高中数学 2.12导数的应用配套课件 北师大版.ppt

第十二节导数的应用,三年31考高考指数:1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数不超过三次）.2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数不超过三次）.3.会用导数解决某些实际问题.,1.利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间、求函数的极值（最值）是高考的重点；2.含参数的函数单调区间与极值情况的讨论是高考的重点和难点；3.题型有选择题和填空题，难度较小；与方程、不等式等知识点交汇则以解答题为主，难度较大.,1.导数与函数单调性的关系(1)函数y=f(x)在某个区间内可导若f(x)0，则f(x)在这个区间内_；若f(x)0，则f(x)在这个区间内_.(逆命题不成立)如果在某个区间内恒有f(x)=0，则f(x)为_.,单调递增,单调递减,常数函数,(2)单调性的应用若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调，则y=f(x)在该区间上不变号.,【即时应用】(1)函数f(x)=1+x-sinx在(0,2)上的单调情况是_.(2)若函数y=x3+x2+mx+1是r上的单调函数，则实数m的取值范围是_.,【解析】(1)在(0，2)上有f(x)=1-cosx0，所以f(x)在(0,2)上单调递增.(2)函数y=x3+x2+mx+1是r上的单调函数，只需y=3x2+2x+m0恒成立，即=4-12m0，m答案：(1)单调递增(2)m,2.函数的极值(1)极大值在包含x0的一个区间(a,b)内，函数y=f(x)在任何一点的函数值都_x0点的函数值，称_为函数y=f(x)的极大值点，其函数值_为函数的极大值.,小于,点x0,f(x0),(2)极小值在包含x0的一个区间(a,b)内，函数y=f(x)在任何一点的函数值都_x0点的函数值，称_为函数y=f(x)的极小值点，其函数值_为函数的极小值._与_统称为极值，_与_统称为极值点.,大于,点x0,f(x0),极大值,极小值,极大值点,极小值点,(3)导数与极值,+,0,-,增加,极大值,减少,-,0,+,减少,极小值,增加,【即时应用】(1)判断下列结论的正误.(请在括号中填“”或“”)导数为零的点一定是极值点()如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值()如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值(),(2)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的个数为_.(3)函数f(x)=x3+3x2-9x的极值点为_.,a,b,y=f(x),【解析】(1)导数为零只是函数在该点取极值的必要条件，正确，f(x0)为极小值，故错误.(2)从f(x)的图像可知f(x)在(a，b)内从左到右的单调性依次为增减增减，所以f(x)在(a，b)内只有一个极小值点；(3)由f(x)=3x2+6x-9=0得x=1或x=-3,当x-3时，f(x)0,当-3x1时，f(x)0,当x1时，f(x)0,1和-3都是f(x)的极值点.,答案：(1)(2)1(3)1和-3,3.函数极值与最值的求法(1)求可导函数y=f(x)极值的步骤：求出导数f(x)；解方程f(x)=0；列表，检验f(x)在方程f(x)=0的解x0左右两侧的符号，确定x0是否为极值点，若是，是极大值点还是极小值点.,(2)求函数在闭区间a,b上的最值可分两步进行：求y=f(x)在(a,b)内的_；将函数y=f(x)的各极值与区间a,b端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中_为最大值，_为最小值.,极值,最大的一个,最小的一个,【即时应用】(1)思考：最值是否一定是极值？提示：不一定.如果最值在端点处取得就不是极值.,(2)函数f(x)=3x-4x3，x0,1的最大值是_.【解析】由f(x)=3-12x2=0得x=f(0)=0，f()=1，f(1)=-1，f(x)max=1.答案：1,(3)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取极值10，则f(2)=_.【解析】f(x)=3x2+2ax+b，由题意但当a=-3时，b=3,f(x)=3x2-6x+30，故不存在极值，a=4，b=-11，f(2)=18.答案：18,4.导数的实际应用导数在实际生活中的应用主要体现在求利润最大、用料最省、效率最高等问题中，解决这类问题的关键是建立恰当的数学模型(函数关系)，再利用导数研究其单调性和最值.解题过程中要注意实际问题的意义.,【即时应用】(1)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为_.(2)将边长为1m的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记则s的最小值是_.,【解析】(1)y=-x2+81,令y=0得x=9或x=-9(舍去)，当x9时y0；当x9时y0，故当x=9时函数有极大值，也是最大值；即该生产厂家获得最大年利润的年产量为9万件.,(2)设剪成的小正三角形的边长为x，则：,令s(x)=0(0x1),得当x(0,)时，s(x)0,s(x)递减；当x(1)时，s(x)0,s(x)递增；故当x=时，s取得最小值答案：(1)9万件(2),利用导数研究函数的单调性【方法点睛】1.