南京市2019届高三数学二轮专题复习资料专题04：平面向量

南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 1 页 共 22 页 专题专题 4：平面向量：平面向量 目录目录 问题归类篇 . 2 类型一：向量的运算 . 2 类型二:形如AD xAB yAC 等式中系数 x，y 值的确定 . 5 类型三：平面向量的综合应用 . 8 综合应用篇 . 11 一、例题分析 . 11 二、反馈巩固 . 14 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 2 页 共 22 页 问题归类篇问题归类篇 类型一：向量的运算类型一：向量的运算 一、一、 前测回顾前测回顾 1已知向量 a(2，1)，b(1，2)，若 manb(9，8)(m，nR)，则 mn 的值为_. 答案：3 2 (1)已知向量 a(0，2)，|b|2，则|ab|的取值范围是 (2)若 a 是平面内的单位向量，若向量 b 满足 b (ab)0，则|b|的取值范围是 (3)已知| 2a ，| 3b ，,a b的夹角为120，则|2 |ab_. 答案：(1)0,4；(2)0,1； (3)2 7. 3(1)已知向量 a 和向量 b 的夹角为 135 ，|a|2，|b|3，则向量 a 和向量 b 的数量积 a b_ (2)若向量 a，b 满足|a|3，|b|1，|a2b| 19，则向量 a，b 的夹角是 (3)已知1ab，且 22abab，则 a 与 b 的夹角为 (4) 已知 A，B，C 为圆 O 上的三点，若AO 1 2(AB AC)，则AB与AC的夹角为_ (5) 已知 ab，|a|2，|b|3，且 3a2b 与 ab 垂直，则实数 的值为_ (6)已知向量 a(2，1)，b(1，k)，a (2ab)0，则 k 等于_ 答案：(1)3 2； (2)2 3 ；(3); (4) 90 ;(5) 3 2； (6)12 4 (1)在 ABC 中， BAC120， AB2， AC1， 点 D 是边 BC 上一点， DC2BD， 则 AD BC (2)如图 1，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，BAD60，E 为 CD 中点， 则 AE BD (3)已知 OA2， OB2 3, OA OB 0， 点 C 在线段 AB 上， 且AOC60， 则 AB OC _ (4)在 ABC 中，BAC120，AB2，AC1，点 D 是边 BC 上一点，DC2BD，E 为 BC 边上的 点，且 AE BC 0则AD BC ；AD AE _ 答案：(1)8 3； (2)1； (3)4； (4) 8 3, 3 7； 二、方法联想二、方法联想 1向量的运算 方法 1 用向量的代数运算 方法 2 结合向量表示的几何图形 三、方法应用三、方法应用 A B C D E 图 1 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 3 页 共 22 页 A B C M N （例 3） 例 1已知向量(1, 3),(3,)mab. 若向量, a b的夹角为 6 ，则实数m_ 解：由题意得 2 31 33 cos 26 29 m m ，两边平方化简得6 318m， 解得3m ，经检验符合题意 例 2在如图的平面图形中，已知1OM ，2ON ， 120MON，2BMMA，2CNNA，则BCOM的 值为 解：由2BMMA，可知 | 2 | BM MA ， | 3 | BA MA 由2CNNA，可知 | 2 | CN NA ， | 3 | CA NA ， 故 | 3 | BACA MANA 连接MN，则BCMN，33()BCMNONOM， 2 3()3()BC OMONOMOMON OMOM 2 3(|cos120| )6ON OMOM 例 3如图，在ABC 中，点M为边 BC 的中点，且2AM ，点N为线段AM的中点， 若 7 4 AB AC，则NB NC的值为 答案： 5 4 解析： 22 AB ACAMBM，则 273 4 42 BMAMAB AC， 所以 2 22235 1 24 NB NCMNBM 例 4已知 a，b，e 是平面向量，e 是单位向量若非零向量 a 与 e 的夹角为 3，向量 b 满足 b24e b+3=0， 则|ab|的最小值是_ 答案：31 N M O C B A 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 4 页 共 22 页 解答：设(1,0)e ，( , )bx y， 则 2 22 430430be bxyx 22 (2)1xy 如图所示，aOA，bOB， （其中A为射线OA上动点，B为圆C上动点， 3 AOx .） min 13 1abCD .