2019届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：35.选修4系列

（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知直线与曲线交于两点，且，求实数的值.【答案】（1）的普通方程；的直角坐标方程是；（2）【解析】【分析】（1）把直线l的标准参数方程中的t消掉即可得到直线的普通方程，由曲线C的极坐标方程为2sin（），展开得（sin+cos），利用即可得出曲线的直角坐标方程；（2）先求得圆心到直线的距离为，再用垂径定理即可求解【详解】（1）由直线的参数方程为，所以普通方程为由曲线的极坐标方程是，所以，所以曲线的直角坐标方程是（2）设的中点为，圆心到直线的距离为，则，圆，则，,由点到直线距离公式，解得，所以实数的值为.【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程化为普通方程，考查了点到直线的距离公式，圆中垂径定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若不等式的解集为，求的值；（2）当时，求的解集.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）通过讨论a的范围，求出不等式的解集，结合对应关系求出a的值即可；（2）代入a的值，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可【详解】（1）由得，当时，由，得，当时，由，无解所以.（2）当时，原不等式化为，所以；当时，原不等式化为，所以（舍）；当时，原不等式化为所以，不等式的解集为.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（文科）试题）22.已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以轴的非负半轴为极轴，原点为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，若直线和 分别与曲线相交于、两点（，两点异于坐标原点）.（1）求曲线的普通方程与、两点的极坐标；（2）求直线的极坐标方程及的面积.【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）消参，即可得到曲线C的普通方程，结合，得到曲线C的极坐标方程，计算A,B坐标，即可。（2）结合，即可得到直线AB的极坐标方程，分别计算OA,OB的长，结合三角形面积计算公式，即可。【详解】解：（1）曲线的参数方程为（为参数），所以消去参数得曲线的普通方程为，因为，代入曲线可得的极坐标方程：.将直线，代入圆的极坐标方程可知:， 故、两点的极坐标为，.（2）由，得：，根据两点式可知直线的方程为：，所以的极坐标方程为：.所以的极坐标方程为.可知直线恰好经过圆的圆心，故为直角三角形，且，故.【点睛】本道题考查了参数方程，极坐标方程，普通方程互相转化，难度中等。（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（文科）试题）23.设函数 .（1）证明：；（2）若不等式的解集为，求实数的值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】(1)利用,同时结合基本不等式,即可.(2)针对a取不同范围讨论，去绝对值，即可。【详解】（1）证明： ，所以.（2）由可得，当时，这与矛盾，故不成立，当时，又不等式的解集为，所以， 故.【点睛】本道题考查了基本不等式以及不等式证明，难度偏难。（福建省宁德市 2019届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（）分别求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（）设直线交曲线于，两点，交曲线于，两点，求的长.【答案】（）曲线的极坐标方程为：；的直角坐标方程为：；（）【解析】【分析】（I）消去参数，即可得到曲线的直角坐标方程，结合，即可得到曲线的极坐标方程。（II）计算直线l的直角坐标方程和极坐标方程，计算长，即可。【详解】解法一：（）曲线：（为参数）可化为直角坐标方程：，即，可得，所以曲线的极坐标方程为：.曲线：，即，则的直角坐标方程为：.（）直线的直角坐标方程为，所以的极坐标方程为.联立，得，联立，得，.解法二：（）同解法一（）直线的直角坐标方程为，联立，解得，联立，解得，所以.【点睛】本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等.（福建省宁德市 2019届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）23.已知函数.（）当时，求不等式的解集；（）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（）或（）【解析】【分析】（I）把代入中，结合x取不同范围，去绝对值，建立不等式，计算x的范围，即可。（II）计算最小值，建立不等式，计算a的范围，即可。【详解】解：（）当时，所以，所以，或，或，解得：或，综上，不等式的解集为：或.（）即.由，故，或，解得或，综上，.【点睛】本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等.