2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题18圆锥曲线的综合问题（热点难点突破）理（含解析）

圆锥曲线的综合问题1已知椭圆1(ab0)的离心率e，左、右焦点分别为F1，F2，且F2与抛物线y24x的焦点重合(1)求椭圆的标准方程；(2)若过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交椭圆于A，C两点，且ACBD，求|AC|BD|的最小值解(1)抛物线y24x的焦点坐标为(1,0)，所以c1，又因为e，所以a，所以b22，所以椭圆的标准方程为1.(2)当直线BD的斜率k存在且k0时，直线BD的方程为yk(x1)，代入椭圆方程1，并化简得(3k22)x26k2x3k260.36k44(3k22)(3k26)48(k21)0恒成立设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|BD|x1x2|.由题意知AC的斜率为，所以|AC|.|AC|BD|4.当且仅当3k222k23，即k1时，上式取等号，故|AC|BD|的最小值为.当直线BD的斜率不存在或等于零时，可得|AC|BD|.综上，|AC|BD|的最小值为. 5已知椭圆C：1(ab0)的上顶点为点D，右焦点为F2(1,0)，延长DF2交椭圆C于点E，且满足|DF2|3|F2E|.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F2作与x轴不重合的直线l和椭圆C交于A，B两点，设椭圆C的左顶点为点H，且直线HA，HB分别与直线x3交于M，N两点，记直线F2M，F2N的斜率分别为k1，k2，则k1与k2之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由解(1)椭圆C的上顶点为D(0，b)，右焦点F2(1,0)，点E的坐标为(x，y)|DF2|3|F2E|，可得3，又(1，b)，(x1，y)，代入1，可得1，又a2b21，解得a22，b21，即椭圆C的标准方程为y21.yM.同理可得yN，M，N的坐标分别为，k1k2yMyN.k1与k2之积为定值，且该定值是.6已知平面上动点P到点F的距离与到直线x的距离之比为，记动点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)设M(m，n)是曲线E上的动点，直线l的方程为mxny1.设直线l与圆x2y21交于不同两点C，D，求|CD|的取值范围；求与动直线l恒相切的定椭圆E的方程，并探究：若M(m，n)是曲线：Ax2By21(AB0)上的动点，是否存在与直线l：mxny1恒相切的定曲线？若存在，直接写出曲线的方程；若不存在，说明理由解(1)设P(x，y)，由题意，得.整理，得y21，曲线E的方程为y21.(2)圆心到直线l的距离d，直线与圆有两个不同交点C，D，|CD|24.又n21(m0)，|CD|24.|m|2，0m24，01.|CD|2(0，3，|CD|，即|CD|的取值范围为.当m0，n1时，直线l的方程为y1；当m2，n0时，直线l的方程为x.根据椭圆对称性，猜想E的方程为4x2y21.下面证明：直线mxny1(n0)与4x2y21相切，其中n21，即m24n24.由消去y得(m24n2)x22mx1n20，即4x22mx1n20，4m21640恒成立，从而直线mxny1与椭圆E：4x2y21恒相切若点M是曲线：Ax2By21上的动点，则直线l：mxny1与定曲线：1恒相切7. 已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F2(1,0)，点B在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：yk(x4)(k0)与椭圆C由左至右依次交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出定直线的方程解析：(1)由F2(1,0)，知c1，由题意得所以a2，b，所以椭圆C的方程为1.(2)因为yk(x4)，所以直线l过定点(4,0)，由椭圆的对称性知点G在直线xx0上当直线l过椭圆C的上顶点时，M(0，)，所以直线l的斜率k，由得或所以N，由(1)知A1(2,0)，A2(2,0)，所以直线lA1M的方程为y(x2)，直线lA2N的方程为y(x2)，所以G，所以G在直线x1上当直线l不过椭圆C的上顶点时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(34k2)x232k2x64k2120， 所以(32k2)24(34k2)(64k212)0，得k，x1x2，x1x2，易得直线lA1M的方程为y(x2)，直线lA2N的方程为y(x2)，当x1时，得2x1x25(x1x2)80，所以0显然成立，所以G在直线x1上8已知平面直角坐标系内两定点A(2，0)，B(2，0)及动点C(x，y)，ABC的两边AC，BC所在直线的斜率之积为. (1)求动点C的轨迹E的方程；(2)设P是y轴上的一点，若(1)中轨迹E上存在两点M，N使得2，求以AP为直径的圆的面积的取值范围解析：(1)由已知，kACkBC，即，所以3x24y224，又三点构成三角形，所以y0， 所以点C的轨迹E的方程为1(y0)(2)设点P的坐标为(0，t)当直线MN的斜率不存在时，可得M，N分别是短轴的两端点，得到t.当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为