建筑力学-高职轴向拉伸及压缩

主要内容：杆件在轴向拉压时的内力、应力和变形；材料在拉压时的力学性能；轴向拉压杆的强度计算；连接件的强度计算。,第五章轴向拉伸及压缩,5.1工程实例与计算简图,轴向拉伸或压缩杆件的工程实例,(a)桁架中的杆件(b)斜拉桥中的拉索(c)闸门启闭机中的螺杆,承受轴向拉伸或压缩的杆件称为拉(压)杆。实际拉压杆的几何形状和外力作用方式各不相同，若将它们加以简化，则都可抽象成以下的计算简图。其受力特点是外力或外力合力的作用线与杆件的轴线重合；变形特征是沿轴线方向的伸长或缩短，同时横向尺寸也发生变化。,5.2轴力与轴力图5.2.1轴力,用截面法求图(a)所示拉杆任一横截面mm上的内力。根据均匀连续性假设，横截面mm上将有连续分布的内力，称为分布内力，内力用来代表分布内力的合力(力或力偶)。,列平衡方程求内力FN：X0FNF0FNF内力FN的作用线与杆轴线重合，故FN称为轴力。,取杆件右段为研究对象，同样可得：FNF为了使同一截面上的轴力符号相同，规定轴力的正负号为：当轴力的方向与横截面的外法线方向一致时，杆件受拉伸长时，轴力为正；反之，杆件受压缩短时，轴力为负。在计算轴力时，通常假设未知轴力为正。,5.2.2轴力图,工程中常有一些杆件，受到多个轴向外力作用时，不同横截面上的轴力将不相同。为了表明轴力随横截面位置的变化规律，以平行于杆轴的坐标表示横截面的位置，垂直于杆轴的坐标（按适当的比例）表示相应截面上的轴力数值，绘出轴力与横截面位置关系的图线，称为轴力图，也称FN图。通常将正的轴力画在上方，负的画在下方。,【例5.1】拉压杆如图所示，求横截面1-1、2-2、3-3上的轴力，并绘制轴力图。,【解】1）求支座反力。由X0FD1kN2）用截面法求横截面11、22、33上的轴力。FN12kN，FN25kN，FN3FD1kN。,3）根据各段轴力值绘出FN图。由图可知，BC段各横截面上的轴力最大，最大轴力FNmax=5kN。这种内力较大的截面称为危险截面，如右图中BC段上的横截面。,轴力图一般应与受力图对正。在图上应标注内力的数值及单位，在图框内均匀地画出垂直于横轴的纵坐标线，并标明正负号。当杆竖直放置时，正负值可分别画在杆的任一侧，并标明正负号。,5.3拉压杆的应力,拉压杆中横截面的变化：,平面假设：假设拉压杆在变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面。,根据平面假设和均匀连续性假设，可以认为拉压杆横截面上的正应力s是均匀分布的，即等于常量。,轴力FN与正应力的关系可以表示为：FNA（A为横截面面积）或,上式是拉压杆横截面上正应力的计算公式。正应力的正负号规定和轴力FN相同，拉应力为正，压应力为负。,圣维南原理作用于杆件上的轴向外力一般是外力系的静力等效力系，在外力作用点附近的应力比较复杂，并非均匀分布。静力等效替换对原力系作用区域附近的应力分布有显著影响，但对稍远处的应力分布影响很小，可以忽略。杆的最大正应力杆的各横截面上正应力的最大值。,【例5.2】一正方形截面的砖柱（压杆有时也称为柱）如图所示，F50kN。求砖柱的最大正应力。,【解】用截面法求上、下两段横截面上的轴力：FN150kN，FN2150kN分别计算上、下段横截面上的应力：,最大正应力max1.1MPa（压），发生在柱子下段各横截面上，这种应力较大的点称为危险点。,5.4拉压杆的变形,杆件在轴向拉伸或压缩时，所产生的主要变形是沿轴线方向的伸长或缩短，称为纵向变形；伴随着纵向变形，垂直于杆轴方向的横向尺寸也会缩小或增大，称为横向变形。,5.4.1纵向变形,拉压杆的原长为l，在轴向外力F的作用下，长度变为l1，则杆的纵向变形l为：ll1l对于拉杆，l为正值，表示纵向伸长图(a)；对于压杆，l为负值，表示纵向缩短图(b)。,纵向变形l是杆在纵向的总变形量，与杆的原长有关。根据平面假设，可以认为拉、压杆各段的变形都是均匀的，则单位长度上的纵向变形为：,称为纵向线应变，是一个量纲为1的量。拉伸时0，称为拉应变；压缩时0，称为压应变。实验表明，当杆的变形为弹性变形时，杆的纵向变形l与外力F及杆的原长l成正比，而与杆的横截面面积A成反比，即：引进比例常数E，则有：,由于横截面上的轴力FNF，l的表达式可改写为：,上式也称为胡克定律。