（湖北省2019届高三1月联考测试数学（理）试题）22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线（为参数），直线（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线与直线的极坐标方程（极径用表示，极角用表示）；（2）若直线与曲线相交，交点为、，直线与轴也相交，交点为，求的取值范围.【答案】（1）曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为（2）【解析】【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；（2）利用直线与圆的位置关系，数形结合即可得到的取值范围【详解】（1）曲线即即即或由于曲线过极点 曲线的极坐标方程为直线即即即直线的极坐标方程为（2）由题得设为线段的中点，圆心到直线的距离为则 它在时是减函数的取值范围【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系，三角函数关系式的恒等变变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型（湖北省2019届高三1月联考测试数学（理）试题）23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）画出函数的图象；（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）写出f（x）的分段函数式，画出图象；（2）由题意可得2m+1f（x）x的最小值，对x讨论去绝对值，结合一次函数的单调性可得最小值，即可得到所求范围【详解】（1）f（x）|2x+1|x2|，的图像如图（2）由（）得当时，题设等价于即【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和不等式有解的条件，注意运用分类讨论思想方法和分离参数法，考查单调性的运用：求最值，属于中档题（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.（1）把曲线的参数方程化为极坐标方程；（2）曲线与曲线交于点，与曲线交于点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用消去参数，求得的普通方程，再利用转为极坐标方程.（2）将分别代入的极坐标方程，求得两点对应的极坐标，由此求得的值.【详解】解：（1）曲线的普通方程为，即，由，得，曲线的极坐标方程为；（2）设点的极坐标为，点的极坐标为，则，.【点睛】本小题主要考查将圆的参数方程转化为极坐标方程，考查利用极坐标求解有关弦长的问题，属于基础题.（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）23.设函数.（1）解不等式；（2）当时，证明：.【答案】（1）解集为；（2）见解析.【解析】【分析】(1)零点分区间，去掉绝对值，写成分段函数的形式，分段解不等式即可；(2) 由（1）知，,，之后利用均值不等式可证明.【详解】（1）由已知可得：，当时，成立； 当时，即，则所以的解集为.（2）由（1）知，由于，则，当且仅当，即时取等号，则有【点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）22.已知直线l的参数方程为为参数）， 椭圆C的参数方程为为参数）。在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点A的极坐标为(2, (1)求椭圆C的直角坐标方程和点A在直角坐标系下的坐标(2)直线l与椭圆C交于P,Q两点,求APQ的面积【答案】（1），；（2）【解析】试题分析：(1)消去参数，即可得到椭圆的直角坐标方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解点的直角坐标；（2）将直线的参数方程代入椭圆的方程，得到,，即可求得，再求得点到直线的距离，即可求解面积.试题解析：(1)由 得. 因为的极坐标为,所以，. 在直角坐标系下的坐标为 . （2）将代入，化简得,设此方程两根为,则 ,. . 因为直线的一般方程为,所以点到直线的距离. 的面积为.（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）23.已知函数.(1)当a=0时,求不等式f(x)0)和|axb|c(c0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想（吉林省长春实验高中2019届 高三第五次月考 数学（文）试题）22.在直角坐标坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系的原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程；（2）若与曲线相切，且与坐标轴交于两点，求以为直径的圆的极坐标方程.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）利用公式，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；（2）利用与曲线相切，结合一元二次方程的解法求出结果详解：（1）由，得，即，故曲线的普通方程为（2）由，当，联立得，因为与曲线相切，所以，所以的方程为，不妨假设，则，线段的中点为所以，又，故以为直径的圆的直角坐标方程为点睛：把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：代入消元法；加减消元法；乘除消元法；三角恒等式消元法.（吉林省长春实验高中2019届 高三第五次月考 数学（文）试题）23.已知函数，.