全国大联考 2020 届 12 月联考理数A答案

理科数学试卷 第 1 页（共 10 页） 20LKYG12 全国大联考 2020 届 12 月联考 理科数学（A） 参考答案 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C A B D C 题号 7 8 9 10 11 12 答案 D D C B D B 1B 【解析】由 1 24 4 x ，得22x ，即 2,2A= ， 由22yxx=+，得2x =，所以0y =，所以0B =，所以0AB =I故选 B 2C 【解析】由(1)42zii=+，得 42 124 i zi i + =，所以34zi=，所以5z = 3A 【解析】所给圆的圆心为坐标原点，半径为 2，当弦长大于2时，圆心到直线l的距离小于1， 即 | 1 5 m ，所以55m ，故所求概率 5 ( 5)2 9( 6)3 P = 4B 【解析】本题可以转为等差数列问题：已知首项 1 5a =，前30项的和 30 390S=，求公差d 由等差数列的前n项公式可得， 30 29 30 5 2 390d +=，解得 16 29 d = 5D 【解析】由三视图可知，该手工制品是由两部分构成，每一部分都是相同圆锥的四分之一， 且圆锥的底面半径为 3，高为 4，故母线长为 5，故每部分的表面积为 1111 24 3659126 2424 + +=+，故两部分表面积为24 12+ 6C 【解析】由(0.00240.00360.00600.00240.0012) 501a+=，解得0.0044a =，故 A 错；由 A 可知，0.0044a =，所以平均数为 0.0024 50 750.0036 50 1250.0060 50 1750.0044 50+ 理科数学试卷 第 2 页（共 10 页） 20LKYG12 2250.0024 50 2750.0012 50 325186+=，故 B 错误； 居民月用电量在50,150)的频率为：(0.00240.0036) 500.3+=， 居民月用电量在150,200)的频率为：0.0060 500.3=， 这100户居民月用电量的中位数大约为 0.50.3 15050183.3 0.3 +，故 C 正确； 由频率分布直方图可知，众数大约为 175，故 D 错误 7D 【解析】令1x =，则有 5 6(1)0a=，所以1a =， 又 5 2 ( 1 ) 1 x 展开式的通项为 210 15 ( 1) kk k k TC x + =，令4k =，则常数项为 4 5 210C =， 令5k =，则常数项为 5 5 11C= ，故展开式的常数项为1019 = 8D 【解析】当双曲线的焦点在x轴上时，设C的方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab = ， 则其渐近方程为 b yx a = ，所以3 b a =，所以 222 2 22 13 bca e aa = = ，所以2e =； 当双曲线的焦点在y轴上时，设C的方程为) 0, 0( 1 2 2 2 2 =ba a y b x ，则其渐近方程为 x b a y=，所以3= b a ，所以 3 1 = a b ，所以 2 2 a b = 2 22 a ac = 3 1 1 2 =e，所以 2 3 3 e = 9C 【解析】由 22 3526 324002aaa a+=，得 22 3355 232400aa aa+=，即( ) 2 35 32400aa+=， 又0 n a ，所以 53 aa +=180，从而180) 42 1 =+qqa （， 由 24 10SS =，得)(10 214321 aaaaaa+=+，即)(9 2143 aaaa+=+， 所以()(9 21 2 21 aaqaa+=+，所以9 2 =q， 又0q ，所以3q =，代入180) 42 1 =+qqa （，得2 1 =a， 所以 ( )() 504 504 201842 2019 2 32331881a=，故其个位数为 8 10B 理科数学试卷 第 3 页（共 10 页） 20LKYG12 【解析】( )2fxxa =+ ，则( )yf x=的图象在 1 2 x =处的切线斜率 1 1 2 ( )kfa= +， 由于切线与直线20 xy+=垂直，则有 1 ()(1)1 2 a+= ，则1a =， 所 以 2 ( )(1)f xxxx x=+=+， 所 以 111 ( )1f kkk = + ， 所 以 111 (1)() 223 S =+L 11 ) 1 ( kk + ，由于输出的k的值为 15，故总共循环了 15 次， 此时 1111115 (1)()() 223151616 S =+=L，故t的值可以为14 15 11D 【解析】由于函数 ( )f x在 , 3 12 上具有单调性，所以 5 123122 T +=，即 5 12 ， 所以 5 12 ， 又由于函数)(xf在 3 2 , 2 上至少存在两个不同的 21,x x满足4)()( 21 =xfxf， 所以 27 326 T +=，即 72 6 ，所以 12 7 ，故有 1212 75 ， 又(,0) 6 和 7 12 x=分别为函数 ( )f x图象的一个对称中心和一条对称轴， 所以 217 4126 k T + =+，kZ，所以 2(21) 3 k + =，kZ，所以2=， 