天津市南开区2019届高三下学期一模考试 数学（文）（PDF版）

南开区南开区高三高三年级模拟考试年级模拟考试（一）（一）数学试卷（数学试卷（文史文史类）类）第第 1 页（共页（共 9 页）页） 20182019 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试学年度第二学期南开区高三年级模拟考试( (一一) ) 数数 学学 试试 卷卷（文史文史类）类） 2019.03 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分共 150 分，考试时间 120 分钟第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 9 页 祝各位考生考试顺利！祝各位考生考试顺利！ 第第 卷卷 注意事项：注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上； 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号 3本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 参考公式：参考公式： 锥体的体积公式V圆柱=Sh，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （1）已知集合A=x|2x2，B=x|y=1 x，那么AB=（ ） （A）x|2x1 （B）x|2x1 （C）x|x2 （D）x|x2 （2） 设变量x，y满足约束条件 20 220 0 3 ， ， ， ， xy xy x y 则目标函数z=xy 的最大值为（ ） （A）1 （B）1 （C） 3 2 （D）3 （3）执行如图所示的程序框图，若输入的a的值为3，则输出的 i=（ ） （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 南开区南开区高三高三年级模拟考试年级模拟考试（一）（一）数学试卷（数学试卷（文史文史类）类）第第 2 页（共页（共 9 页）页） （4）设a，bR，则“ab”是“(ab)a20”的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （5）函数y=2sin( 3 2x)（x0，）为增函数的区间是（ ） （A）0， 5 12 （B）0， 2 （C） 5 12 ， 11 12 （D）11 12 ， （6）函数f(x)是奇函数，且在(0，+)内是增函数，f(3)=0，则不等式xf(x)0的解 集为（ ） （A）(3，0)(3，+) （B）(，3)(0，3) （C）(，3)(3，+) （D）(3，0)(0，3) （7）过双曲线1 2 2 2 2 b y a x （a0，b0）的左焦点F作直线交双曲线的两条渐近线于 A，B两点，若B为线段FA的中点，且OBFA（O为坐标原点） ，则双曲线的离 心率为（ ） （A）2 （B）3 （C）2 （D）5 （8）如图，在ABC中，BAC= 3 ，AD=2DB， P为CD上一点， 且满足AP=mAC+ 1 2 AB， 若AB=2，ABC的面积为23，则|AP|为 （ ） （A）2 （B）3 （C）3 （D） 4 3 A C B P D 南开区南开区高三高三年级模拟考试年级模拟考试（一）（一）数学试卷（数学试卷（文史文史类）类）第第 3 页（共页（共 9 页）页） 第第 卷卷 注意事项：注意事项： 1用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2本卷共 12 小题，共 110 分 得得 分分 评卷人评卷人 二、 填空题：二、 填空题： 本大题共本大题共 6 个个小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共分， 共 30 分 请分 请 将答案填在题中横线上将答案填在题中横线上。 （9）已知复数z=1 3i 3i ，则z的实部为 （10）已知函数f(x)=(ax2+x1)ex+f(0)，则f(0)的值为 （11）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别 为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积是 为 （12）已知P为抛物线C：y2=42x上一点，点M(2，0)，若|PM|=42，则 POM（O为坐标原点）的面积为 （13）已知x，y均为正实数，且x+3y=2，则 2 xy xy 的最小值为 （14）设函数f(x)= 2 560 440 ， ， ，. xxx xx 若函数g(x)=x+af(x)有三个零点，则这三个 零点之和的取值范围是 南开区南开区高三高三年级模拟考试年级模拟考试（一）（一）数学试卷（数学试卷（文史文史类）类）第第 4 页（共页（共 9 页）页） 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 6 个个小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 