（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得和互为相反数，求的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）分，和三种情况去掉绝对值，解不等式即可.（2）由题存在，使得成立，即.又，由（1）可知，所以，可解得的取值范围.试题解析：（1）由题意可得，当时，得，无解；当时，得，即；当时，得.综上，的解集为.（2）因为存在，使得成立，所以.又，由（1）可知，则所以，解得.故的取值范围为.（山东省济南外国语学校2019届高三1月份阶段模拟测试数学（文）试题）22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(为参数，0)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为(I)求曲线C的直角坐标方程；()设点M的坐标为(1，0)，直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值.【答案】(I) () 【解析】【分析】（I）直接利用转换关系把极坐标方程与直角坐标方程进行转化；（）利用方程组建立一元二次方程根与系数的关系进行应用【详解】（）曲线，即 曲线C的直角坐标方程为即()将代入并整理得， .【点睛】直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0t1cos ，y0t1sin )，(x0t2cos ，y0t2sin ).(2)|M1M2|t1t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t，中点M到定点M0的距离|MM0|t|.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1t20.（山东省济南外国语学校2019届高三1月份阶段模拟测试数学（文）试题）23.设函数(I)当a=1时，求不等式的解集；()已知的取值范围【答案】() 或. () 【解析】【分析】（）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（）求出f（x）的分段函数的形式，通过讨论a的范围，求出f（x）的最小值即可【详解】（）当时，不等式即，当时，或此时，当时，或此时，当时，或此时，不等式的解集为或.() 若则解得：或，若则，综上所述，【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用.（河北省武邑中学2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）21.在直角坐标系中， 曲线的参数方程为为参数） ，若以直角坐标系中的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线的极坐标方程为为实数 （1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若曲线与曲线有公共点， 求的取值范围 【答案】（1），（2）【解析】试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线的普通方程，注意参数对自变量范围的限制，再根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）联立直线方程与抛物线段方程，求出相切时以及过端点时的取值，结合图像确定的取值范围.试题解析：解：（）因为，所以由平方得：又两式相减得，故曲线的普通方程为，另由得的直角坐标方程为 （）如图，当直线过点时，；当直线与相切时，由得由得，从而，曲线与曲线有公共点时， （河北省武邑中学2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为 (为参数),曲线的直角坐标方程为.以平面直角坐标系的原点为极点,轴非负半轴为极轴建立直角坐标系,射线的极坐标方程为（1）求曲线，的极坐标方程；（2）设点分别为射线与曲线上，除原点之外的交点，求的最大值.【答案】（1），.（2）2.【解析】试题分析：（1）将曲线的参数方程（为参数）消去参数化为普通方程，再根据，可得曲线、的极坐标方程；（2）联立得，求得，再联立，得，求得，进而可求得的最大值.试题解析：（1）由曲线的参数方程（为参数）消去参数得，即，曲线的极坐标方程为.由曲线的直角坐标方程，曲线的极坐标方程.（2）联立，得联立，得.，当时，有最大值2.（辽宁省丹东市2018年高三模拟（二）理科数学试题）22.在直角坐标系中，将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，再把所得曲线上每一点向下平移1个单位得到曲线以为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是（1）写出的参数方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求使取最小值时点的直角坐标【答案】（1），；（2）【解析】分析：（1）由平移及伸缩变换可得，由椭圆的参数方程可得参数形式，由可得极坐标的直角坐标方程；（2）设，的最小值，就是到距离的最小值，利用点到直线距离及三角函数的最值求解即可.详解：（1）：为，其参数方程为（为参数）：，其直角坐标方程为（2）由（1）可设，由于是直线，所以的最小值，就是到距离的最小值，当时，取最小值，最小值为此时的直角坐标为点睛：本题主要考查了极坐标与直角坐标方程的互化及椭圆参数方程的应用，属于基础题.（辽宁省丹东市2018年高三模拟（二）理科数学试题）23.