式中的比例常数E称为材料的弹性模量；EA称为杆的拉压刚度，表示单位长度的杆产生单位长度的变形所需的力，代表杆件抵抗拉伸（压缩）变形的能力。,因：、，故上式可改写为第四章式（4.4）的形式：=E（教材p.66）,弹性模量E是衡量材料抵抗弹性变形能力的指标，单位与应力的单位相同。其数值可由实验测定，下表是一些常用材料的弹性模量的约值。,5.4.2横向变形,设拉、压杆在变形前、后的横向尺寸分别为d和d1，则其横向变形d为：dd1d则横向线应变为：对于拉杆，d与都为负；对于压杆，d与都为正。,当杆的变形为弹性变形时，横向线应变与纵向线应变的绝对值之比是一个常数。此比值称为泊松比或横向变形系数，用表示，即：,是一个量纲为1的量，其数值随材料而异，可以通过试验测定。弹性模量E和泊松比都是材料固有的弹性常数，由于与正负号总是相反，可得横向线应变与纵向线应变或正应力的关系表达式：,【例5.3】一木方柱受轴向荷载作用，横截面边长a200mm，材料的弹性模量E10GPa，杆的自重不计。求各段柱的纵向线应变及柱的总变形。,【解】由于上下两段柱的轴力不等，故两段柱的变形要分别计算。各段柱的轴力和纵向变形为:FNAB100kNFNBC260kN,各段柱的纵向线应变为：,全柱的总变形为两段的变形之和，即：l=lAB+lBC=0.5mm0.975mm=1.475mm,【例5.4】一直径d10mm的圆截面杆，在轴向拉力F作用下，直径减小0.0021mm，设材料的弹性模量E210GPa，泊松比0.3，求轴向拉力F。,【解】由杆的直径缩小量，计算杆的横向线应变：,杆的纵向线应变为：,根据胡克定律，可得横截面上的正应力为：,=E=210109Pa710-4=147106Pa=147MPa,5.5材料在拉压时的力学性能,材料的力学性能是材料在外力作用下其强度和变形等方面表现出来的性质，它是构件强度计算及材料选用的重要依据。材料的力学性能由试验测定。下面主要以工程中广泛使用的低碳钢（含碳量0.25)和铸铁为例，介绍材料在常温、静载（荷载从零缓慢地增加到标定值）时的拉压力学性能。,5.5.1材料在拉伸时的力学性能,1、低碳钢在拉伸时的力学性能为了便于比较不同材料的试验结果，必须将试验材料按照国家标准制成标准试件。金属材料常用的拉伸试件中部工作段的直径为d0，工作段的长度为l0，称为标距，且l0=10d0或l0=5d0。,将试件装在试验机中，缓慢平稳地加载至试件被拉断。在受拉过程中，随着拉力F的增加，,试件的伸长量l也会增加。用直角坐标系的横坐标表示变形l，纵坐标表示拉力F，可以画出l与F之间的关系曲线，称为拉伸曲线或F-l曲线。右图为Q235钢的拉伸曲线。,拉伸曲线受试件几何尺寸的影响，不能直接反映材料的力学性能。为了消除试件尺寸的影响，使试验结果能反映材料的性能，将拉力F除以试件的原横截,面积A0，得到应力=F/A0作为纵坐标，将标距的伸长量l除以标距原有长度l0，得到应变=l/l0作为横坐标，这样就得到一条应力与应变之间的关系曲线，称为应力-应变曲线或-曲线。,（1）低碳钢拉伸过程的四个阶段1）弹性阶段（OB段）在这个阶段内卸除荷载，则杆件的变形完全消失，即发生的是弹性变形。弹性阶段的应力最高值（B点处的应力值）称为弹性极限，用e表示。,在此阶段内，OA段为直线，应力与应变成线性关系，符合胡克定律，直线OA的斜率即为材料的弹性模量E（E=tan）。对应于点A的应力，是应力与应变成比例关系的最大值，称为比例极限，用p表示。比例极限与弹性极限非常接近，实际应用中常认为两者相等。,2）屈服阶段（BC段）此阶段内应力-应变曲线上下波动，应力基本保持不变而应变急剧增加，材料暂时失去了抵抗变形的能,力，这种现象称为屈服或流动。在屈服阶段中，对应于应力-应变曲线首次下降后的最低点应力值称为屈服下限。通常，屈服下限值较稳定，一般将其作为材料的屈服极限，用s表示。如：Q235钢的屈服极限s=235MPa。,如果试件表面经过磨光，屈服时试件表面会出现一些与试件轴线成45的条纹(如图)称为滑移线，这是由于材料内部晶格之间产生相对滑移而形成的。