数学建模的微分方程方法

数学建模的微分方程方法,主讲人：杨和,2017.7.24-25,许多有趣的实际问题都包含着随时间发展的过程。动态模型常被用于表现这些过程的演变。动态模型建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，接着求解微分方程并将微分方程的解翻译回实际对象，最后就可以进行描述、分析、预测和控制实际对象了。,五步方法、灵敏性分析和稳健性分析等基本原则对动态模型是有意义并且是有用的。在探讨一些最流行和最实用的动态建模技巧时，我们常采用这些方法。,一般来讲，动态模型易于构造但是难于求解。精确的解析解仅对少数特殊情况存在，如线性系统。数值方法常常不能对系统的行为提供一个好的定性的解释。所以图形表示通常是分析动态模型不可缺少的一部分。由于图形表示特有的简单性，以及它的几何性质，使得它在数学建模中占据了重要地位。事实上，对于动态模型，数值方法结合图形分析才是最有效的方法。,目录：,1五步方法2灵敏性分析3稳健性分析4薄膜渗透率的测定5香烟过滤嘴的作用6其他实例,本节简要介绍用数学建模解决问题的一般过程，称之为五步方法。1.提出问题2.选择建模方法3.推导模型的数学表达式4.求解模型5.回答问题,1五步方法,例1.1一头猪重200磅,每天增重5磅,伺养每天需花费45美分。猪的市场价格是每磅65美分，但是每天下降1美分。求出售猪的最佳时间。,注：1磅=0.454千克,而问题需要用数学语言表达，这通常需要大量的工作。在这个过程中，需要对实际问题做一些假设，但不需要做出推测，因为我们总可以在后面的过程中随时返回并做出更好的推测。在用数学术语提出问题之前，我们需要定义所用的术语。,第一步是提出问题，,首先，列出整个问题所涉及的变量，包括恰当的单位。然后，写出关于这些变量所做的假设，列出已知的或者假设的这些变量之间的关系式,包括等式或不等式。最后，用明确的数学语言写出这个问题的目标的表达式。变量、单位、等式、不等式和假设，就构成了完整的问题。,在例1.1中，变量包括:1.猪的重量w(磅)2.从现在到出售经历的时间t(天)3.t天内伺养猪的花费C(美元)4.猪的市场价格p(美元/磅)5.售出生猪所获得的收益R(美元)6.最终获得的净收益P(美元)还有一些量，如猪的初始重量(200磅)等，但这些量不是变量。把变量和常量分开是很重要的。,下面我们列出对这些变量所做的假设。在这个过程中，我们要考虑问题中的常量的作用,把变量的单位带进去,可以检查所列式子是否有意义。,变量：t=从现在到出售的时间(天)w=猪的重量(磅)p=猪的价格(美元/磅)C=饲养t天的花费(美元)R=售出猪的收益(美元)P=净收益(美元)假设：w=200+5tp=0.65-0.01tC=0.45tR=pwP=R-Ct0目标：求P的最大值,图1-1售猪问题的第一步的结果,注意：第一部分三个阶段(变量、假设、目标)的确定不需要按特定的顺序。,现在我们已经有了一个用数学语言表述的问题，我们需要选择一种数学方法来获得解。许多问题都可以表示成一个已有的有效的一般求解方法的标准形式。应用数学领域的多数研究都包含确定问题的一般类别，并提出解决该类问题的有效方法。在这一领域有许多文献，并且不断取得新的进展。一般很少有学生对选择较好的建模方法有经验或熟悉文献。在座的各位大都是首次参加数学建模比赛，至多也就是参加了学校的建模比赛，对形形色色的建模方法更是知之甚少。这也是我为什么选择这部分内容作为本讲的第一节的主要原因。,第二步是选择建模方法。,设在处是可微的，如果在处达到极大或极小,则。细节可参阅微积分入门教材。,建模方法：,第三步是推导模型的数学表达式。,如：例1.1把问题中的变量名改换一下，在算法上就比较方便。,P=RC=pw0.45t=(0.650.01t)(200+5t)0.45t,记y=P为目标变量，x=t为自变量，则问题转化为在集合S=x:x0上求下面函数的最大值：,y=f(x)=(0.650.01x)(200+5x)0.45x.,即要把第一步,得到的问题应用于第二步，写成所选建模方法需要的标准形式，以便于我们运用标准的算法过程求解。,第四步，利用第二步中确定的标准过程求解这个模型。,如本例中即对y=f(x)=(0.650.01x)(200+5x)0.45x在区间x0上求最大值。,如图1-2可知，y=f(x)关于x是二次的曲线图，易得,f(x)=0.1x+0.8,则在点x=8处f(x)=0.,由f在区间(,8)上单调递增,而在区间(8,+)上单调递减。,故点x=8是全局最大值点。且有f(8)=133.20,从而点(x,y)=(8,133.20)是f在整个实轴上的全局最大值点,也是区间x0上的最大值点。,第五步回答问题，,由第四步，我们得到的答案是在8天之后，可以获得净收益133.20美元。只要第一步的假设成立，这一结果就是正确的。,相关的问题及其他不同的假设可以按照第一步中的做法调整得到。