湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东七校2020届高三12月联考 数学（理）（PDF版）

- 1 - 湖南省湘湖南省湘东东七校七校 20192019 年下期高三年下期高三联联考考 理科理科数学数学 总分：150 分 时量：120 分钟 考试时间 2019 年 12 月 8 日 由株洲二中浏阳一中攸县一中株洲八中株洲四中九方中学醴陵一中联合命题 姓名_ 考号_ 第卷（共第卷（共 6060 分）分） 一一选择题：本题共选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。要求的。 1 已知复数则 z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知，则（ ） A. B. C. D. 3已知,则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4 已知数列为等比数列， 首项为， 数列满足， 且， 则为 （ ） A9 B27 C81 D243 5函数的图象大致是（ ） A B C D 6 九章算术卷七盈不足中有如下问题： “今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问 人数、羊价各几何？”翻译为：”现有几个人一起买羊，若每人出五钱，还差四十五钱，若每人岀七钱， 还差三钱，问人数、羊价分别是多少”为了研究该问题，设置了如图所示的程序框图，若要输出人数和 - 2 - 羊价，则判断框中应该填（ ） Ak20 Bk21 Ck22 Dk23 7. 已知平面向量满足，且，则向 量与夹角的余弦值为（ ） A B C D 8已知平面区域 D1=，D2=，在区 域 D1内随机选取一点 M，则点 M 恰好在区域 D2内的概率为（ ） A B C D 9已知函数（，），满足，将函数的图象向右平移 个单位得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的取值可以为（ ） A1 B2 C3 D4 10已知抛物线 C：的焦点 F 到其准线的距离为 4，圆 M:，过 F 的直线 l 与抛物线 C 和圆 M 从上到下依次交于 A,P,Q,B 四点，则|AP|+4|BQ|的最小值为（ ） A9 B11 C13 D15 11 已知函数， 若方程有两个不同实根， 则实数的取值范围为 （ ） A（，） B（，1 C（，1）（1，） D（，1）（1，1 12已知四棱锥 P-ABCD 的底面为矩形，平面 PBC平面 ABCD, 于 E，EC=1，BC=3， PE=2，则四棱锥 P-ABCD 外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 第卷（共第卷（共 9090 分）分） 二填空题（每题二填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13函数在处的切线方程是_ - 3 - 14已知二项式 展开式中各项系数和为 243，则 的展开式中含项的系数 为_ 15. 数列通项公式为，若为数列的前项和，则_ 16已知双曲线 C:右焦点为 F,直线与双曲线 C 交于 A,B 两点，AF、BF 的中点依次为 M，N,若以线段 MN 为直径的圆经过原点，则双曲线的离心率为_ 三三. .解答题解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.（12 分） 如图，ABC 是等边三角形，D 是 BC 边上的动点（含端点），记BAD，ADC （1）求的最大值； （2）若 BD1，cos，求ABD 的面积 18（12 分） 如图， 在四棱锥中， 底面是边长为 2 的菱形， 平面平面，点为棱的中点 （1）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由； （2）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角 - 4 - 19.（12 分）有两种理财产品和，投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同 投资结果之间相互独立）： 产品： 投资结果 获利 不赔不赚 亏损 概率 产品： 投资结果 获利 不赔不赚 亏损 概率 注： （1）若甲、乙两人分别选择了产品投资，一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求实数的 取值范围； （2）若丙要将 20 万元人民币投资其中一种产品，以一年后的投资收益的期望值为决策依据，则丙选择哪 种产品投资较为理想. 20. （12 分）已知椭圆：的左右焦点分别为，点是椭圆的 左右顶点，点是椭圆上一动点，的周长为 6，且直线的斜率之积为 （1）求椭圆C的方程； （2）若、为椭圆上位于轴同侧的两点，且，求四边形面积的 取值范围 21.（12 分）已知函数（是自然对数的底数），是函数 的一个极值点（1）求函数的单调递增区间； - 5 - （2）设，若，不等式恒成立，求的最大值 请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. . 22.【选修 44：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分） 已知在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）以原点为极点，轴 的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系 （1）求圆的普通方程及其极坐标方程； （2）设直线 的极坐标方程为，射线与圆的交点为（异于极点）， 与直线 的交点为，求线段的长 23.