得得 分分 评卷人评卷人 （15） （本小题满分（本小题满分 13 分）分） 某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们 分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发 芽数，得到如下资料： 日 期 3 月 1 日 3 月 2 日 3 月 3 日 3 月 4 日 3 月 5 日 温差x（C） 10 11 13 12 8 发芽数y（颗） 23 25 30 26 16 （）求这5天的平均发芽率； （）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，用(m，n)的 形式列出所有的基本事件，并求满足“m，n25，30”的事件A的概率 南开区南开区高三高三年级模拟考试年级模拟考试（一）（一）数学试卷（数学试卷（文史文史类）类）第第 5 页（共页（共 9 页）页） 得得 分分 评卷人评卷人 （16） （本小题满分（本小题满分 13 分）分） 在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，B=2C，sinC= 7 4 （）求cosA的值； （）设bc=24，求边a的长 南开区南开区高三高三年级模拟考试年级模拟考试（一）（一）数学试卷（数学试卷（文史文史类）类）第第 6 页（共页（共 9 页）页） 得得 分分 评卷人评卷人 （17） （本小题满分（本小题满分 13 分）分） 如图，在三棱锥SABC中，SA底面ABC，AC=AB=SA=2，ACAB，D，E分别是 AC，BC的中点，F在SE上，且SF=2FE （）求异面直线AF与DE所成角的余弦值； （）求证：AF平面SBC； （）设G为线段DE的中点，求直线AG与平面SBC所成角的余弦值 GE F C D B A S 南开区南开区高三高三年级模拟考试年级模拟考试（一）（一）数学试卷（数学试卷（文史文史类）类）第第 7 页（共页（共 9 页）页） 得得 分分 评卷人评卷人 （18） （本小题满分（本小题满分 13 分）分） 已知数列an是等差数列，Sn为其前n项和，且a5=3a2，S7=14a2+7 （）求数列an的通项公式；an=2n1 （）设数列an+bn是首项为1，公比为2的等比数列，求数列bn(an+bn)的前n项和 Tn 南开区南开区高三高三年级模拟考试年级模拟考试（一）（一）数学试卷（数学试卷（文史文史类）类）第第 8 页（共页（共 9 页）页） 得得 分分 评卷人评卷人 （19） （本小题满分（本小题满分 14 分）分） 已知椭圆C：1 2 2 2 2 b y a x （ab0）的离心率为 3 6 ，两焦点与短轴的一个端点的连 线构成的三角形面积为2 （）求椭圆C的方程； （）设与圆O：x2+y2= 3 4 相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点） ， 求AOB面积的最大值 南开区南开区高三高三年级模拟考试年级模拟考试（一）（一）数学试卷（数学试卷（文史文史类）类）第第 9 页（共页（共 9 页）页） 得得 分分 评卷人评卷人 （20） （本小题满分（本小题满分 14 分）分） 已知函数f(x)= 1lnx x （） （）求曲线y=f(x)在点(e，f(e)处的切线方程； （）若函数f(x)在区间(m，m+ 1 3 )（m0）上存在极值，求实数m的取值范围； （）设g(x)= 1 x a xf(x)1，对任意x(0，1)恒有g(x)2x2，求实数a的取值 范围 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (一一) )数学试卷数学试卷参考答案参考答案（文史文史类）类）第第 1 页（共页（共 6 页）页） 20182019 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试学年度第二学期南开区高三年级模拟考试( (一一) ) 数学试卷（文史类）参考答案数学试卷（文史类）参考答案 2019.03 一、一、选择题：选择题： 题题 号号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答答 案案 A B C B C D C B 二、填空题：二、填空题： （9）0； （10）0； （11） 1 6 ； （12）23； （13） 7 6 2 ； （14）( 11 3 ，6) 三、解答题：三、解答题： （其他正确解法请比照给分）（其他正确解法请比照给分） （15）解：解： （）这5天的平均发芽率为 2325302616 100100100100100 5 100%=24% 5 分 （）m，n的取值情况有(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)， (25，30)，(25，26)，(25，16)，(30，26)，(30，16)，(26，16)， 基本事件总数为10 9 分 则事件A包含的基本事件为(25，30)，(25，26)，(30，26)10 分 所以P(A)= 3 10 13 