由于我们处理的是一个实际问题（一个农民决定何时出售他饲养的生猪），在第一步中会有一个风险因素存在，因此通常有必要研究一些不同的可能，这一过程称为灵敏性分析。我们将在下一节进行讨论。,即回答第一步中提出的问题,“何时售猪可以达到最大净收益？”,第一步提出问题,(1)列出问题涉及的变量，包括恰当的单位;(2)注意不要混淆了变量和常量;(3)列出你对变量所做的全部假设，包括等式和不等式;(4)检查单位从而保证你的假设有意义；(5)用准确的数学表达式给出问题的目标。,第二步选择建模方法,(1)选择问题的一个一般的求解方法；(2)一般地，这一步的成功需要经验、技巧的对相关文献有一定的熟悉程度；(3)要针对不同问题决定要用的建模方法。,本节主要介绍五步方法,下面将这一方法总结归纳成如下图表(图1-3),以便以后参考。,(2)有可能需要统一第一、二步中的变量名；(3)记下所有补充假设，这些假设是为了使在第一步中描述的问题与第二步中选定的数学结构相适应而做的。,第四步求解模型,第五步回答问题(1)用非技术性的语言将第四步中的结果重新表述；(2)避免数学符号和术语;(3)能理解最初提出问题的人就应该能理解你给出的解答。,第三步推导模型的公式,(1)将第一步中得到的问题重新表达成第二步选定的建模方法需要的形式；,(1)将第二步中所选方法应用于第三步得到的表达式;(2)注意你的数学推导,检查是否有错误,答案是否有意义;(3)采用适当的技术,计算机代数系统、图形、数值计算的软件等都能扩大你解决问题的范围,并减少计算错误。,1.2灵敏性分析,1.问题的提出,(2)灵敏性分析是数学建模的一个重要方面，具体内容与所用的建模方法有关。,(3)上一节用售猪问题说明了建模的五步法。图1-1列出了求解该问题所做的所有假设，虽然数据和假设都有非常详细的说明，但还要再严格检查，由于数据是由测量、观察有时甚至完全是猜测得到的，故要考虑数据不准确的可能性。,(1)上一节简要介绍了五步法。整个过程从假设开始,但很难保证这些假设都是正确的，因此要考虑所得结果对每一条假设的敏感程度，即灵敏性。,在这个例子中，我们可以看出：可靠性高的数据：生猪现在的重量、猪现在的价格、每天饲养的花费等，易测量，确定性大；,可靠性低的数据：猪的生长率g和价格的下降速率r.,2.最佳售猪时间x关于价格下降速率r的灵敏性,前面我们假定r=0.01美元/天，现在假设r的实际值是不同的，对几个不同的r值，重复使用前面的求解过程,我们会对问题的解关于r的敏感程度有所了解。,即给定r，对y=f(x)=(0.65rx)(200+5x)0.45x关于x求导，令f(x)=0，可得相应x值。,表1-4给出了选择几个不同的r值求出x的计算结果。,(1)粗分析,表1-4售猪问题中最佳售猪时间x关于价格的下降速率r的灵敏性,将上表1-4中的数据绘制在如下图1-5中。,易见，x对r是很敏感的。,(2)系统分析,将r作为未知的参数，仍按前面的步骤求解:,出售价格：p=0.65rt,目标函数：y=f(x)=(0.65rx)(200+5x)0.45x=130+2.8x200rx5rx2,求导：f(x)=2.8200r10rx,使f(x)=0的点为x=(7500r)/25r,若要x0，只要00.014,在0,+)上都有f(x)u.,Q吸一支烟毒物进入人体总量,模型建立,t=0,x=0，点燃香烟,q(x,t)毒物流量,w(x,t)毒物密度,如果知道了流量函数,吸入毒物量Q就是处的流量在吸一支烟时间内的总和。,注意到关于烟草长度和香烟燃烧速度的假设,有,下面分4步计算Q.,(1),(1)求q(x,0)=q(x),在t=0瞬间由烟雾携带的毒物单位时间内通过x处的数量q(x,0)。由假设(a)中关于vu的假定，可以认为香烟点燃处x=0静止不动。,为简单期间，记q(x,0)=q(x),考察一段香烟。毒物通过和的流量分别是。因此，根据能量守恒定律，有,其中是烟雾穿过所需的时间。令，得微分方程,在x=0处点燃的香烟单位时间内放出的毒物量记作，根据假设(a),(b)和(d)可以写出上述方程的初始条件为,(3),(2),由上述微分方程及初始条件，先解出再利用在处的连续性确定,其结果为,(4),由,及(3)式,(2)求q(l,t),在香烟燃烧过程的任意时刻t,求毒物单位时间内通过的数量q(l,t)。,因为在时刻t香烟燃烧至处,记此时点燃的香烟单位时间放出的毒物量为,则,与第一步完全相同的分析和计算，可得,因此,(5),(6),(7),(3)求w(ut,t),考察t内毒物密度的增量,(单位长度烟雾毒物被吸收部分),因为在吸烟过程中未点燃的烟草不断的吸收烟雾中的毒物，所以毒物在烟草中的密度w(x,t)由初始值逐渐增加。考察烟草截面x处时间内毒物密度的增量,根据能量守恒定律,有,令,将第二步中的结果带入上式,有,解上述微分方程初值问题,得,(8),(9),4)计算Q,Q吸一支烟毒物进入人体总量,将(9)式代入(7)式,可得,再将(10)式代入(1)式,作积分可得,(11),(10),为了便于分析,记,代入(11)式,则,(12)、(13)式是我们最终得到的结果,表示了吸入毒物量与等诸因素之间的数量关系。