（其中CDOA.） 例5在平面凸四边形 ABCD 中，2 2AB ，3CD ，点 E 满足2DEEC，且| | 2AEBE 若 16 5 AE DE，则AD BC的值为_ 答案：2 解析：因为3CD ，点 E 满足2DEEC，所以2DE ，1EC | | 2AEBE，2 2AB ，得到 2 AEC 又因为 16 5 AE DE，所以 16 cos 5 AE DEAED，得到 4 cos 5 AED 又 3 coscos 5 BECAEBAED AD BCAEEDBEECAE ECED BEED EC， coscosAE ECAECED BEBEDED EC， 43 2 12 21 2 55 2 四、归类巩固四、归类巩固 *1已知平面向量 a，b 满足|b|1，且 a 与 ba 的夹角为 120 ，则 a 的模的取值范围是 答案： （0，2 3 3 提示：结合向量的几何图形求解 *2.已知向量(1,2)a，(2, 2)b，(1, )c若2 cab，则 答案： 1 2 . 提示：向量的基本运算. 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 5 页 共 22 页 *3.设向量(1,0)a，( 1,)m b，若()maab，则m=_ 答案：1. 提示：向量的基本运算. *4在等腰梯形ABCD中,已知AB平行于DC，AB2，BC1，ABC 3，动点E，F分别在线段BC， DC上，且BE BC ， DF 1 9 DC ，则AE AF 的最小值为. 答案： 18 29 提示：数量积 AE AF 表示为的函数 *5 ABC 的外接圆的圆心为 O，AB2，AC3， 则AO BC _. 答案：5 2 提示：外心隐含着垂直关系 *6.在四边形 ABCD 中，已知 2ABab ， 4BCab ， 53CDab ，其中， ba, 是不共线的 向量，则四边形 ABCD 的形状是 答案：梯形. 提示：向量的基本运算. *7.在平面直角坐标系中， 已知点 A （-1， 0） ， B （2， 0） ， E， F 是 y 轴上的两个动点， 且|EF|=2， 则AEBF 的最小值为_ 答案：3 类型二类型二:形如形如AD xAB yAC 等式中系数等式中系数 x，y 值的确定值的确定 一、前测回顾前测回顾 1在 ABC 中，点M，N 满足AM 2 MC , BN NC 若MN x AB yAC，则 xy的值为 答案：1 3 2平面内有三个向量 OA ， OB ， OC ，其中OA 与 OB 的夹角为2 3 ， OA 与 OC 的夹角为 6，且， |OA |OB |2，|OC |4 3，若,OCOAOBR ，则的值为_ 答案：6 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 6 页 共 22 页 3已知在 ABC 中，O为 ABC 的外心，AB16，AC102，AO x AB yAC，且 32x25y 25，则|AO |等于_ 答案：10 提示：由AOxAByAC，可得AO AOxAB AOyAC AO， 2 1 128 2 AB AOAM ABAB，同理： 2 1 100 2 AC AOAN ABAC， 所以 2 1281004 3225100AOxyxy， 所以|AO |10 二、方法联想二、方法联想 方法 1 通过平面向量运算，完成向量AD 用AB，AC表示，进而确定 x，y 的值 方法 2 若题目中某些向量的数量积已知， 则对于向量等式AD x AB yAC， 可考虑两边对同一向量 作数量积运算，从而得到关于 x，y 的方程，再进行求解 方法 3 若所给的图形比较特殊 （矩形、正方形、正三角形、 特殊梯形等） ， 则可以建系将向量坐标化， 从而得到关于 x，y 的方程，再进行求解 三、方法应用三、方法应用 例 1 如图，在平行四边形 ABCD 中，AC,BD 相交于点 O，E 为线段 AO 的中点，若BDBABE （R,） ，则 解：由 111 () 242 BEBOBABDBA, 得 3 4 例 2 平面内有三个向量OA，OB，OC,模长分别为 2,2，34， OA与OB的夹角为 3 2 ，OA与OC的夹角为 6 若OC=mOA+nOB（m，nR） ，则 m+n= 解：由已知得：2) 2 1 (22 3 2 cos| OBOAOBOA， 12 2 3 342 6 cos| OCOAOCOA， 则1224)(nmOBnOAmOAOCOA， 48444)()( 22 mnnmOBnOAmOBnOAmOCOC， 解得： 2 2 n m 或 2 4 n m ， 则0nm或 6 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 7 页 共 22 页 例 3 设点P是ABC所在平面上的一点，点D是BC的中点，且23BCBABP，设PDABAC， 则 答案： 2 3 解析：因为23BCBABP，所以2()BCBPBPBA，即2PCAP，所以 1 3 APAC， 所以 11 () 33 ADAPPDACABACABAC，又点D是BC的中点， 所以 11 22 ADABAC，所以 1 11 , 2 32 ，所以 2 3 例 4 如图，四边形OABC是边长为 1 的正方形，点 D 在 OA 的延长线上，且2OD ，点P为BCD内 （含边界）的动点，设,OPOCODR 则的最大值等于 解：分别以边OAOC，所在直线为xy，轴建立如图所示平面直角 坐标系,()0)2(10OCOD， ， 设()P xy OPxy，. 012 02xy，, 2x y . 1 2 xy,设 1 2 zxy，则 1 2 yxz .所以z是直线 1 2 yxz 在 y 轴上的截距.由图形可以看出，当该直线经过 11B ，点时，它在y轴的截距z最大，最大为 3 2 , 的最大值是 3 2 四、归类巩固四、归类巩固 1已知点 P 是 ABC 内一点，满足AP ABAC，且 231，延长 AP 交边 BC 于点 D，BD 2DC，则 答案：3 8 提示：因为 BD2DC，所以AD 1 3AB 2 3AC 由于AP 与AD共线，设APmAD，则 m 3， 2m 3 ， 于是 2， 又 231，解得 1 8， 1 4，所以 3 8 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 8 页 共 22 页 *2在 ABC 中，D为BC边的中点，H为AD的中点，过点H作一直线 MN 分别交 AB，AC 于 点 M，N，若,AMxAB ANyAC，则 x4y 的最小值是_ 答案：9 4 *3在 ABC中，ABAC2， AB AC1，O 是 ABC的外心，若AO x AB yAC，则x y的值为_ 答案： 13 6 类型三：平面向量的综合应用类型三：平面向量的综合应用 一、一、前测回顾前测回顾 1 平面上的向量,MA MB满足 2 4MAMB， 且0M AM B ， 若 12 33 MCMAMB， 则MC 的最小值为_ 答案： 7 4 2已知 a，b 是单位向量，且 a，b 的夹角为 60 ， ，若向量c满足|ca2b|2，则|c|的最大值为_ 答案：23 3在平面直角坐标系xOy中，若直线(3 3)yk x上存在一点P，圆 22 (1)1xy上存在一点Q， 满足3OPOQ，则实数k的最小值为 答案： 3 二、方法联想二、方法联想 方法 1 基底法， 即合理选择一组基底(一般选取模和夹角均已知的两个不共线向量)， 将所求向量均用 这组基底表示，从而转化为这两个基向量的运算 方法 2 坐标法，即合理建立坐标系，求出向量所涉及点的坐标，利用向量的坐标运算解决 三、方法应用三、方法应用 例 1在 ABC 中， 120BAC,2 ACAB,D为BC边上的点，且0BCAD,EBCE2 ， 则AEAD_ 解：以ACAB,为一组基底，由0BCAD可知：BCAD ，又ACAB ，则D点为BC中点 