【选修 45：不等式选讲】（本小题满分 10 分）已知函数 （1）解不等式； （2）若函数最小值为，且，求的最小值. - 6 - 湖南省湘东七校湖南省湘东七校 20192019 年下期高三联考年下期高三联考 理科数学参考答案及解析理科数学参考答案及解析 总分：150 时量：120 考试时间 2019 年 12 月 8 日 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 B A B C A A C B B C D A 9.解：f（0），sin ， ，即f（x）2sin（x+）， g（x）2sin （x）+， g（x）的图象关于直线x对称， （）+k ，kz， 则 +k ，kz，令k1，得 2故选：B 11 解：方程f（x）kx1 有两个不同实根可化为 函数f（x）与函数ykx+1 有两个不同的交点， 当x1 时，f（x）f（x1），周期性变化； 函数ykx+1 的图象恒过点（0，1）； 作函数f（x）与函数ykx+1 的图象如下， C（0，1），B（2，e），A（1，e）； 故kACe1，kBC； 在点C处的切线的斜率ke 01；结合图象可得，实数 k的取 值范围为 （，1）（1，e1；故选：D 12. 以为 底 面 补 成 直 三 棱 柱 ， 由 正 弦 定 理 可 求 得外 接 圆 直 径 径 为 ，外接球半径 从而可求得外接球表面积为 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13. 14. 30 15. 16. - 7 - 15.解数列且， 当为奇数时，；当为偶数时， 所以， 故答案为 16. 解 因为以线段 MN 为直径的圆经过原点，所以, 设左焦点为,连接，则，因为,所以，由双曲线定 义得 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分.).) 17.（1）由ABC是等边三角形，得 +， 0 ，故 2cos cos 2cos cos（ +） =， 故当 ，即D为BC中点时，原式取最大值（6 分） （2）由 cos ，得 sin ， 故 sin sin（ ）sin cos cos sin ，（8 分） 由正弦定理， 故ABBD，（10 分） 故SABDABBDsin B1（12 分） 18.解：（）在棱 AB 上存在点 E，使得 AF平面 PCE，点 E 为棱 AB 的中点 理由如下：取 PC 的中点 Q，连结 EQ、FQ， 由题意，FQDC 且 FQCD， 所以 AECD 且 AECD， 故 AEFQ 且 AEFQ 所以，四边形 AEQF 为平行四边形. （3 分） - 8 - 所以，AFEQ，又 EQ平面 PEC，AF平面 PEC， 所以，AF平面 PEC. （5 分） （2）由题意知ABD 为正三角形，所以 EDAB，亦即 EDCD， 又ADP90，所以 PDAD，且平面 ADP平面 ABCD， 平面 ADP平面 ABCDAD， 所以 PD平面 ABCD，故以 D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，（6 分） 设 FDa，则由题意知 D（0，0，0），F（0，0，a），C（0，2，0），B（，1，0）， （0，2，a），（）， 设平面 FBC 的法向量为 则由，令， 所以取，平面 DFC 的法向量 （1，0，0），（8 分） 因为二面角 DFCB 的余弦值为， 所以由题意：，解得. （10 分） 由于 PD平面 ABCD，所以 PB 在平面 ABCD 内的射影为 BD， 所以PBD 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角， 由题意知在 RtPBD 中，tanPBD，从而， 所以直线 PB 与平面 ABCD 所成的角为. （12 分） 19.（1）记事件为“甲选择产品投资且获利”，记事件为“乙选择产品投资且获利”，记事件 为“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利” 则， - 9 - 又，且， （5 分） （2）假设丙选择产品投资，且记为获利金额（单位：万元），则的分布列为： 投资结果 概率 （7 分） 假设丙选择产品投资，且记为获利金额（单位：万元），则的分布列为： 投资结果 -6 概率 （9 分） 当时，丙可在产品和产品中任选一个投资； 当时，丙应选产品投资； 当时，丙应选产品投资. （12 分） 20.（1）AF1F2的周长为 6，2a+2c6，即a+c3， 直线的斜率之积为可求得 联立及a 2b2+c2，解得 a2，b，c1 椭圆C的方程为；（4 分） （2）AF1F2+BF2F1 ，AF1BF2， - 10 - 延长AF1 交椭圆C于点A，设A（x1，y1），A（x2，y2）， 由（1）知F1（1，0），F2（1，0）， 直线AA的方程为xty1，联立，得（3t 2+4）y26ty90 ，(6 分) 由对称性可知，,设AF1 与BF2 的距离为d， 则四边形AF1F2B的面积 S S (9 分) 令m，m1S S（m）在1，+）上单调递减，S（0，3 故四边形AF1F2B面积的取值范围为（0，3(12 分) 21.（1）f（x）（x+2）e xxa， 是函数的一个极值点，解得a2（2 分） 则f（x）（x+2）（e x1） 令f（x）0，解得x0 或x2， 故函数的单调递增区间为（，2）和（0，+）（4 分） （2）不等式f（x）g（x），可化为e x2mxn， 记h（x）e x2mx+n，h（x）ex2m， 当m0 时，h（x）0 恒成立，则h（x）在 R R 上递增，没有最小值，故不成立；（6 分） 当m0 时，令h（x）0，解得xln2m，当x（，ln2m）时，h（x）0；当x（ln2m，+） 时，h（x）0， 当xln2m时，函数h（x）取得最小值h（ln2m）e ln2m2mln2m+n0， 即 2m2mln2mn，则（9 分） 令F（m）2mmln2m（m0），F（m）1ln2m，令F（m）0， - 11 - 则，当时，F（m）0；当时，F（m）0， 故当时，F（m）取得最大值， 所