故( )2sin(2)f xx=+， 又(,0) 6 为函数 ( )f x图象的一个对称中心，所以2 ( ) 6 k +=，kZ， 所以 3 += k，Zk ， 又 2 ，所以 3 =，所以) 3 2sin(2)( +=xxf 由于函数)(xf的周期为，所以相邻两条对称轴之间的距离为 2 ，故 A 错误； ()2 3 f ，且()0 12 f ，故 B，C 错误； 由于函数)(xf的单调递减区间为 + 12 7 , 12 kk，Zk ，当0=k时，得其中的一个单 调递减区间为 12 7 , 12 ，而) 2 , 6 ( 12 7 , 12 ，故 D 正确 12B 理科数学试卷 第 4 页（共 10 页） 20LKYG12 【解析】令 2 ( ) ( ) f x g x x =，则 2 43 ( )2( )( )2 ( ) ( ) x f xxf xxf xf x g x xx = ， 由于(0,1)x，且 ( )2 ( )xfxf x ，所以 ( )0g x ，故函数 ( )g x在(0,1)单调递增 又,为锐角三角形的两个内角，则0 22 ，所以1sinsin()0 2 ， 即0cossin1，所以)(cos)(singg，即 22 cos )(cos sin )(sinff ， 所以)(cossin)(sincos 22 ff 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 题号 13 14 15 16 答案 1 120 25 (0,)b 131 【解析】, x y满足约束条件 0 2360 3260 xyk xy xy + + + 的可行域如下图： 由 2360 3260 xy xy += += ，得 6 30 (,) 13 13 A ， 由 0 3260 xyk xy += += ，得 (26,36)Bkk， 将目标函数化为 1 22 z yx=，由图可知，当直线 1 22 z yx=经过点A时目标函数取得最小值， 所以 min 66 13 z= ； 当直线 1 22 z yx=经过点 B 时目标函数取得最大值，所以 max 46zk= +， 所以有 6640 46 1313 k+= ，解得 1k = 理科数学试卷 第 5 页（共 10 页） 20LKYG12 14120 【解析】 222 |44|42abaa bb= += rr rrrr ，所以|2 | 2ab = rr ，设b r 与2ab rr 的夹角为， 则 (2 )1 cos 2|2 | bab b ab = rrr rrr，又因为0 ,180 ，所以120= 1525 【解析】取AB的中点 O ，AC的中点O，连接O O， 因为 222 PAPBAB+=，所以PAB是以AB为斜边的直角三角形，从而点 O 为PAB外接圆的圆 心， 又 222 ABBCAC+=， 所以ABC是以AC为斜边的直角三角形， 从而点O为ABC外接圆的圆心， 又因为OOBC ，所以OOAB， 又平面PAB 平面ABC，且平面PAB平面ABCAB=，所以OO平面PAB， 所以点O为三棱锥PABC外接球的球心，所以外接球的半径 2 5 2 1 =ACOAR， 故外接球的表面积 2 425SR= 16(0,)b 【解析】设),( 11 yxM，),( 22 yxN，), 0(tP， 把ykxb=+代入抛物线方程得 2 440 xkxb=， 所以kxx4 21 =+，bxx4 21 =， 因为OPMOPN= ，所以0=+ PNPM kk，即 12 12 0 ytyt xx += ， 即()() 1221 0kxbt xkxbt x+= ， 所以0)(2 2121 =+xxtbxkx，即0)(=+tbk， 由于Rk ，所以bt=，故), 0 (bP 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 17 （12 分） 【解析】 （1） CaAcacoscos2= ， CAACAcossincossinsin2= ，即 CAACAcossincossinsin2+= ， 理科数学试卷 第 6 页（共 10 页） 20LKYG12 BCAAsin)sin(sin2=+=， 2 2 sin sin = B A b a 如图，过点C作CDAB，D为垂足 在Rt ACD中，sinCDbA=，由题意可知，aAbsin， 所以有 b a A sin，从而 2 sin 2 A ， 又因为 A0，所以 4 0 A或 A 4 3 ， 又BA，所以 4 0 A，即角A的取值范围为(0, 4 18 （12 分） 【解析】 （1）在ABC中，设 22BCABa= ，由余弦定理得， 2222 2cos3ACBCABBCABABCa=+ = ， 222 ABACBC+= ，90BAC=，即ACAB， 又,PAAB PAAD ABADA=I，PA平面ABCD， 又AC 平面ABCD，PAAC， 又PAABA=，AC 平面PAB， 又AC 平面PAC，平面PAC 平面PAB； （2） 由（1） 可知，直线,AB AC AP两两垂直， 故以A为原点， 分别以 , , 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间 直角坐标系，如图所示： 设2BC =， 则(0,0,0),(0, 3,0)AC， 13 (,0) 22 D ，(0,0,1)P， 理科数学试卷 