ACABAD 2 1 2 1 ，ACABABACABBCABBEABAE 3 1 3 2 )( 3 1 3 1 ， 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 9 页 共 22 页 A D C E B ) 3 1 3 2 () 2 1 2 1 (ACABACABAEAD 12 6 1 120cos22 2 1 4 3 1 6 1 2 1 3 1 2 22 ACACABAB 2 2 6 1 120cos22 2 1 4 3 1 1 例 2如图，在直角梯形 ABCD 中，ABCD，90ADC，AB = 3， AD = 2，E 为 BC 中点，若AB AC= 3，则AE BC = 解：以 A 点为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴,建立平面直 角坐标系， 设 CD =x，则AB=（3，0） ，AC=（x， 2） 由AB AC= 3 解得 x=1所以AE=（2， 2 2 ） ，BC =（2， 2） ， 所以AE BC =3 例 3在平面直角坐标系xOy中，A 为直线:2l yx上在第一象限内的点，(5,0)B，以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D若0AB CD，则点 A 的横坐标为 答案：3 解析：设，则由圆心为中点得， 易得，与联立解得点的横坐标，所以 所以， 由得， ，或，因为，所以 例 4若 ABC 中，AB= 2，BC=8， B45 ，D 为 ABC 所在平面内一点且满足 () ()4AB ADAC AD，则 AD 长度的最小值为 答案： 2 解：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意，B(-1，-1)，C(7，-1) 设 D(x,y)，所以() ()()(7)4AB ADAC ADxyxy ， 即( )(7 )4xy yx ，令 7 xym yxn ，则 1( ) 8 1(7 ) 8 xmn ymn ，所以 mn=4， 所以 22222211 ()(7)50212 88 ADxymnmnmnmn ,20A aaa CAB 5 , 2 a Ca :520Cxxay ya2yxD1 D x 1,2D 5, 2ABaa 5 1,2 2 a CDa 0AB CD 5 51220 2 a aaa 2 230aa 3a 1a 0a 3a C x y A B D 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 10 页 共 22 页 2222 252410242 88 mnmn 当且仅当 5m=n=2 5时，AD 取得最小值2 四、归类巩固四、归类巩固 *1在 ABC 中，已知 BC=2，1AB AC,则 ABC 面积的最大值是_ 答案:2 提示：以 BC 所在直线为 x 轴, 中点 O 为坐标原点，建立直角坐标系，则点 B(-1,0),C(1,0) 设点( , )A x y,则由条件得 2 (1)(1)1,xxy即 22 2,xy 故 ABC 面积的最大值是 1 222. 2 *2在平面内，定点 A，B，C，D 满足|DA |DB|DC|，DA DB DB DC DC DA 2，动点 P， M 满足|AP |1，PMMC，则|BM|2的最大值是_ 答案: 49 4 提示：采用解析法，即建立直角坐标系，写出, , ,A B C D坐标，同时得到动点P的轨迹是圆，因此可 用圆的性质得出最值 *3 在平面直角坐标系中，点在圆上， 若 则点 的横坐标的取值范围是 答案： *4已知向量|a|1，|b|2，ab1，设向量 c 满足(2ac) (bc) 0，则c的最小值为 答案： 31 *5已知, , ,A B C D四点共面，2BC ， 22 20ABAC，3CDCA，则|BD的最大值为 答案：10 *6.已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形，点 D，E 分别是边 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE3EF，则AF BC的值为 答案： 3 1 . *7.