设函数，若，（1）证明：；（2）比较与的大小【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：（1）由，解绝对值不等式可得，的范围，利用即可证得；（2）由，结合范围可证得.详解：（1），由得从而，所以（2）由（1）得， ，所以，故点睛：本题主要考查了解绝对值不等式及比较大小，属于中档题.（福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查数学（文科）试题）22.选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求直线和曲线的直角坐标方程；（2）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最大值.【答案】（1），； （2）.【解析】【分析】（1）分别用极坐标方程与直角坐标方程的关系、参数方程与直角坐标方程的关系转化即可；（2）设，由点到直线的距离公式可得到，结合三角函数求最值即可。【详解】（1）由得，直线的直角坐标方程为由消得曲线的直角坐标方程（2）设【点睛】本题考查了极坐标方程、参数方程及直角坐标方程间的转化，考查了三角函数求最值，属于基础题。（福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查数学（文科）试题）23.选修4-5：不等式选讲设函数.（1）解不等式；（2）若，成立，求实数的取值范围.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）通过分类讨论去掉绝对值，然后解不等式取并集即可；（2）结合的范围去掉绝对值，可得到的单调性，令即可。【详解】（1）依题意或或解得（2）在上是减函数，在上是增函数，解得.【点睛】绝对值不等式的解法：(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：求零点；划区间、去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值(2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法（福建省厦门市2019届高三第一学期期末质检理科数学试题）22.选修4-4：坐标系与参数方程选讲在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变为曲线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求和的直角坐标方程；（2）过点作的垂线交于两点，点在轴上方，求【答案】（1）曲线的方程为,直线的直角坐标方程为 (2)-【解析】【分析】(1)将代入得，即可得到曲线的方程；由，代入即可得到直线的直角坐标方程；（2）由题意，得过点的垂线的参数方程为（为参数），代入曲线C的方程，根据参数的几何意义，即可求解.【详解】(1)将代入得，曲线的方程为由得，因为，代入上式得直线的直角坐标方程为（2）因为直线的倾斜角为，所以其垂线的倾斜角为，过点的垂线的参数方程为，即（为参数）代入曲线的方程整理得，设两点对应的参数为（由题意知）则，且，所以 .【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中解中合理消参，以及合理利用直线参数方程几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.（福建省厦门市2019届高三第一学期期末质检理科数学试题）23.函数，其中，若的解集为。（1）求的值；（2）求证：对任意，存在，使得不等式成立.【答案】(1)a=2 (2)见证明【解析】【分析】（1）由题意知不满足题意，当时，由得，即可求解；（2）由题意，对于任意实数，存在，使得，只需，分类讨论求得，再利用基本不等式，即可求解；【详解】（1）由题意知不满足题意，当时，由得，则,则a=2（2）设，对于任意实数，存在，使得，只需，因为，当时，由，仅当取等号所以原命题成立.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式求解及应用，其中解答中把对于任意实数，存在，使得，转换为是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.（福建省厦门市2019届高三第一学期期末质检文科数学试题）22.选修4-4：坐标系与参数方程选讲在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变为曲线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求和的直角坐标方程；（2）过点作的垂线交于两点，点在轴上方，求【答案】（1）曲线的方程为,直线的直角坐标方程为 (2)-【解析】【分析】(1)将代入得，即可得到曲线的方程；由，代入即可得到直线的直角坐标方程；（2）由题意，得过点的垂线的参数方程为（为参数），代入曲线C的方程，根据参数的几何意义，即可求解.【详解】(1)将代入得，曲线的方程为由得，因为，代入上式得直线的直角坐标方程为（2）因为直线的倾斜角为，所以其垂线的倾斜角为，过点的垂线的参数方程为，即（为参数）代入曲线的方程整理得，设两点对应的参数为（由题意知）则，且，所以 .【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中解中合理消参，以及合理利用直线参数方程几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.（福建省厦门市2019届高三第一学期期末质检文科数学试题）23.