,材料屈服时产生显著的塑性变形，这是构件正常工作所不允许的，因此屈服极限s是衡量材料强度的重要指标。,3）强化阶段（CD段）这个阶段内，应力-应变曲线又开始逐渐上升，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使它继续发生变形必须增加外力，这种现象称为材料的强化。这一阶段称为强化阶段。强化阶段曲线最高点D所对应的应力值称为强度极限或抗拉强度，用b表示，Q235钢的强度极限b400MPa。,4）颈缩阶段（DE段）在应力达到抗拉强度之前，沿试件的长度变形是均匀的。当应力达到强度极限b后，试件的变形开始集中于某一局部区域内，横截面面积出现局部迅速收缩，这种现象称为颈缩现象。由于局部截面的收缩，试件继续变形所需拉力逐渐减小，直至在曲线的E点，试件被拉断。故DE段称为颈缩阶段。,试件拉断后，弹性应变（O3O4）恢复，塑性应变(O3O)永远残留。试件工作段的长度由l0伸长到l，断口处的横截面面积由A0缩减到A。通常用它们的相对残余变形来衡量材料的塑性性能。工程中反映材料塑性性能的两个指标是：,延伸率：断面收缩率：,Q235钢的延伸率=20%30%，断面收缩率=60%70。工程中常把5的材料称为塑性材料，如碳钢、黄铜、铝合金等；而把5的材料称为脆性材料，如铸铁、陶瓷、玻璃、混凝土等。,（2）冷作硬化在拉伸试验过程中，当应力达到强化阶段任一点G时，逐渐卸除荷载，应力-应变曲线将沿着与OA近乎平行的直线O1G回到O1点。O1O2这部分弹性应变消失，而OO1这部分塑性应变则永远残留。如果重新加载，则应力-应变曲线将大致沿着O1GDE的曲线变化。,因此，重新加载后材料的比例极限提高了，而断裂后的塑性应变减少了OO1。,这种在常温下将钢材拉伸超过屈服阶段，卸载后再重新加载时，比例极限p提高而塑性变形降低的现象称为材料的冷作硬化。在工程实际中常利用冷作硬化提高材料的强度。例如冷拉后的钢筋比例极限提高了，可以节约钢材的用量，降低结构造价。但是由于冷作硬化后材料的塑性降低，有些时候则要避免或设法消除冷作硬化。,2、其他塑性材料在拉伸时的力学性能,右图所示几种塑性材料的应力-应变曲线中，除了16Mn钢与低碳钢的应力-应变曲线比较相似外，一些材料（如铝合金）没有明显的屈服阶段，但它们的弹性阶段、强化阶段和颈缩阶段则都比较明显；另外一些材料（如MnV钢）则只有弹性阶段和强化阶段而没有屈服阶段和颈缩阶段。,3、铸铁等脆性材料在拉伸时的力学性能,铸铁工程中广泛应用的一种材料。用铸铁标准拉伸试件进行试验，得到铸铁拉伸时的应力-应变曲线，可以看出，它没有明显的直线段，应力与应变不成正比关系。,在工程计算中通常以产生0.1%的总应变所对应的曲线的割线斜率来表示材料的弹性模量，即：E=tan,5.5.2材料在压缩时的力学性能,1、塑性材料在压缩时的力学性能金属材料的压缩试件一般采用圆柱形的短试件，试件高度与截面直径的比值为1.53。,低碳钢压缩时的应力-应变曲线如图所示，低碳钢拉伸与压缩的应力-应变曲线基本重合。因此，低碳钢压缩时的弹性模量、屈服极限s都与拉伸试验的结果基本相同。,由于横截面不断增大，要继续产生压缩变形，就要进一步增加压力，因此由=F/A0得出的-曲线呈上翘趋势。由此可见，低碳钢压缩时的一些性能指标，可通过拉伸试验测出，而不必再作压缩试验。一般塑性材料都存在上述情况。但有些塑性材料压缩与拉伸时的屈服极限不同。如铬钢、硅合金钢，因此对这些材料还要测定其压缩时的屈服极限。,2、脆性材料在压缩时的力学性能铸铁受压破坏时不同于拉伸时沿横截面，而是沿与轴线约成4555的斜截面破坏，这说明铸铁的压缩破坏是由于超过了材料的抗剪能力而造成的。,混凝土是由水泥、石子、沙子三种材料用水拌和经过凝固硬化后而成的人工石料。图示为混凝土拉、压时的应力-应变曲线，由图可知混凝土的抗压强度为抗拉强度的10倍左右。,混凝土压缩时，破坏形式与端部摩擦有关。图（a）是立方体试块端部未加润滑剂时的破坏情况。图（b）则由于加润滑剂后的破坏情况。两种破坏形式所对应的抗压强度不同，后者破坏荷载较小。工程中统一规定采用两端不加润滑剂的试验结果，来确定材料的抗压强度。,由于铸铁、混凝土等脆性材料的抗压强度比抗拉强度高，宜用于制作承压构件。