如图， oo 19045ABBCAPBBPC，则PA PC 答案： 4 5 . *8.如图，已知点 O 为 ABC 的重心，OAOB，AB6，则AC BC的值为 答案：72. xOy( 12,0), (0,6),AB P 22 :50O xy20,PA PBP 5 2,1 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 11 页 共 22 页 A B D C 综合应用篇综合应用篇 一、例题分析一、例题分析 例 1 （1）已知向量 a(1，2)，b(2，3)若向量 c 满足(ca)b，c(ab)，则 c （2）已知向量 a(2，1)，a b10，ab5 2，则b （3）若平面向量 a，b 满足ab1，ab 平行于 y 轴，a(2，1)，则 b （4）在菱形 ABCD 中，若 AC4，则CA AB 答案： （1） （7 9 ， 7 3 ） ； （2）5； （3） （2，2）或（2，0） ； （4）8 教学建议教学建议 一、主要问题归类与方法：一、主要问题归类与方法： 1坐标形式下，向量共线、向量垂直的充要条件 2向量已知了坐标求模长，解决模长问题的基本方法将模长平方转化为数量积 3第（4）小题的求解，可以是基底法还可以坐标法，基底法的难点选择基底；坐标法的难点是建立 合适的直角坐标系 二、方法选择与优化建议：二、方法选择与优化建议： 1第（2）小题，方法 1：设向量 b 的坐标，通过解方程组求解；方法 2：直接对向量(ab)的模长平 方求出答案相对而言，方法 2 比较简单 2第（3）小题，常规方法是设出向量 b 的坐标，通过解方程组求解本题可以抓住向量 ab 的两 要素，先求出向量 ab 的坐标，再求向量 b 的坐标，这个解法来得方便，突出了向量的本质 3第（4）小题解法 1：基底法，选择CA 和与CA垂直的1 2BD 为基底；解法 2：以 AC、BD 为两坐标轴 建立直角坐标系 例 2 （1）已知正 ABC 的边长为 1，CP7CA3CB，则CP AB （2）设 D，E 分别是 ABC 的边 AB，BC 上的点，AD1 2AB，BE 2 3BC，若DE 1AB 2AC （ 1， 2R） ，则 12的值为_。 （3）如图，在 ABC 中，BAC90 ，AB6，D 在斜边 BC 上，且 CD2DB，则 AB AD 的值为 （4）已知 a，b 是单位向量，a b0若向量 c 满足|cab|1，则|c|的取值范围是 答案： （1）2；（2）1 2； （3）24；（4） 21， 21 教学建议教学建议 一、主要问题归类与方法：一、主要问题归类与方法： 1三角形中研究边所在向量的数量积时，关注向量夹角的定义 2将所要表示的向量放置在三角形中，利用向量加、减法的三角形法则，突出平面向量基本定理 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 12 页 共 22 页 3可以关注一下向量数量积的几何意义（投影） 4（4）求解的方法是画图或者建立直角坐标系用坐标法 二、方法选择与优化建议：二、方法选择与优化建议： 1第（3）小题的求解，坐标法优于基底法从图形的结构上发现便于建系 2由于向量 a，b 是两个相互垂直的单位向量，用坐标法解题通俗易懂 例 3（1）在正三角形 ABC 中，D 是 BC 上的点，AB3，BD1，则AB AD （2）在平面直角坐标系 xOy 中，已知OA (3，1)，OB(0，2)若OC AB 0，ACOB，则实数 的值为 （3）已知 A（3，0） ，B（0， 3） ，O 为坐标原点，点 C 在第二象限，且AOC60 ，OC OA OB ， 则实数 的值是 （4） 如图， 在平行四边形 ABCD 中， 已知 AB8， AD5， CP 3PD ， AP BP2， 则AB AD 的值是_. 答案： （1）15 2 ；（2）2；（3）1 3；(4)22 解析 (4)由CP 3PD ，得DP 1 4DC 1 4AB ，APAD DP AD 1 4AB ，BPAPABAD 1 4AB ABAD 3 4AB .因为AP BP2，所以(AD 1 4AB ) (AD 3 4AB )2，即AD21 2AD AB 3 16AB 22. 