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文档简介
5.5哈密顿正则方程,1,2,5.5.1勒让德变换,广义动量,(2),定义另外一个函数,称为哈密顿函数,其中的要用(3)代换。,哈密顿函数的定义式,3,5.5.1勒让德变换,哈密顿函数的物理含义,若L不显含t,则,对于稳定约束系统,H即系统总能量,对于不稳定约束系统,H是广义能量,4,5.5.1勒让德变换,勒让德变换的规则,以上从到的变换称为勒让德变换。,5,5.5.2正则方程,正则方程的推导,(1),(2),6,5.5.2正则方程,正则方程的推导,(3),(3)(4)比较可得哈密顿正则方程,以及,若L不显含t,则H也不显含t.,7,5.5.2正则方程,相空间,s个广义坐标,和s个广义动量,统称为正则变量,它们作为相互独立的变量,张开一个2s维空间,称为相空间。,相空间的一点,代表系统可能存在的一个状态,称为相点。,随时间变化,相点在相空间移动,划出一条曲线,代表系统状态的演化路径。,8,5.5.3能量积分与循环积分,能量积分,9,5.5.3能量积分与循环积分,循环积分,若H不显含某个广义坐标,则根据正则方程可得:,即相应的广义动量守恒。,注:这里的能量积分与循环积分,与从拉氏函数得到的能量积分和循环积分,结果是一样的。,10,例题1,5.5哈密顿正则方程,解:以平衡位置(即弹簧原长位置)为原点,建立一维x轴。,动能,势能,拉氏函数,广义动量,11,例题1,5.5哈密顿正则方程,哈密顿函数,(1)(2)联立可得,即一维弹簧振子的运动微分方程,12,例题2,5.5哈密顿正则方程,解:采用球坐标描述,质点的速度,拉氏函数,广义动量,位矢,13,例题2,5.5哈密顿正则方程,14,例题2,5.5哈密顿正则方程,另一方面计算可得,可见(10)代表沿z方向的动量矩守恒。,但是z轴的方向是任意选择的,故沿任何方向都有动量矩守恒,从而系统动量矩守恒,即,分析:一、动量矩守恒,15,例题2,5.5哈密顿正则方程,分析:二、平面运动,现在选择一个特殊的z轴方向:使初速度v0躺在z轴和初位矢r0所确定的平面内。,(10),则根据(10)式,可得初始时刻,以及后面任意时刻,都有,这意味着质点将始终保持在z轴和初位矢r0所确定的平面内运动。,z轴就是平面极坐标的极轴。,16,例题2,5.5哈密顿正则方程,分析:三、简化正则方程,17,例题2,5.5哈密顿正则方程,分析:四、最终的运动微分方程,即在垂直于运动平面方向上的动
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