含参变量反常积分_第1页
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2含参量反常积分,本节研究形如,的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积性。下面只对无穷限积分讨论，无界函数的情况可类似处理。,都收敛,则它的值是在区间上取值的函数,表为,对于含参量反常积分和函数,则称含参量反常积分在上一致收敛于.,一致收敛的柯西准则:,含参量反常积分在上一致收敛的充要,一致收敛的充要条件;,含参量反常积分在上一致收敛的充要,条件是:对任一趋于的递增数列(其中),函数项级数在一致收敛.,魏尔斯特拉斯M判别法:,设有函数,使得,魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法,若,一致收敛。,证明,因为收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西准则，有,且收敛，则关于,从而,魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法,若,一致收敛。,证明,因为收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西准则，有,且收敛，则关于,从而,例1在内一致收敛,解,因为,而积分收敛，,所以在内一致收敛,狄利克雷判别法;,阿贝耳判别法:,二、一致收敛积分的性质,1.连续性定理,因为在内一致收敛，所以,证明,因此，当时，,设在上连续，关于在上一致收敛，则一元函数在上连续。,又在上连续，所以作为的函数在连续，于是,从而，当时，有,定理证毕。,2.积分顺序交换定理,设在上连续，关于在上一致收敛，则在可积，并且,3.积分号下求导的定理,设在上连续，收敛，关于在上一致收敛，则,在可导，且,证明,因为在连续，由连续性定理,在连续，,沿区间积分，由积分顺序交换定理，得到,在上式两端对求导，得,定理证毕。,连续性,即:,可微性,可微性定理表明在定理条件下,求导运算和积分运算,可以交换.即,可积性,含参量反常积分在上一致收敛.,证明反常积分在上一致收敛.,证明含参量反常积分,在上一致收敛.,在上一致收敛.,证明含参量反常积分,在上一致收敛.,例4证明,证（1）用分段处理的方法.,因为,例4计算积分,解,例5利用积分号下求导求积分,解因为,因为,故,由数学归纳法易证,于是,例6计算积分,解,令,在第二项积分中令,得,故,(2),含参量反常积分一致收敛的定义;,(1),含参量反常积分的定义;,(3),含参量反常积分一致收敛的判别;,一致收敛的柯西准则:,一致收敛的充要条件;,魏尔斯特拉斯M判别法;,阿贝耳判别法;,狄利克雷判
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