导数在函数单调性方面的应用(1)利用导数判断函数的单调性；(2)利用导数求函数的单调区间；(3)已知函数单调性，求参数的范围.,2.导数法求函数单调区间的一般步骤(1)求定义域：求函数y=f(x)的定义域(2)求根：求方程f(x)=0在定义域内的根(3)划分区间：用求得的方程的根把定义域划分为若干个区间(4)定号：确定f(x)在各个区间内的符号(5)结果：求得函数在相应区间上的单调性，即得函数y=f(x)的单调区间.,【提醒】当f(x)不含参数时，也可通过解不等式f(x)0(或f(x)2时，y=-2sinx0，排除d.由y=-2cosx0,得cosx,在满足上式的x的区间内，y是减函数,由余弦函数的周期性知，函数的增减区间有无数多个,b不正确，c正确.,(2)f(x)=ln(x+2)-定义域为：(-2,-1)(-1,+).f(x)=令f(x)0，得单调增区间为(-2,-)和(,+)令f(x)0，得单调减区间为(-,-1)和(-1,),不等式f(x+1)f(2x+1)-m2+3am+4化为：ln(x+1)ln(2x+1)-m2+3am+4即3ma+4-m2.现在只需求y=(x0,1)的最大值和y=3ma+4-m2(a-1,1)的最小值.因为在0，1上单调递减,所以y=(x0,1)的最大值为0,而y=3ma+4-m2(a-1,1)是关于a的线性函数，故其最小值只能在a=-1或a=1处取得,于是得到：解得0m1或-1m0，所以m的取值范围是-1，1.,【互动探究】若本例(2)第问中条件改为“f(x)=f(x+2)-kx在定义域内是单调递增函数”，则k的取值范围是_.【解析】由题意f(x)=-k0在(-2,+)上恒成立，k恒成立，k0.答案：k0,【反思感悟】1.求函数的单调区间时，切记定义域优先的原则，一定要注意先求定义域.2.恒成立问题的处理，一般是采用“分离参数，最值转化”的方法.,【变式备选】已知f(x)=ex-ax-1.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)是否存在a,使f(x)在(-，0上单调递减，在0，+)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.,【解析】f(x)=ex-a.(1)若a0，f(x)=ex-a0恒成立，即f(x)在r上递增.若a0,令ex-a0,得exa,xlna.f(x)的单调递增区间为(lna,+).,(2)方法一：由题意知ex-a0在(-，0上恒成立.aex在(-，0上恒成立.ex在(-，0上为增函数.当x=0时，ex最大为1.a1.同理可知ex-a0在0，+)上恒成立.aex在0，+)上恒成立.a1，a=1.方法二：由题意知，x=0为f(x)的极小值点.f(0)=0,即e0-a=0,a=1.验证a=1符合题意.,利用导数研究函数的极值【方法点睛】1.应用函数极值应注意的问题(1)注意极大值与极小值的判断.(2)已知极值求参数的值:注意f(x0)=0是可导函数y=f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件.2.数形结合求参数的范围利用导数研究了函数的单调性和极值后，可以画出草图，进行观察分析，确定满足条件的参数范围.,【例2】(2012西安模拟)已知函数f(x)=xe-x(xr).(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)已知函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称.证明当x1时，f(x)g(x).(3)如果x1x2，且f(x1)=f(x2)，证明x1+x22.,【解题指南】由f(x)=0得出可能的极值点，再列表判断；利用已知条件求出y=g(x)的解析式，构造新函数进行证明.讨论x1,x2的可能取值，判断其范围，再利用f(x)的单调性证明.,【规范解答】(1)f(x)=(1-x)e-x.令f(x)=(1-x)e-x=0，得x=1.根据x值列表，分析f(x)的符号,f(x)的单调性和极值点所以f(x)在区间(-,1)内是增函数，在区间(1,+)内是减函数.函数f(x)在x=1处取得极大值f(1),且f(1)=.,(2)因为函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称，所以g(x)=f(2-x)，于是g(x)=(2-x)ex-2.记f(x)=f(x)-g(x)，则f(x)=xe-x+(x-2)ex-2，f(x)=(x-1)(e2x-2-1)e-x,当x1时，2x-20，从而e2x-2-10，又e-x0，所以f(x)0，于是函数f(x)在区间1,+)上是增函数.因为f(1)=e-1-e-1=0，所以，当x1时，f(x)f(1)=0.因此f(x)g(x).,(3)若(x1-1)(x2-1)=0，由(1)及f(x1)=f(x2),得x1=x2,与x1x2矛盾；若(x1-1)(x2-1)0，由(1)及f(x1)=f(x2),得x1=x2,与x1x2矛盾；根据，可得(x1-1)(x2-1)0.不妨设x11,x21.由(2)可知f(x2)g(x2)=f(2-x2)，所以f(x1)=f(x2)g(x2)=f(2-x2).,因为x21，所以2-x21，又x11，由(1)知f(x)在区间(-,1)内是增函数，所以x12-x2，即x1+x22.,【反思感悟】1.求函数的极值时，极易弄混极大值、极小值.2.