高考数学 3.7正弦定理和余弦定理配套课件 文 北师大版.ppt

第七节正弦定理和余弦定理,三年18考高考指数:1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.会利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的几何计算问题.,1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点.2.常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.3.在平面解析几何、立体几何中常作为工具求角和两点间的距离问题.,1.正弦定理,已知两角和任一边，求其他两边和另一角.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.,【即时应用】(1)思考：在abc中，sinasinb是ab的什么条件？提示:充要条件.因为(2)在abc中，b30，c120，则abc_.【解析】a1803012030，由正弦定理得：abcsinasinbsinc答案：,2.余弦定理,已知三边,求各角.已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.,【即时应用】(1)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为_.(2)在abc中，已知a2b2bcc2，则角a为_.,【解析】(1)设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为2a，故顶角的余弦值为(2)由已知得b2c2a2bc，又答案：,3.三角形中常用的面积公式(1)s=ah(h表示边a上的高);(2)s=bcsina=_=_；(3)s=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).,【即时应用】(1)在abc中，a60，ab1，ac2，则sabc的值为_.(2)在abc中，则sabc_.,【解析】(2)在abc中，答案：,利用正、余弦定理解三角形解三角形中的常用公式和结论(1)a+b+c=；(2)0a，b，c，sin(a+b)=sinc,cos(a+b)=-cosc，tan(a+b)=-tanc.,(3)三角形中等边对等角,大边对大角,反之亦然;三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.,【例1】根据下列条件解三角形.(1)在锐角abc中，a、b、c分别为角a、b、c所对的边，又b4，且bc边上的高则角c=_.(2)在abc中，已知abc，且a=2c,b=4,a+c=8，则a=_,c=_.(3)已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x23x20的根，则第三边长是_.,【解题指南】(1)作出高利用直角三角形中的边角关系直接求得；(2)正弦定理和余弦定理结合应用求得；(3)利用方程求出余弦值，再利用余弦定理求得.,【规范解答】(1)由于abc为锐角三角形，过a作adbc于d点，则c60.(2)由正弦定理又a=2c,所以即,由已知a+c=8=2b及余弦定理，得整理得(2a-3c)(a-c)=0,ac,2a=3c,a+c=8,(3)解方程可得该夹角的余弦值为由余弦定理得：第三边长是答案：,【互动探究】本例中的(1)条件不变，若求a,则a=_.【解析】由余弦定理可知c2a2b22abcosc，则即a24a50,所以a5或a1(舍去)因此a边的长为5.答案：5,【反思感悟】1.应熟练掌握正、余弦定理及其变形.解三角形时,有时可用正弦定理,也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理.2.已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已知a,b,a,则有两解、一解、无解三种情况.,absina,a=bsina,bsinacb，所以内角a最大，由余弦定理得，而所以,利用正、余弦定理判断三角形形状【方法点睛】1.三角形形状的判断思路判断三角形的形状，就是利用正、余弦定理等进行代换、转化，寻求边与边或角与角之间的数量关系，从而作出正确判断(1)边与边的关系主要看是否有等边，是否符合勾股定理等；(2)角与角的关系主要是看是否有等角，有无直角或钝角等.,2.判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边,通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.【提醒】在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意角a、b、c的范围对三角函数值的影响.,【例2】在abc中，判断abc的形状.【解题指南】此题关键是利用正弦定理转化成边或角，做出判断即可.,【规范解答】方法一：asinabsinb.