又因为AD 225，AB264，所以AB AD 22. 教学建议教学建议 一、主要问题归类与方法：一、主要问题归类与方法： 1解（1）小题可以是基底法（以AB 和BD为基底） ，也可以建立直角坐标系用坐标法 2解（2）小题可以设未知数解方程，也可以画出图形，利用直线方程求解理解向量共线的意义 3平面向量基本定理，利用图形进行分解，通过解三角形求解 二、方法选择与优化建议：二、方法选择与优化建议： 1解（1）小题显然是基底法简单，因为两个基底向量的模长和夹角都已知 例 4 （1） 向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示若 cab（，R） ，则 （2） 如图， 正六边形 ABCDEF 中， P 是 CDE 内 （包括边界） 的动点 设 AP ABAF（、R） ，则 的取值范围是 答案： （1）4； （2）3，4 A B C D E F P b c a 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 13 页 共 22 页 教学建议教学建议 一、主要问题归类与方法：一、主要问题归类与方法： 1问题的本质都是用两个不共线的向量来表示第三个向量平面向量基本定理，利用图形进行分解，通 过解三角形求解 2解决这一类问题的基本方法为： （1）基底法； （2）坐标法 二、方法选择与优化建议：二、方法选择与优化建议： 1解决这两题用坐标法优于基底法 2选用哪一种方法，关键是看其中一个向量用基底来表示是否容易 3第（2）小题坐标化后，转化为线性规划处理 例 5 (1) 如图， 在 ABC 中， AN 1 3NC ， P 是 BN 上一点， 若APmAB2 11AC ， 则实数 m 的值为 (2) 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD xAByAC，则 x ，y (3) 给定两个长度为 1 的平面向量OA 和OB，它们的夹角为 120 如图所示，点 C 在以 O 为圆心的 圆弧AmB 上变动若OC xOAyOB，其中 x，yR，则 xy 的最大值是_ _ 答案：(1)；(2) 1 3 2 和 3 2 ；(3)2 教学建议教学建议 一、主要问题归类与方法：一、主要问题归类与方法： 1平面向量的基本定理，向量的分解 方法 1：利用三角形法则，平行四边形法则以及向量共线定理 方法 2：利用平行四边形法则进行向量分解，借助解三角形的知识，再利用共线向量长度与方向的 关系来求解 方法 3：建立坐标系，找出向量的坐标表示，再利用相等的向量坐标相等，列等式，通过解方程组 求解。 二、方法选择与优化建议：二、方法选择与优化建议： 1第（1）小题，用方法 1 较方便，解题的关键是利用 B，P，N 三点共线，设BP BN，再利用基 底表示的唯一性，求 的值 2第（2）小题，本题用方法 2 与方法 3 均可，但相比而言，方法 3 运算量较小 3第（3）小题用方法 2 与方法 3 均可，关键是自变量的选择，方法 2 与方法 3，都可选择AOC 作自变量，来建立 xy 的函数关系，方法 2 要用到解三角形的知识，方法 3 用向量坐标间的关系 即可，运算量要小些 例 6 (1)在 ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且BC 3CD ，点 O 在线段 CD 上(与点 C、D 不重合)， 若AO xAB (1x)AC，则 x 的取值范围是_. A B C P N 第(1)题图 A C B D E 45 60 第(2)题图 O A B C m 第(3)题图 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 14 页 共 22 页 (2)等腰 ABC 中，ABAC1，A120 ，E、F 分别是边 AB、AC 上的点，且AE mAB， AF nAC，其中 m、n（0，1） ，且 m4n1若 EF、BC 的中点分别为 M、N， 则|MN |的最小值为 答案：(1)(1 3，0)；(2) 7 7 教学建议教学建议 (1)主要问题归类与方法：主要问题归类与方法： 1几何图形中的向量关系与计算问题 方法 