,(12),(13),结果分析,Q与烟草中含毒物的总量M、毒物随烟雾沿着香烟穿行的比例a成正比，aM是毒物集中在x=l处的吸入量。,过滤嘴因素，体现了过滤嘴减少毒物进入人体的作用；,l2负指数作用，能过对Q起到负指数衰减的效果，并且和l2在数量上增加一定比例时起的作用相同。降低烟雾穿行速度v也可以较少Q。,烟草为什么有作用?,(r)烟草的吸收作用,设想将毒物M集中在x=l1处，则是毒物集中在x=l1处的吸入量。,(r)表示的是由于未点燃烟草对毒物的吸收而起到的较少Q的作用。虽然被吸收的毒物还要被点燃，随烟雾沿着香烟穿行而部分进入人体，但是因为烟草中毒物的密度w(x,t)越来越高，所以按照固定比例跑到空气中的毒物增加，相应地减少进入人体的毒物量。,b,l1线性作用,根据实际资料，将(12)式中的中的取Taylor展开式的前3项，可得,由此可知，提高烟草吸收率b和增加长度l1(香烟中的毒物量不变)对减少Q的作用是线性的，与和l2的负指数衰减作用相比，效果要小得多。,为了更清楚的了解过滤嘴的作用，不妨比较两支香烟，一支是上述模型讨论的，另一支长度为l，不带过滤嘴，参数w0,b,a,v与第一支相同，并且吸至x=l1处扔掉。吸第一支香烟和第二支香烟进入人体的毒物量分别记作，则,带过滤嘴,不带过滤嘴,所以。,由此可得,这说明过滤嘴是起作用的。并且，提高吸收率之差b与加长过滤嘴长度l2对于降低比例的效果相同。不过，提高需要研制新材料，将更困难一些。,香烟过滤嘴的作用,在基本合理的简化假设下，用精确的数学工具解决一个看来不易下手的实际问题.,引入两个基本函数：流量q(x,t)和密度w(x,t)，运用物理学的守恒定律建立微分方程，构造动态模型.,对求解结果进行定性和定量分析，得到合乎实际的结论.,例1（理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。,从图3-1中不难看出，小球所受的合力为mgsin，根据牛顿第二定律可得：,这是理想单摆应满足的运动方程,（3.1）是一个两阶非线性方程，不易求解。当很小时，sin，此时，可考察（3.1）的近似线性方程：,由此即可得出,（3.1）的近似方程,6其他实例,例2我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为60哩，潜水艇最大航速为30节而巡逻艇最大航速为60节，问巡逻艇应如何追赶潜水艇。,这一问题属于对策问题，较为复杂。讨论以下简单情形：,敌潜艇发现自己目标已暴露后，立即下潜，并沿着直线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。,设巡逻艇在A处发现位于B处的潜水艇，取极坐标，以B为极点，BA为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为r=r()，见图3-2。,由题意，故ds=2dr,图3-2可看出，,故有:,先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离然后按（3.4）对数螺线航行，即可追上潜艇。,追赶方法如下：,例3一个半径为Rcm的半球形容器内开始时盛满了水，但由于其底部一个面积为Scm2的小孔在t=0时刻被打开，水被不断放出。问：容器中的水被放完总共需要多少时间？,解:以容器的底部O点为原点，取坐标系如图3.3所示。令h(t)为t时刻容器中水的高度，现建立h(t)满足的微分方程。,设水从小孔流出的速度为v(t)，由力学定律，在不计水的内部磨擦力和表面张力的假定下，有：,因体积守衡，又可得：,易见：,故有：,这是可分离变量的一阶微分方程，得,例4一根长度为l的金属杆被水平地夹在两端垂直的支架上，一端的温度恒为T1，另一端温度恒为T2，（T1、T2为常数，T1T2）。金属杆横截面积为A，截面的边界长度为B，它完全暴露在空气中，空气温度为T3，（T3T2，T3为常数），导热系数为，试求金属杆上的温度分布T(x)，（设金属杆的导热率为）,一般情况下，在同一截面上的各点处温度也不尽相同，如果这样来考虑问题，本题要建的数学模型当为一偏微分方程。,但由题意可以看出，因金属杆较细且金属杆导热系数又较大，为简便起见，不考虑这方面的差异，而建模求单变量函数T(x)。,热传导现象机理：当温差在一定范围内时，单位时间里由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量与两侧的温差成正比，比例系数与介质有关。