第 7 页（共 10 页） 20LKYG12 从而 = (0,3,1)， = (1 2 , 3 2 ,0)， 设),(zyxn =为平面PCD的一个法向量，则 = 0 = 0 ，即 30 13 0 22 yz xy = += ， 令1y =，则)3, 1 ,3(=n， 由（1）可知，y轴平面PAB，故平面PAB的一个法向量)0 , 1 , 0(=m， = | | | = 7 7 ，即平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为 7 7 19 （12 分） 【解析】 （1） 1 (11+13+16+15+20+21)=16 6 y =， 2 6 1 ()76 i i yy = = ， 又 6 2 1 )17.5 i i xx = = （， 6 1 )()35 ii i xx yy = = （， 相关系数 1 22 11 )() )( 3535 0.96 17.5 76 ) 1330 n ii i nn ii ii xx yy r xxyy = = = = （ （ ， 由于y关于x的相关系数0.960.95r ， 这说明y关于x的线性相关程度相当高，可用线性回归模型拟合y与x的关系； 又 6 1 6 2 1 ()() () 35 2 17.5 ii i i i xx yy xx b = = = = ，且 1 (1+2+3+4+5+6 )=3.5 6 x =， 162 3.59aybx= =，回归方程为29yx=+ （2） 1863 218 23 1863 23yy yy v =+=，即调查材料最低成本为 1800 元，此时 y y1863 23 = ， 所以207y = （3）可能的取值为 0，1，2，3， 且 3 3 3 6 (0) 1 20 P C C =； 21 33 3 6 9 (1) 20 C C C P=； 12 33 3 6 9 (2) 20 C C C P=； 理科数学试卷 第 8 页（共 10 页） 20LKYG12 3 3 3 6 (3) 1 20 P C C = 所以的分布列为 所以 1991 ( )01231.5 20202020 E=+ + + = 20 （12 分） 【解析】 （1）设) 0 ,( 2 cF，由题意得， 2 2 1 c a b = = ， 又 222 cba+= ，所以有2,1ac=，故E的方程为1 2 2 2 =+ y x （2）当直线l的斜率为 0 时，则直线l与E相切于短轴的一个顶点，由椭圆的对称性可知，直线 n经过x轴上的点 2(1,0) F 当直线l斜率存在时，设其方程为) 0+=mmkxy（，将mkxy+=代入1 2 2 2 =+ y x ， 得0224)21 ( 222 =+mkmxxk，0)22)(21 (416 2222 =+=mkmk， 整理得 12 22 += km ，从而 m k k km xP 2 21 2 2 = + =， 所以 m yP 1 =，即 21 (,) k P mm ，所以2 = ( 2+ , 1 ) 设 1 F关于直线l的对称点为 00 (,)Q xy，则有 + = = + m x k y kx y 2 1 2 1 1 00 0 0 ， 解得 + = + = 1 22 1 12 2 0 2 2 0 k mk y k mkk x ，即 2 22 2122 (,) 11 kmkkm Q kk + 所以 2 2 2 2222 ,) 11 ( mkkm k F Q k + = + uuuu r 理科数学试卷 第 9 页（共 10 页） 20LKYG12 又 () () 22 22 2 2 21 222221 ()0 111 km kmkmmk mkkmm k + + = + ， 所以 22 F PF Q uuu u ruuuu r ，即P，Q， 2 F三点共线，所以直线n经过点 2(1,0) F 当直线l斜率不存在时，直线n即为x轴，也经过点 2 F 综上，直线n经过x轴上一个定点 2(1,0) F 21 （12 分） 【解析】 （1）( )(2) x fxAex=+ 当0A时，在(, 2) 上，( )0f x ，函数( )f x单调递减；在( 2,) +上，( )0f x ，函数 ( )f x单调递增； 当0A时，在(, 2) 上， ( )0fx ，函数( )f x单调递增；在( 2,) +上， ( )0fx ，函数 ( )f x单调递减 综上， 当0A时， 递减区间为(, 2) ， 递增区间为( 2,) +； 当0A时， 递增区间为(, 2) ， 递减区间为( 2,) + （2）( )1(1)1 kxxkxx g xkekek ee=+ =+， 0 x ，10 x e ， 当0k 时，由于0 x ，所以10 kx e ，即( )0g x， 当0k 时，由于0 x ，所以10 kx e ，即( )0g x， 当0k =时，( )10 x g xe= ， 综上，当0 x 时，函数( )g x单调递增， 所以由 2 ( ( )(4 )g f xg xx+可得 2 ( )4f xxx+，即 2 (1)4 x A xexx+， 等价于 2 4 (1) x xx A ex + + ，即 2 max 4 () (1) x xx A ex + + ， 令 2 4 ( ) (1) x xx h x ex + = + ，0 x ， 则 2 2 (2)(22) ( ) (1) x xxx h x e