1：基底法，选择适当的基底，把所研究的向量用基底表示； 方法 2：坐标法，建立适当的坐标系，找到图形中各点的坐标，从而求出各向量的坐标 (2)方法选择与优化建议：方法选择与优化建议： 1解决这类问题的基本方法是： （1）基底法； （2）坐标法第(1)题用基底法，方便，第(2)题的两种 解法总体难度相当，坐标法相对比较好想一点 2第(1)题中，显然选择AB 与AC作为基底，因为动点 O 在线段 CD 上，可设COCD(01)， 将AO 用基底表示，利用基底表示的唯一性，列出关系式(用 表示 x)，从而求出 x 的范围； 3 第(2)题用基底法与坐标法均可 基底法难点是用基底AB 、 AC来表示MN ， 构造三角形 AMN， 将MN 向量放在 AMN 中研究，这种方法最为简洁，这种做法是基于 M、N 分别为 EF、BC 的中点，有 一个向量公式， 很容易将AM 和AN 用基底向量来表示 AM 1 2(AE AF)1 2( mAB nAC)， AN1 2(AB AC )在接下来对目标函数进行消元变形的过程中，关注计算的理性化 用坐标法的难点是如何利用条件将 E、F 两点的坐标表示出来需要结合平面几何中平行线分线段成 比例的等一些基本性质 4关注对目标函数消元变形的理性思维，达到简化运算的目的 二、反馈巩固二、反馈巩固 *1（1） 在平行四边形 ABCD 中， AB a， AD b， AN 3NC ， M 为 BC 的中点， 则 MN _（用 a，b 表示） 答案：1 4a 1 4b （2）在 ABC 中，BD 2 DC ， AD m AB n AC ，则m n 答案：1 2 说明：考查向量的几何运算说明：考查向量的几何运算 *2 （1）设 AB(2，3)，且点 A 的坐标为(1，2)，则点 B 的坐标为 A B C E F M N 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 15 页 共 22 页 答案：(3，5) （2）已知向量BA (1 2， 3 2 )，BC (3 2 ，1 2) ，则ABC_ 答案:30 （3）已知向量 a(2，3)，b(x，6)，且 ab，则 x= 答案：4 （4）已知向量 a(x5，3)，b(2，x)，且 ab，则由 x 的值是 答案：2 （5）设向量 a(1，2)，b(2，1)，则(ab)(ab)等于 答案：(4，4) （6）已知a(5，4)与b(3，2)，则与 2a3b平行的单位向量为 答案： 5 2 5 (,) 55 说明：考查向量的坐标表示及其运算用坐标表示的形式说明：考查向量的坐标表示及其运算用坐标表示的形式 *3 （1）若|a|3，| b |2，且 a 与 b 的夹角为 60 ，则|ab | 答案：7 （2）若|a|1，| b |2，a 与 b 的夹角为 60 ，若(3 a5 b)(m ab)，则实数m的值为 答案： 23 8 (3)若 b（cos 12，cos 5 12） ，|a|2|b|，且( 3ab) b2，则向量 a，b 的夹角为_. 答案：5 6 提示：b2cos2 12cos 25 12cos 2 12sin 2 121， 所以|b|1，|a|2. 由( 3ab) b2，可得 3a bb22， 故 a b 3， 故 cosa，b a b |a|b| 3 2 1 3 2 .所以a，b5 6 . （4）已知平面上三点 A，B，C 满足|AB|=3，|BC|=4，|CA|=5，则 AB BC BC CA CA AB 的 值等于 答案：25 说明：考查向量的模、夹角、平行、垂直的坐标表示说明：考查向量的模、夹角、平行、垂直的坐标表示 *4 （1）设 a、b、c 是单位向量，且 abc，则 a c 的值为 答案：1 2 （2）若向量 a，b 满足|a|3，|b|1，|a2b| 19，则向量 a，b 的夹角是 答案：2 3 ； 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 16 页 共 22 页 （3）如图，AB 是半圆 O 的直径，C，D 是弧 AB 的三等分点， M，N 是线段 AB 的三等分点若 OA=6，则NCMD的值是 答案：26 （4）函数 ytan( 4x 2)的部分图象如图所示，点 A 为函数图象与 x 轴的交 