湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东七校2020届高三12月联考 数学（文）（PDF版）

- 1 - 湖南省湘东七校 2019 年下期高三联考 文科数学试题 总分：150 分 时量：120 分钟 考试时间：2019 年 12 月 8 日 由株洲二中浏阳一中攸县一中株洲八中株洲四中九方中学醴陵一中联合命题 姓名 考号 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1、集合,，则（ ） A. B. C. D. 2、复数满足，则( ) A. 2 B. C.1 D. 3、已知条件，条件，则是成立的( ) A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 4、莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把 120 个面包分给 5 个人，使每个人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的七分之一是较小的两份之和，则最大一份的个 数为（ ） A.2 B.15 C.32 D.46 5、函数（）在处取得最大值，则( ) A.是偶函数 B.是奇函数 C.是偶函数 D.是奇函数 6、已知曲线在处的切线 与直线垂直，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 7、在中，点满足，则( ) A. B. C. 4 D.8 8、已知在处取得极值，则的最小值为( ) A. B. C. D. - 2 - 9、,则（ ） A. B. C. D. 10、函数的图象大致为( ) 11、过双曲线的右焦点作一条渐近线的垂线，与左支交于点，若 ，则的离心率为( ) A. B.2 C. D.5 12、已知函数，若关于的方程无实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分第（13）题第（21）题为必考题，每道试题考生都必须做答第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求做答 二、填空题：本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡相应位置 13、已知与之间的一组数据如下表所示： 当变化时，回归直线必经过定点 - 3 - 14、若满足约束条件，则的最大值等于 15、已知两个同底的正四棱锥的所有顶点都在同一球面上，它们的底面边长为 2，体积的比值为，则 该球的表面积为 16、如图在中，为边上一点若 ，则的取值范围为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分 12 分）某媒体为调查喜欢娱乐节目A是否与观众性别有关，随机抽取了 30 名男性和 30 名女性观众，抽查结果用等高条形图表示如下： 男性观众男性观众 女性观众女性观众 （）根据该等高条形图，完成下列 22 列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超 过 0.05 的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关？ 喜欢节目A 不喜欢节目A 总计 男性观众 女性观众 总计 60 （）从男性观众中按喜欢节目A与否，用分层抽样的方法抽取 5 名做进一步调查从这 5 名中任选 2 名， 求恰有 1 名喜欢节目A和 1 名不喜欢节目A的概率 - 4 - 18、 （本小题满分 12 分）如图所示，四棱锥的底面是梯形，且平面， 是中点， （）求证：； （）若，求三棱锥的高 19、（本小题满分 12 分）已知数列的前项和为， （）求证：数列是等差数列； （）若，设数列的前n项和为Tn，求T2n. - 5 - 20、 （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系中， 已知椭圆的左顶点为， 右焦点为， 为椭圆上两点，圆. （）若轴，且满足直线与圆相切，求圆的方程； （）若圆的半径为 2，点满足，求直线被圆截得弦长的最大值. 21、（本小题满分 12 分）已知函数， ()讨论函数的单调性； ()当时，恒成立，求的取值范围 - 6 - 请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号 22、（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）以为极点，轴的正半 轴为极轴建立极坐标系 （）写出的极坐标方程； （）设曲线经伸缩变换后得到曲线，曲线（）分别与和交于 ,两点，求 23、（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知不等式的解集为 （）求的值； （）设关于的方程（）有实数根，求实数 的值 - 7 - 湖南省湘东七校 2019 年下期高三联考 文科数学试题答案及评分参考 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 5 分，满分分，满分 6060 分分 1、C 2、B 3、C 4、D 5、A 6、B 7、D 8、C 9、B 10、C 11、C 12、D 12.解析:因为函数，所以方程无实根等价于函数的图像与直线 无交点.由图像知，若，则直线与曲线必有交点，则. 设直线与曲线相切时，切点为，由，得 解得，则，所以切线方程为得.由图像知实数的取值范围为 ，选D 二、填空题：本大题考查基础知二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题识和基本运算每小题 5 5 分，满分分，满分 2020 分分 13、 14、2 15、 16、 15.解析：易知球心在两四棱锥顶点连线的中点，设体积较小的锥体的高为，则 解得，半径为，所以表面积为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、本小题主要考查等高条形图、独立性检验、古典概型等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力 以及应用意识，考查必然与或然思想等满分 12 分 - 8 - 解：（）由题意得列联表如下： 喜欢节目A 不喜欢节目A 总计 男性观众 24 6 30 女性观众 15 15 30 总计 39 21 60 3 分 假设喜欢娱乐节目A与观众性别无关， 则的观测值， 5 分 所以能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关 6 分 （）利用分层抽样在男性观众 30 名中抽取 5 名，其中喜欢娱乐节目A的人数为， 不喜欢节目A的人数为 7 分 被抽取的喜欢娱乐节目A的 4 名分别记为；不喜欢节目A的 1 名记为 则从5名中任选2人的所有可能的结果为：， 共有 10 种 9 分 其中恰有 1 名喜欢节目A和 1 名不喜欢节目A的有，共 4 种 10 分 所以所抽取的观众中恰有 1 名喜欢节目A和 1 名不喜欢节目A的观众的概率是： 12 分 18、本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及三棱锥的高等基础知识，考查空间想象能 力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等满分 12 分 （）证明：取的中点，连结，如图所示 因为点是中点， 所以且 1 分 又因为且， 所以且， 2 分 所以四边形为平行四边形， 所以， 3 分 因为平面，平面， - 9 - 所以 4 分 所以 5 分 （）解：设点为的中点，连结，如图所示， 因为， 由（）知， 6 分 又因为，所以， 所以 7 分 所以为正三角形， 8 分 所以，且 9 分 因为平面， 所以平面 10 分 因为平面， 所以， 11 分 又因为，所以平面 所以三棱锥的高为 12 分 19、本小题主要考查与的关系、等差数列的定义与通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能 力，考查化归与转化思想等满分 12 分 解：（）证明：因为当时， 所以 1 分 所以, 2 分 因为所以，所以， 3 分 所以 4 分 所以是以为首项，以 1 为公差的等差数列 6 分 （）由（）可得，所以. 8 分 9 分 - 10 - 12 分 20、解：（）因为椭圆的方程为，所以，. .1 分 因为轴，所以，而直线与圆相切， 根据对称性，可取， .2 分 则直线的方程为，即. .3 分 由圆与直线相切，得，所以圆的方程为. .5 分 （）易知，圆的方程为. 当轴时，所以， 此时得直线被圆截得的弦长为. .7 分 当与轴不垂直时，设直线的方程为， ， 首先由，得， 即，所以 （*）. .9 分 联立，消去，得 - 11 - ，在时 代入（*）式，得. 10 分 由于圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为，故当时， 有最大值为. 综上，因为，所以直线被圆截得的弦长的最大值为. 12 分 21、解：()的定义域为， .1 分 若则在上单调递增， .2 分 若则由得，当时，当时， 在上单调递增，在单调递减. 综上：当时，在上单调递增， 当时， 在上单调递增，在单调递减. .5 分 (), 令, ,令,.7 分 . .8 分 (2), 以下论证同（1）一样，所以不符合题意 .10 分 , , - 12 - , 综上所述，的取值范围是 .12 分 请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号 22、选修；坐标系与参数方程 本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、 化归与转化思想等满分 10 分 解：（）将消去参数，化为普通方程为， 即， 2 分 将代入，得， 4 分 所以的极坐标方程为 5 分 （）将代入得， 所以的方程为 7