利用导数研究了单调性和极值，就可以大体知道函数的图像，为数形结合解题提供了方便.,【变式训练】(2011北京高考)已知函数f(x)=(x-k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值.,【解析】(1)f(x)=(x-k+1)ex.令f(x)=0,得x=k-1,根据x的值列表，分析f(x)的符号和f(x)的单调性.所以f(x)的单调递减区间是(-,k-1)；单调递增区间是(k-1,+).,(2)当k-10，即k1时，函数f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)=-k；当0k-11，即1k2时，由(1)知f(x)在0,k-1)上单调递减，在(k-1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k-1)=-ek-1.当k-11,即k2时，函数f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)=(1-k)e.综上，当k1时，f(x)在区间0,1上的最小值为-k；当10,当时，函数y在(0，2上是单调递减的，故建造费用最小时r=2.当时，函数y在(0，2上是先减后增的，故建造费用最小时,【反思感悟】1.解决实际问题，数学建模是关键，恰当变量的选择，决定了解答过程的繁简；函数模型的确定，决定了能否解决这个问题.2.解决实际问题必须考虑实际意义，忽视定义域是这类题目失分的主要原因.,【变式训练】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米.(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？,【解析】(1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了=2.5小时，要耗油答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升.,(2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得令h(x)=0,得x=80.当x(0,80)时，h(x)0,h(x)是减函数；当x(80,120时，h(x)0,h(x)是增函数.,当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25.因为h(x)在(0,120上只有一个极值，所以它是最小值.答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.,【变式备选】（2012济南模拟）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3a5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9x11)时，一年的销售量为(12-x)2万件.(1)求分公司一年的利润l(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润l最大，并求出l的最大值q(a).,【解析】(1)分公司一年的利润l(万元)与售价x的函数关系式为：l=(x-3-a)(12-x)2,x9,11.(2)l=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).令l=0得x=6+或x=12(不合题意，舍去).3a5,86+在x=6+两侧，由左向右l的值由正变负.所以当86+9即3a时，lmax=l(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).,当时,即：若3a则当每件售价为9元时，分公司一年的利润l最大，最大值q(a)=9(6-a)(万元)；若a5，则当每件售价为(6+)元时，分公司一年的利润l最大，最大值q(a)=4(3-)3(万元).,【满分指导】函数综合题的规范解答【典例】(12分)(2011湖南高考)设函数f(x)=x-alnx(ar).(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点a(x1,f(x1),b(x2,f(x2)的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由.,【解题指南】(1)对f(x)求导，就a的取值分类讨论；(2)假设存在a满足条件，判断条件是否满足.,【规范解答】(1)f(x)的定义域为(0,+).2分令g(x)=x2-ax+1,其判别式=a2-4.当|a|2时，0，f(x)0,故f(x)在(0,+)上单调递增.3分当a-2时，0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,+)上，f(x)0，故f(x)在(0,+)上单调递增.4分,当a2时，0,g(x)=0的两根为当0xx1时，f(x)0；当x1xx2时，f(x)0；当xx2时，f(x)0，故f(x)分别在(0,x1),(x2,+)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减.6分,(2)由(1)知，a2.因为f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+-a(lnx1-lnx2)，所以8分又由(1)知，x1x2=1.于是k=2-a若存在a，使得k=2-a,则=1,即lnx1-lnx2=x1-x2，亦即x2-2lnx2=0(x21)(*)10分再由(1)知，函数h(t)=t-2