2019届高考数学（理）二轮复习专题透析课件和讲义专题3　数列

专题3数列一、等差数列1.等差数列的通项公式是什么?如何表示等差数列中任意两项的关系?an=a1+(n-1)d;an=am+(n-m)d.2.等差数列的前n项和公式是什么?它具有什么特点?Sn=na1+d.等差数列的前n项和为关于n的二次函数,且没有常数项.二、等比数列1.等比数列的通项公式是什么?如何表示等比数列中任意两项的关系?an=a1qn-1;an=amqn-m.2.等比数列的前n项和公式是什么?具有什么特点?易忽略点是什么?Sn=当q1时,Sn=-qn,qn的系数与常数项互为相反数.应用等比数列前n项和公式时,应先讨论公式中的公比q是否等于1.3.等差数列的单调性与什么有关?等比数列呢?等差数列的单调性只取决于公差d的正负,而等比数列的单调性既要考虑公比q的取值,又要考虑首项a1的正负.4.等差中项、等比中项的概念是什么?由此可以得到哪些重要的性质?等差中项:若a,M,b成等差数列,则M为a,b的等差中项,且M=.重要性质:已知数列an是等差数列,(1)若m,n,p,qN*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq.(2)an=S2n-1.等比中项:若a,M,b成等比数列,则M为a,b的等比中项,且M2=ab.重要性质:已知数列an是等比数列,若m,n,p,qN*,且m+n=p+q,则aman=ap aq.三、数列求和列举数列求和的方法,各自的注意点是什么?(1)公式法求和:要熟练掌握一些常见数列的前n项和公式.(2)分组求和法:分组求和法是解决通项公式可以写成cn=an+bn形式的数列求和问题的方法,其中an与bn是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列.(3)裂项相消法:将数列的通项公式分成两个代数式子的差,即an=f(n+1)-f(n)的形式,然后通过累加抵消中间若干项的求和方法.形如(其中an是公差d0且各项均不为0的等差数列,c为常数)的数列等.用裂项相消法求和时易认为只剩下首尾两项.用裂项相消法求和时要注意所裂式与原式的等价性.附:常见的裂项公式(其中nN*).=-.=.=.=-.=.(4)错位相减法:形如anbn(其中an为等差数列,bn为等比数列)的数列求和,一般分三步:巧拆分;构差式;求和.用错位相减法求和时易漏掉减数式的最后一项.(5)倒序求和法:距首尾两端等距离的两项和相等,可以用此法.一般步骤:求通项公式;定和值;倒序相加;求和;回顾反思.从近三年的高考全国卷试题来看,数列一直是高考的热点,数列部分的题型、难度和分值都保持稳定,考查的重点主要是等差数列及其前n项和、等比数列及其前n项和、数列的通项、数列的前n项和等知识.考查内容比较全面,解题时要注意基本运算、基本能力的运用,同时注意函数与方程、转化与化归等数学思想的应用.一、选择题和填空题的命题特点等差(比)数列的基本运算:a1,an,Sn,n,d(q)这五个量中已知其中的三个量,求另外两个量.已知数列的递推关系式以及某些项,求数列的通项公式和前n项和等.1.(2018全国卷理T4改编)记Sn为等差数列an的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则S5=().A.-20B.-10C.10D.20解析设数列an的公差为d,由题意可得3=2a1+d+4a1+d,解得d=-a1.因为a1=2,所以d=-3,所以S5=52+(-3)=-20,故选A.答案A2.(2018全国卷理T14改编)记Sn为数列an的前n项和.若Sn=2an+1,则a6=.解析当n2时,Sn-1=2an-1+1,所以Sn-Sn-1=2(an-an-1),即an=2an-1.又a1=S1=2a1+1,所以a1=-10,所以数列an是以-1为首项,2为公比的等比数列,所以an=-2n-1,a6=-26-1=-32.答案-32二、解答题的命题特点等差(比)数列的基本运算:a1,an,Sn,n,d(q)这五个量中已知其中的三个量,求另外两个量.已知数列的递推关系式以及某些项,求数列的通项公式.已知等差(比)数列的某些项或前几项的和,求其通项公式.等差(比)数列的判断与证明以及等差数列前n项和的最值问题等.1.(2018全国卷文T17改编)已知数列an满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=.(1)证明数列bn是等比数列,并求an的通项公式.(2)求数列an的前n项和Sn.解析(1)由已知条件可得=,即bn+1=2bn.又b1=1,所以bn是首项为1,公比为2的等比数列.所以bn=2n-1,所以an=n2n-1.(2)由(1)可得Sn=a1+a2+an=120+221+322+n2n-1,所以2Sn=121+222+323+n2n,两式相减得-Sn=1+21+22+23+2n-1-n2n=-n2n=2n-1-n2n,所以Sn=(n-1)2n+1.2.(2018全国卷理、文T17改编)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,a1+a2+a3=-15.(1)求an,Sn;(2)求数列|an|的前n项和Tn.解析(1)设数列an的公差为d,由题意得解得d=2,所以an=2n-9,Sn=n2-8n.(2)当1n4(nN*)时,an0,所以Tn=|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|an|=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+an)=-S4+(Sn-S4)=Sn-2S4=n2-8n+32.综上所述,Tn=3.(2018全国卷理、文T17改编)在正项等比数列an中,a1=1,a5=4a3.(1)求an的通项公式;(2)记Sn为an的前n项和,证明:an=.解析(1)设数列an的公比为q(q0),由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2(舍去)或q=2.故an=2n-1.(2)因为an=2n-1,所以Sn=2n-1,所以=2n-1=an.1.等差数列和等比数列的判断方法:判断等差数列和等比数列,可以先计算特殊的几项,观察其特征,然后归纳出等差数列或者等比数列的结论.证明等差数列和等比数列,应该首先考虑其通项公式,利用定义或者等差中项、等比中项来证明.利用通项公式和前n项和公式只是作为判断方法,而不是证明方法.把对数列特征的判定渗透在解题过程中,可以帮助学生拓展思维和理清思路.2.数列通项的求法:(1)公式法:等差数列通项公式;等比数列通项公式. (2)已知Sn(即a1+a2+an=f(n)求an,用作差法:an=(3)已知a1a2an=f(n)求an,用作商法:an=(4)已知an+1-an=f(n)求an,用累加法:an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1(n2,nN*).(5)已知=f(n)求an,用累乘法:an=a1(n2,nN*).(6)已知递推关系式求an,用构