分 （16）解：解： （）B=2C，sinC= 7 4 ， cosB=cos2C=12sin2C= 1 8 2 分 B=2C，C为锐角，cosC0， cosC= 2 1 sinC= 3 4 4 分 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (一一) )数学试卷数学试卷参考答案参考答案（文史文史类）类）第第 2 页（共页（共 6 页）页） 而sinB= 2 1cosB= 3 7 8 ， 6 分 cosA=cos(B+C)=(cosBcosCsinBsinC)= 9 16 9 分 （） sin b B = sin c C 而sinC= 7 4 ，sinB= 3 7 8 ， 10 分 b= 3 2 c，又bc=24，b=6，c=4， 12 分 a2=b2+c22bccosA=25，a=5 13 分 （17）解解： （）连结BF 在ABC中，D，E分别是AC，BC的中点， DEAB， FAB或其补角为异面直线AF与DE所成角 2 分 由AC=AB=SA=2，ACAB，E是BC的中点，得AE=2 SA底面ABC，SAAE 在RtSAE中，SE=6，可得AF= 2 3 3 4 分 SA底面ABC，SABC，又BCAE， BC平面SAE， BCSE， EF= 1 3 SE= 6 3 ，BE=2， BF= 2 6 3 cosFAB= 3 3 ， P GE F C D B A S 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (一一) )数学试卷数学试卷参考答案参考答案（文史文史类）类）第第 3 页（共页（共 6 页）页） 即异面直线AF与DE所成角的余弦值 3 3 6 分 （）由（）知AE2=EF2+AF2，AFSE BC平面SAE，BCAF 又SEBC=E，AF平面SBC 9 分 （）延长AG交BC于P点，连结PF 由（）知AF平面SBC，PF为AP在平面SBC上的投影， APF即为直线AG与平面SBC所成角 11 分 G为线段DE的中点， CP=2PE， 又SF=2FE， PF= 1 3 SC= 2 2 3 ，AP= 2 5 3 ， cosAPF= 10 5 ， 即直线AG与平面SBC所成角的余弦值为 10 5 13 分 （18）解：解： （）设等差数列an的公差是d 由a5=3a2 得d=2a1， 由S7=14a2+7得d=a1+1， 由解得a1=1，d=2 所以数列an的通项公式为an=2n1 4 分 （）由数列an+bn是首项为1，公比为2的等比数列， 得an+bn=2n1，即2n1+bn=2n1， 所以bn=2n12n+1 6 分 所以bn(an+bn)=2n1 (2n12n+1)=4n1(2n1)2n1 7 分 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (一一) )数学试卷数学试卷参考答案参考答案（文史文史类）类）第第 4 页（共页（共 6 页）页） Pn=40+41+4n1= 14 14 n = 41 3 n 8 分 Qn=120+321+522+(2n3)2n2+(2n1)2n1 2Qn=121+322+523+(2n3)2n1+(2n1)2n 得 Qn=120+221+222+22n1(2n1)2n =(32n)2n3， Qn=(2n3)2n+3 12 分 Tn=PnQn= 41 3 n (2n3)2n3= 4 3 n (2n3)2n 10 3 13 分 （19）解：解： （）由题设： 6 3 c a ，bc=2，解得a2=3，b2=1， 椭圆C的方程为 2 2 1 3 x y 3 分 （）设A(x1，y1)、B(x2，y2) （1）当ABx轴时，|AB|=3 4 分 （2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m， 由已知 2 3 2 1 m k ，得m2= 3 4 (k2+1) 6 分 把y=kx+m代入椭圆方程消去y，整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m23=0， 有x1+x2= 2 6 31 km k ，x1x2= 2 2 13 31 ()m k 7 分 得|AB|2=(1+k2)(x1x2)2=(1+k2) 222 222 36121 3131 () () k mm kk = 22 2 2 2 12131 31 ()() () kkm k = 22 22 3191 31 ()() () kk k 9 分 南开区高三年级模拟考试南开区高三年级模拟考试( (一一) )数学试卷数学试卷参考答案参考答案（文史文史类）类）第第 5 页（共页（共 6 页）页） = 2 42 12 3 961 k kk = 2 2 12 3 1 96 k k （k0） 12 3 236 =4， 当且仅当 2 2 1 9k k ，即 3 3 k 时等号成立 12 分 当k=0时，|AB|=3 13 分 综上所述|AB|max=2，从而AOB面积的最大值为 3 2 14 分 （20）解：解： （）f(x)= 2 lnx x 1 分 故切线的斜率为f(e)= 2 1 e ，又f(e)= 2 e ， 3 分