点，点 B 在函数图象上，且纵坐标为 1则(OA OB)AB 答案：6 说明：考查说明：考查向量数量积向量数量积 *5 （1）已知向量 a(1，2)，b(2，3)若向量 c 满足(ca)b，c(ab)，则 c （2）已知向量 a(2，1)，a b10，ab5 2，则b （3）平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ，a(2，0)，|b|1，则|a2b| （4）在菱形 ABCD 中，若 AC4，则CA AB 答案： （1） （7 9 ， 7 3 ） ； （2）5； （3）2 3 （4）8 说明：考查说明：考查向量的坐标运算向量的坐标运算 *6在 ABC 中，BC a，CAb，ABc，且|a|1，|b|2，|c| 3，则 a bb cc a _. 答案：4 说明：考查向量数量积，勾股定理逆定理说明：考查向量数量积，勾股定理逆定理. *7 在 ABC 中， 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c， 若AB ACBA BC1， 那么 c_. 答案：2 说明：考查向量数量积，正余弦定理说明：考查向量数量积，正余弦定理. *8.设向量，其中，若，则 . 答案： 2 说明：考查向量数量积，两角和与差的三角函数说明：考查向量数量积，两角和与差的三角函数. (cos ,sin)a(cos ,sin)b0|2| |2 |abab A B C D M N O x y A B O 1 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 17 页 共 22 页 *9 （1）已知正 ABC 的边长为 1，CP7CA3CB，则CP AB 答案：2； （2） 如图， BC、 DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径， BF 2FO ， 则FD FE _. 答案：8 9 解析：BF 2FO ，圆 O 的半径为 1，|FO |1 3， FD FE (FO OD ) (FO OE )FO 2FO (OE OD )OD OE (1 3) 2018 9. （3）在 ABC 中，M 是 BC 的中点，AM1，点 P 在 AM 上且满足AP 2PM ，则AP (PBPC)等于 答案：4 9 （4）如图，在四边形 ABCD 中，|AB |BD|DC |4，|AB |BD|BD| |DC |4， AB BDBDDC 0，则(AB DC )AC 的值为 答案：4 说明：说明：考查向量几何表示的运算考查向量几何表示的运算 *10在 ABC 中，已知AB ACtan A，当 A 6时， ABC 的面积为_ 答案：1 6 说明：考查说明：考查向量与三角函数的结合向量与三角函数的结合 *11已知AB AC，|AB|1 t，|AC |t ，若 P 点是 ABC 所在平面内一点，且ABAB |AB | 4AC |AC |， 则PB PC 的最大值_ 答案：13 解析： 以A为坐标原点， 建立平面直角坐标系， 如图所示， 则 1 ( ,0)B t ， (0, )Ct，1AP （，0)+4(0,1)=(1,4)， 即1P （，4)， 所 以 1 1PB t =（，-4)，1PC=（，t-4)，因此PB PC 1 1416t t 1 17(4 ) t t ， 因 为 11 4244tt tt ， 所 以 PB PC 的最大值等于13，当14t t ，即 1 2 t 时取等号 x y B C A P 南京市南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料届高三数学二轮专题复习资料 第 18 页 共 22 页 说明：考查平面向量数量积以及基本不等式说明：考查平面向量数量积以及基本不等式 *12.在平面直角坐标系中，已知点( 10)A ，(2,0)B，E，F是y轴上的两个动点，且| 2EF ，则 AE BF的最小值为_ 答案：-3 解析：设(0, )Et，(0,2)Ft，所以(1, ) ( 2,2) AE BFtt 22 2(2)22(1)3 t tttt， 当1 t时，AE BF取得最小值3 说明：考查说明：考查向量与二次函