2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（五）

2019年高考理科数学考前30天-计算题专训（五）17（本小题满分10分）设（1）求的单调区间；（2）在锐角中，角，的对边分别为，若，求面积的最大值【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是；（2）【解析】（1）由题意，由，可得，由，可得，所以的单调递增区间是，单调递减区间是；（2），由题意是锐角，所以；由余弦定理：，可得，且当时成立，面积最大值为18（本小题满分12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，EF交BD于点H将DEF沿EF折到的位置（1）证明：平面ABCD；（2）求二面角的正弦值【答案】（1）详见解析；（2）【解析】（1）证明：由已知得，又由得，故因此，从而由，得由得所以，于是，故又，而，所以平面（2）解：如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系则，设是平面的法向量，则，即，所以可取设是平面的法向量，则，即，所以可取于是因此二面角的正弦值是19（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数（1）求X的分布列；（2）若要求，确定n的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？【答案】（1）详见解析；（2）19；（3）【解析】（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而；所以X的分布列为：X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04（2）由（1）知，故n的最小值为19（3）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）当时，（元）当时，（元）可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选20（本小题满分12分）已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线与椭圆有且只有一个公共点（1）求椭圆的方程及点的坐标；（2）设是坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点证明：存在常数，使得，并求的值【答案】（1）椭圆的方程为点的坐标为；（2）【解析】（1）由已知，则椭圆的方程为由方程组，得方程的判别式为，由，得，此时方程的解为，所以椭圆的方程为点的坐标为（2）证明：由已知可设直线的方程为，由方程组，可得，所以P点坐标为，设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)由方程组，可得方程的判别式为，由，解得由得，所以，同理所以故存在常数，使得21（本小题满分14分）已知函数，（1）证明：当，；（2）证明：时，存在，使得对，恒有；（3）确定的所有可能取值，使得存在，对，恒有【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）【解析】（1）令，则有，当，所以在上单调递减，故当时，即当时，（2）令，则有，当，所以在上单调递增，故对任意正实数均满足题意当令，得，取，所以，恒有，所以在上单调递增，即综上，当时，总存在，使得对，恒有（3）当时，由（1）知，对于，故，令，则有，故当时，在上单调递增，故，即，所以满足题意的不存在当时，由（2）知存在，使得当，恒有此时，令，则有，故当时，在上单调递增，