2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题25分类讨论思想、转化与化归思想教学案理（含解析）

分类讨论思想、转化与化归思想【高考题型示例】题型一、概念、定理分类整合概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列an的前n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决.解决此问题可以分解为三个步骤：分类转化、依次求解、汇总结论.汇总结论就是对分类讨论的结果进行整合.例1.若一条直线过点(5，2)，且在x轴，y轴上截距相等，则这条直线的方程为()A.xy70B.2x5y0C.xy70或2x5y0D.xy70或2y5x0答案C解析设该直线在x轴，y轴上的截距均为a，当a0时，直线过原点，此时直线方程为yx，即2x5y0；当a0时，设直线方程为1，求得a7，则直线方程为xy70.例2. 已知Sn为数列an的前n项和，且Sn2an2，则S5S4的值为()A.8 B.10C.16 D.32答案D例3.已知集合A，Bx|mx10，mR，若ABB，则所有符合条件的实数m组成的集合是()A.0，1，2 B.C.1，2 D.答案A解析因为ABB，所以BA.若B为，则m0；若B，则m10或m10，解得m1或2.综上，m0，1，2.故选A.例4.设函数f(x)若f(1)f(a)2，则实数a的所有可能取值的集合是_.答案解析f(1)e01，即f(1)1.由f(1)f(a)2，得f(a)1.当a0时，f(a)1ea1，所以a1.当1a0时，f(a)sin(a2)1， 所以a22k(kZ)，所以a22k(kZ)，k只能取0，此时a2.因为1a0.若该曲线为椭圆，则有|PF1|PF2|6t2a，|F1F2|3t2c，e；若该曲线为双曲线，则有|PF1|PF2|2t2a，|F1F2|3t2c，e.综上，曲线C的离心率为或.例8.抛物线y24px(p0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为_.答案4解析当|PO|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当|OP|OF|时，点P的位置也有两个；对|FO|FP|的情形，点P不存在.事实上，F(p，0)，若设P(x，y)，则|FO|p，|FP|，若p，则有x22pxy20，又y24px，x22px0，解得x0或x2p，当x0时，不构成三角形.当x2p(p0)时，与点P在抛物线上矛盾.符合要求的点P有4个.题型三、含参问题分类整合某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等. 解决这类问题要根据解决问题需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全. 例9.已知实数a，x，a0且a1，则“ax1”的充要条件为()A.0a1，x1，x0C.(a1)x0 D.x0答案C解析由ax1知，axa0，当0a1时，x1时，x0.故“ax1”的充要条件为“(a1)x0”.例10.若函数f(x)ax24x3在0，2上有最大值f(2)，则实数a的取值范围为()A.(，1 B.1，)C.(，0) D.(0，)答案B 例11.设函数f(x)x2axa3，g(x)ax2a，若存在x0R，使得f(x0)0和g(x0)0同时成立，则实数a的取值范围为()A.(7，) B.(，2)(6，)C.(，2) D.(，2)(7，)答案A解析由f(x)x2axa3知，f(0)a3，f(1)4.又存在x0R，使得f(x0)0，解得a6.又g(x)ax2a的图象恒过点(2，0)，故当a6时，作出函数f(x)和g(x)的图象如图1所示，当a6时，若g(x0)0，则x02，要使f(x0)7.当a2时，若g(x0)2，此时函数f(x)x2axa3的图象的对称轴x1，故函数f(x)在区间上为增函数，又f(1)4，f(x0)0)的焦点F，作一直线交抛物线于P，Q两点.若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则等于()A.2a B.C.4a D.答案C解析抛物线yax2(a0)的标准方程为x2y(a0)，焦点F. 过焦点F作直线垂直于y轴，则|PF|QF|，4a.例3.已知函数f(x)(a3)xax3在1，1上的最小值为3，则实数a的取值范围是()A.(，1 B.12，)C.1，12 D.答案D例4.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则_.答案 解析令abc，则ABC为等边三角形，且cos Acos C，代入所求式子，得.五、命题的等价转化将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决.一般包括数与形的转化，正与反的转化，常量与变量的转化，图形形体及位置的转化.例5.由命题“存在x0R，使m0”是假命题，得m的取值范围是(，a)，则实数a的值是()A.(，1) B.(，2)C.1 D.2答案C解析命题“存在x0R，使m0”是假命题，可知它的否定形式“任意xR，e|x1|m0”是真命题，可得m的取值范围是(，1)，而(，a)与(，1)为同一区间，故a1.例6.如图所示，已知三棱锥PABC，PABC2，PBAC10，PCAB2，则三棱锥PABC的体积为()A.40 B.80C.160 D.240答案C解析因为三棱锥PABC的三组对棱两两相等，则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥PABC补成一个长方体AEBGFPDC，可知三棱锥PABC的各棱分别是此长方体的面对角线.不妨令PEx，EBy，EAz，则由已知，可得解得从而知VPABCVAEBGFPDCVPAEBVCABGVBPDCVAFPCVAEBGFPDC4VPAEB681046810160.例7.对于满足0p4的所有实数p，使不等式x2px4xp3成立的x的取值范围是_.答案(，1)(3，)解析设f(p)(x1)px24x3，则当x1时，f(p)0，所以x1.f(p)在0，4上恒为正等价于即解得x3或x0，则实数a的取值范围是_.答案(2，)解析根据题意，得x21在2，)上恒成立，即ax23x在2，)上恒成立，又当x2时，(x23x)max2，所以a2.例10.在平面直角坐标系xOy中，A(12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2y250上，若20，则点P的横坐标的取值范围是_.答案5，1解析方法一因为点P在圆O：x2y250上，所以设P点坐标为(x，)(5x5).因为A(12，0)，B(0，6)，所以(12x，)或(12x，)，(x，6)或(x，6).因为20，先取P(x，)进行计算，所以(12x)(x)()(6)20，即2x5.当2x50，即x时，上式恒成立.当2x50，即x时，(2x5)250x2，解得x1，故x1.同理可得P(x，)时，x5.又5x5，所以5x1.故点P的横坐标的取值范围为5，1.方法二设P(x，y)，则(12x，y)，(x，6y).20，(12x)(x)(y)(6y)20，即2xy50.如图，作圆O：x2y250，直线2xy50与O交于E，F两点，P在圆O上且满足2xy50，点P在上.由得F点的横坐标为1，又D点的横坐标为5，P点的横坐标的取值范围为5，1.例11.已知函数f(x)x33ax1，g(x)f(x)ax5，其中f(x)是f(x)的导函数.对满足1a1的一切a的值，都有g(x)0，则实数x的取值范围为_.例12.已知函数f(x)ln x.若不等式mf(x)ax对所有m0，1，x都成立，则实数a的取值范围为_