,由泰勒公式：,金属杆的微元x,x+dx在dt内由获得热量为：,同时，微元向空气散发出的热量为：,系统处于热平衡状态，故有：,所以金属杆各处温度T(x)满足的微分方程:,这是一个两阶常系数线性方程，很容易求解,微分方程的概念,常微分方程,附录：,通解与特解,有解,例1求微分方程,的通解.,解分离变量得,两边积分,得,即,(C为任意常数),说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,(此式含分离变量时丢失的解y=0),例2解初值问题,解分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得C=1,(C为任意常数),故所求特解为,例3解初值问题,解,即,可化为变量分离方程的类型,例4求下述微分方程的通解:,解令,则,故有,即,解得,(C为任意常数),所求通解:,解法1,故有,积分,(C为任意常数),所求通解:,(试用适当的变量代换),解法2分离变量,即,(C0),例5,解：,分离变量并积分,即,特解,子的含量M成正比,求在,衰变过程中铀含量M(t)随时间t的变化规律.,解:根据题意,有,(初始条件),对方程分离变量,即,利用初始条件,得,故所求铀的变化规律为,然后积分:,已知t=0时铀的含量为,已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原,成正比,求,解:根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分:,得,利用初始条件,得,代入上式后化简,得特解,并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,t足够大时,可化为变量分离方程的类型,2.齐次方程,形如,的方程叫做齐次方程.,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(当C=0时,y=0也是方程的解),(C为任意常数),解微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在,求解过程中丢失了.,(h,k为待,可化为齐次方程的方程,作变换,原方程化为,令,解出h,k,(齐次方程),定常数),求出其解后,即得原方,程的解.,原方程可化为,令,(可分离变量方程),注:上述方法可适用于下述更一般的方程,求解,解:,令,得,再令YXu,得,令,积分得,代回原变量,得原方程的通解:,得C=1,故所求特解为,求解方程,解：,分离变量并积分得,由此求出通积分,一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若Q(x)0,称为非齐次方程.,1.解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程;,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2.解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,解方程,解:先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解.令,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,解微分方程,解：,代入微分方程可得,伯努利(Bernoulli)方程,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边,得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,解法:,(线性方程),解微分方程,解：,方程可改写为,内容小结,1.一阶线性方程,方法1先解齐次方程,再用常数变易法.,方法2用通解公式,化为线性方程求解.,2.伯努利方程,可降阶的二阶微分方程,不显含未知函数y的方程,通积分,求解一阶微分方程,解：,分离变量得,两边积分可得,即,分离变量并积分,解：,分离变量并积分得,分离变量并积分得,可降阶的二阶微分方程,降阶,通积分,解：,分离变量并积分可得,相应的通积分为,解：,再次用分离变量法,所求特解为,即,n阶,方程,二阶常系数非齐次线性方程,线性微分方程,常系数,二阶,常系数,齐次,线性,形如,二阶常系数线性微分方程,-特征方程法,将其代入方程,故有,特征根,二阶,设有解,得,特征方程,常系数,齐次,线性方程,二阶常系数齐次线性方程解法,其中r为待定常数.,两个线性无关的特解,有两个不相等的实根,特征方程,得齐次方程的通解为,设有解,其中r为待定常数.,有两个相等的实根,设,取,则,知,得齐次方程的通解为,设有解,其中r为待定常数.,有一对共轭复根,的两个线性无关的解.,设有解,其中r为待定常数.,叠加原理,重新组合,解:,特征方程,故所求通解为,特征根,解:,特征方程,故所求通解为,特征根,解初值问题,解:,特征方程,特征根,所以方程的通解为,(二重根),特解,特征方程,特征方程的根,通解中的对应项,n阶常系数齐次线性方程解法,若是k重根r,若是k重共轭复根,包含k个线性无关的解,包含2k个线性无关的解,注意,一个根都对应着通解中的一项,n次代数方程有n个根,而