由正弦定理可得：a2=b2，ab，abc为等腰三角形.,方法二：asinabsinb.由正弦定理可得：2rsin2a2rsin2b，即sinasinb，ab.(ab不合题意舍去)故abc为等腰三角形.,【反思感悟】三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数有界性的讨论.,【变式训练】在abc中：(1)已知a-b=ccosbccosa，判断abc的形状.(2)若b=asinc,c=acosb,判断abc的形状.【解析】(1)由已知结合余弦定理可得整理得(a-b)(a2+b2-c2)=0,a=b或a2+b2=c2,abc为等腰三角形或直角三角形.,(2)由b=asinc可知由c=acosb可知整理得b2+c2=a2，即三角形一定是直角三角形，a=90,sinc=sinb，b=c，abc为等腰直角三角形.,与三角形面积有关的问题【方法点睛】三角形的面积公式(1)已知一边和这边上的高:(2)已知两边及其夹角：(3)已知三边：其中,(4)已知两角及两角的共同边：(5)已知三边和外接圆半径r，则,【例3】(1)(2012铜陵模拟)在abc中,已知则abc的面积为_.(2)(2011山东高考)在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c.已知求的值；若求abc的面积s.,【解题指南】(1)可利用正弦定理求出角c，再求出角a，由求面积.(2)可由正弦定理直接转化已知式子，然后再由和角公式及诱导公式求解;也可先转化式子,然后利用余弦定理推出边的关系,再利用正弦定理求解.应用余弦定理及(2)的结论求得a和c的值，然后利用面积公式求解.,【规范解答】(1)由得所以c=60,a=90或c=120,a=30；或答案：或,(2)方法一:在abc中，由及正弦定理可得即cosasinb-2coscsinb=2sinccosb-sinacosb，则cosasinb+sinacosb=2sinccosb+2coscsinb，sin(a+b)=2sin(c+b)，而a+b+c=，则sinc=2sina，即,方法二：在abc中，由可得bcosa-2bcosc=2ccosb-acosb由余弦定理可得整理可得c=2a，由正弦定理可得,由c=2a及可得4=c2+a2-2accosb=4a2+a2-a2=4a2,则a=1，c=2，即,【反思感悟】1.运用正、余弦定理解决几何计算问题，要抓住条件、待求式子的特点，恰当地选择定理、面积公式.2.明确所需要求的边、角，(1)若已知量与未知量全部集中在一个三角形中时，可选择正、余弦定理求解；(2)若涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步求出其他三角形的解，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程求解.,【变式训练】在abc中，bc=a,ac=b,a,b是方程的两个根，且2cos(a+b)=1,求:(1)角c的度数;(2)ab的长度;(3)abc的面积.【解析】(1)cosc=cos-(a+b)=-cos(a+b)c=120.,(2)由题设：c2=a2+b2-2abcos120=a2+b2+ab=(a+b)2-ab=即,【变式备选】在abc中，角a，b，c的对边分别为a,b,c，(1)求sinc的值;(2)求abc的面积.【解析】(1)因为角a，b，c为abc的内角，且所以于是,(2)由(1)知又因为所以在abc中，由正弦定理得于是abc的面积,【满分指导】解三角形问题的规范解答【典例】(12分)(2011辽宁高考)abc的三个内角a，b，c所对的边分别为a、b、c，(1)求;(2)若求b.【解题指南】(1)根据正弦定理，先边化角，然后再角化边，即得；(2)先结合余弦定理和已知条件求出cosb的表达式，再利用第(1)题的结论进行化简即得.,【规范解答】(1)由正弦定理得，sin2asinb+sinbcos2a=即sinb(sin2a+cos2a)=3分故sinb=所以6分(2)由余弦定理及得由(1)知b2=2a2，故10分可得又cosb0，故所以b=45.12分,【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示与备考建议：,1.(2011浙江高考)在abc中，角a，b，c所对的边分别为a,b,c.若acosa=bsinb，则sinacosa+cos2b=()【解析】选d.由acosa=bsinb可得sinacosa=sin2b,所以sinacosa+cos2b=sin2b+cos2b=1.,2.(2011安徽高考)已知abc的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则abc的面积为_.【解析】设三角形中间边长为x，则另两边的长为x-4，x+4，那么(x+4)2=x2+(x-4)2-2x(x-4)cos120，解得x=10，所以sabc=106sin120=答案：,3.(2011福建高考)如图，abc中，ab=ac=2，点d在bc边上，adc=45，