八年级下册数学人教版17.1 第1课时 勾股定理

正多边形和圆（1）,第十七章第一节勾股定理,1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.（重点）2.会用勾股定理进行简单的计算.（难点）,勾股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这关系，下面让我们一起来通过视频来了解吧：,情景引入,讲授新课,我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰直角三角形砖铺成的地面（如图）：,问题1试问正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？,一直角边2,另一直角边2,斜边2,+,=,问题2图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？,问题3在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：,这两幅图中A,B的面积都好求，该怎样求C的面积呢？,10,（1）观察右边两幅图：,（2）填表（每个小正方形的面积为单位1）：,49,169,？,？,探究,方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：,左图：,右图：,方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：,左图：,右图：,你还有其他办法求C的面积吗？,根据前面求出的C的面积直接填出下表：,4,13,25,9,16,9,思考正方形A、B、C所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？,命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.,由上面的几个例子，我们猜想：,下面动图形象的说明命题1的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.,a,b,b,c,a,b,c,a,证法1让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧.,a,b,c,S大正方形c2，,S小正方形(b-a)2,S大正方形4S三角形S小正方形，,赵爽弦图,b-a,证明：,“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.,a2+b2+2ab=c2+2ab，,a2+b2=c2.,证明：S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=4S直角三角形+S小正方形=4ab+c2=c2+2ab，,证法2毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.,在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.,如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.,勾股定理,a,b,c,归纳总结,1.成立条件：在直角三角形中；,2.公式变形:,3.作用：已知直角三角形任意两边长，求第三边长.,（注意：哪条边是斜边）,例1如图，在RtABC中，C=90.,（1）若a=b=5,求c;,（2）若a=1,c=2,求b.,(2)在RtABC中，据勾股定理得,（1）若a：b=1：2，c=5,求a;,（2）若b=15，A=30,求a,c.,【变式题1】在RtABC中，C=90.,x2+(2x)2=52，,解得,(2),因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得,(2x)2-x2=152，,解得,已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.,【变式题2】在RtABC中，AB4，AC3，求BC的长.,解：本题斜边不确定，需分类讨论：当AB为斜边时，如图，当BC为斜边时，如图，,图,图,当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.,例2已知ACB=90,CDAB,AC=3,BC=4.求CD的长.,解：ACB=90，由勾股定理可得AB2=AC2+BC2=25，即AB=5.根据三角形面积公式，ACBC=ABCD.CD=.,由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用,练一练,求下列图中未知数x、y的值：,解：由勾股定理可得81+144=x2，解得x=15.,解：由勾股定理可得y2+144=169，解得y=5,当堂练习,1.下列说法中,正确的是（）A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在RtABC中，C=90,所以a2+b2=c2D.在RtABC中，B=90,所以a2+b2=c2,C,2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为.,36cm,3.在ABC中，C=90.（1）若a=15，b=8，则c=.（2）若c=13，b=12，则a=.4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_.,17,5,74或24,5.求斜边长17cm、一条直角边长15cm的直角三角形的面积.,解：设另一条直角边长是xcm.由勾股定理得152+x2=172，即x2=172-152=289225=64，x=8（负值舍去），另一直角边长为8cm，,直角三角形的面积是,(cm2).,6.如图，在ABC中，ADBC，B=45，C=30，AD=1，求ABC的周长,解：ADBC，ADB=ADC=90在RtADB中，B+BAD=90，B=45，B=BAD=45，BD=AD=1，AB=在RtADC中，C=30，AC=2AD=2，CD=，BC=BD+CD=