函数，其中，若的解集为。（1）求的值；（2）求证：对任意，存在，使得不等式成立.【答案】(1)a=2 (2)见证明【解析】【分析】（1）由题意知不满足题意，当时，由得，即可求解；（2）由题意，对于任意实数，存在，使得，只需，分类讨论求得，再利用基本不等式，即可求解；【详解】（1）由题意知不满足题意，当时，由得，则,则a=2（2）设，对于任意实数，存在，使得，只需，因为，当时，由，仅当取等号所以原命题成立.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式求解及应用，其中解答中把对于任意实数，存在，使得，转换为是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.（广东省揭阳市2018-2019学年高中毕业班学业水平考试理科数学试题）22.已知曲线C的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线、相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O），且的倾斜角为锐角.（1）求曲线C和射线的极坐标方程；（2）求OAB的面积的最小值，并求此时的值【答案】（1）C的极坐标方程为，或；的极坐标方程为；（2）16，【解析】【分析】（1）消去参数，求得曲线的普通方程，再转为极坐标方程.射线过原点，根据角度直接写出的极坐标方程.（2）利用极坐标方程求得的表达式，求得三角形面积的表达式，利用三角函数的的最值求得三角形面积的最小值，同时求得的值.【详解】解：（1）由曲线C的参数方程，得普通方程为，由，得，所以曲线C的极坐标方程为，或 的极坐标方程为； （2）依题意设，则由（1）可得，同理得，即， ， ， OAB的面积的最小值为16，此时，得，【点睛】本小题主要考查参数方程转化为极坐标方程，考查利用极坐标求三角形的面积，考查三角函数求最值，属于中档题.（广东省揭阳市2018-2019学年高中毕业班学业水平考试理科数学试题）23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，利用零点分段法去绝对值，解一元一次不等式求得不等式的解集.（2）当时，对函数去绝对值后，构造一次函数，一次函数恒大于或等于零，则需区间端点的函数值为非负数，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】解：（1）当时，解得，当时，解得，当时，解得，综上知，不等式的解集为.（2）当时，设，则，恒成立，只需， 即，解得【点睛】本小题主要考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.（广东省揭阳市2018-2019学年高中毕业班学业水平考试文科数学试题）22.已知曲线C的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线、相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O），且的倾斜角为锐角.（1）求曲线C和射线的极坐标方程；（2）求OAB的面积的最小值，并求此时的值【答案】（1）C的极坐标方程为，或；的极坐标方程为；（2）【解析】【分析】（1）消去参数，求得曲线的普通方程，再转为极坐标方程.射线过原点，根据角度直接写出的极坐标方程.（2）利用极坐标方程求得的表达式，求得三角形面积的表达式，利用三角函数的的最值求得三角形面积的最小值，同时求得的值.【详解】解：（1）由曲线C的参数方程，得普通方程为，由，得，所以曲线C的极坐标方程为，或 的极坐标方程为； （2）依题意设，则由（1）可得，同理得，即， ， ， OAB的面积的最小值为16，此时，得，【点睛】本小题主要考查参数方程转化为极坐标方程，考查利用极坐标求三角形的面积，考查三角函数求最值，属于中档题.（广东省揭阳市2018-2019学年高中毕业班学业水平考试文科数学试题）23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，利用零点分段法去绝对值，解一元一次不等式求得不等式的解集.（2）当时，对函数去绝对值后，构造一次函数，一次函数恒大于或等于零，则需区间端点的函数值为非负数，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】解：（1）当时，解得，当时，解得，当时，解得，综上知，不等式的解集为.（2）当时，设，则，恒成立，只需， 即，解得【点睛】本小题主要考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.（广东省清远市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线的参数方程为（为参数，）直线的极坐标方程为.（I）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；（II）已知，直线与曲线的交点为，求.【答案】（I），（II）8【解析】【详解】（I）由 得 （1）式除以2与（2）式平方相减得，曲线C的直角坐标方程为 由 得， 曲线l的直角坐标方程为； （II）由（I）可知，曲线l的直角坐标方程为，故曲线l是倾斜角为的直线，点A在直线l上，则可设直线l的参数方程为（为参数） 代入，并整理得： 。 设点为M、N对应的参数值分别为，则|MA|NA|=8.【点睛】本题考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的几何意义，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可