明.,【规范解答】构造两组数由柯西不等式得：即,由柯西不等式知，中等号成立而题设中a,b,c不全相等，故中等号不能成立,(2)(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)()=(a+b+c+d)2=1,又(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)4+(a+b+c+d)=5,【反思感悟】由a,b,c构造成的新数和不但需要较高的观察能力，而且应从所给的数学式中看出.,【变式训练】1.设a1,a2,a3均为正数，且a1+a2+a3=m,求证【证明】当且仅当时，等号成立.,2.已知正数a,b,c满足a+b+c=1,证明a3+b3+c3【证明】利用柯西不等式(a2+b2+c2)2=(a3+b3+c3)(a+b+c)又因为a2+b2+c2ab+bc+ca,在此不等式两边同乘以2，再加上a2+b2+c2,得：(a+b+c)23(a2+b2+c2),a+b+c=1，(a+b+c)3(a2+b2+c2),(a2+b2+c2)2(a3+b3+c3)3（a2+b2+c2）故a3+b3+c3,利用柯西不等式求最值【方法点睛】利用柯西不等式求最值的技巧（1）先变形凑成柯西不等式的结构特征，这是利用柯西不等式求解的先决条件；（2）有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是应用柯西不等式解题的技巧；,（3）有些最值问题需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次，前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误，多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.【提醒】在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件.,【例2】(1)设正数x、y、z满足x+y+z=1，求函数=2x2+3y2+z2的最小值.(2)求函数的最大值.【解题指南】(1)由x+y+z=1以及=2x2+3y2+z2的形式，可以构造柯西不等式解决问题.(2)关键是构造再利用柯西不等式求解.,【规范解答】(1)根据已知条件和柯西不等式，我们有故而等号成立的条件是：即z=，代入条件x+y+z=1得=此时，故当时，函数=2x2+3y2+z2取得最小值,(2)由柯西不等式，得故当且仅当即时，f(x)取得最大值为,【互动探究】若例题(1)条件不变，求的最大值.【解析】由柯西不等式，得当且仅当时，取等号.的最大值为,【反思感悟】1.利用柯西不等式求最值的一般结构为：2.在利用柯西不等式求最值时，不但要注意等号成立的条件，而且要善于构造，技巧如下：,(1)巧拆常数；(2)重新安排某些项的次序；(3)改变结构从而达到可以使用柯西不等式的目的；(4)添项.,【变式备选】1.设x+2y+3z=3，求4x2+5y2+6z2的最小值.【解析】由柯西不等式知=（x+2y+3z)2