如底座、桥墩、基础等。,5.5.3材料在拉压时力学性能的主要参数,1、强度指标通过拉压试验，可以测出反映材料强度的两个指标，即屈服极限和强度极限。对低碳钢等塑性材料，当应力达到屈服极限s（0.2）时，会产生显著的塑性变形，影响构件正常工作；而对铸铁等脆性材料，当应力达到抗拉强度b或抗压强度c时，会发生断裂，丧失工作能力。工程中将塑性材料的屈服极限s(0.2)和脆性材料的抗拉强度b（抗压强度c）统称为极限应力，用0表示，即：塑性材料：0=s或0=0.2脆性材料：0=b或0=c,2、塑性指标通过拉压试验，可以测出反映材料塑性性能的两个指标，即延伸率和断面收缩率。5%的材料为塑性材料，5%的材料为脆性材料。Q235钢的延伸率=20%30%，是典型的塑性材料。而铸铁的延伸率=0.4%0.5%，是典型的脆性材料。,塑性材料和脆性材料力学性能的主要区别1）塑性材料的延伸率大，塑性好；脆性材料的延伸率小，塑性差。塑性材料适宜制作需进行锻压、冷拉或受冲击荷载、动力荷载的构件，而脆性材料则不宜。2）塑性材料在屈服阶段前抗拉压能力基本相同，使用范围广。受拉构件一般采用塑性材料；脆性材料抗压能力远大于抗拉能力，且价格低廉又便于就地取材，所以适宜制作受压构件。材料的上述划分是以常温、静载和简单拉伸为前提条件。,3、弹性常数通过拉压试验可以测出弹性模量E和泊松比；通过扭转试验可以测出切变模量G。对线弹性材料，三个弹性常数之间有如下的关系：,5.5.4安全因数、许用应力,构件工作时构件内的最大应力称为最大工作应力。由拉压试验可知，构件内的最大工作应力达到极限应力0时，构件就会发生断裂破坏或丧失工作能力。这在工程实际中是不允许的。要使构件能安全正常地工作，通常要求构件内最大工作应力小于极限应力0。也就是要求塑性材料的最大工作应力小于屈服极限s（或0.2），脆性材料的最大工作应力小于强度极限b（或c）。,为了确保结构的安全，除了极限应力还要考虑以下因素的影响：1）计算简图与实际结构之间存在着差异。计算简图不能精确反映实际结构的工作情况，计算公式和结果是近似的。2）材料的不均匀性。由少量材料制作试件而测定的力学性能并不能完全真实地反映构件所用材料的力学性能。,3）荷载值的偏差。设计时荷载的估计和计算不精确，不能完全反映结构的实际受力情况。4）构件需要有必要的强度储备。构件在工作期间应保证在遇到意外的超载情况或其它不利的工作条件（如温度变化、腐蚀），以及施工质量问题，地震作用和国防上的需要时也不致发生破坏。在意外因素相同的情况下，对因破坏造成严重后果的构件或工作条件恶劣的构件，强度储备要大一些，反之则可小些。,由于这些原因，要保证构件能安全、正常地工作，将材料的极限应力除以一个大于1的因数n，作为构件最大工作应力所不允许超过的数值，这个应力值称为许用应力，用表示，=0/n对于塑性材料：=s/ns或=0.2/ns对于脆性材料：=b/nb或=c/nb式中：ns和nb塑性材料和脆性材料的安全因数。,安全因数的选取关系到构件的安全与经济，安全因数取值过大，会使加大构件尺寸，浪费材料；取值过小，会影响构件的安全性。因此安全因数的选取原则是：在保证构件安全可靠的前提下，尽可能减小安全因数来提高许用应力。一般情况下，各工业部门都有自己的安全因数规范供设计人员查用。如无规范，则对塑性材料一般取ns=1.41.7，对脆性材料一般取nb=2.55。,5.6拉压杆的强度计算,要保证拉压杆不致因强度不足而破坏，应使杆的最大正应力max不超过材料的许用应力，即：max这就是拉（压）杆的强度条件。对于等直杆，由于：,强度条件可写为：,根据强度条件，可以解决三种不同类型的强度计算问题：1）强度校核。已知杆的材料、尺寸和承受的荷载（即已知、A和FNmax），要求校核杆的强度是否足够。此时只要检查下式是否成立。,2）设计截面尺寸。已知杆的材料、承受的荷载（即已知、F），要求确定横截面面积或尺寸。为此，可将强度条件改写为：,据此可算出所需横截面面积。根据已知的横截面形状，再确定横截面尺寸。当采用工程中规定的标准截面时，可能需要选用过大截面来满足强度条件。为经济起见，此时可以选用小一号的截面，但由此而引起的杆的最大正应力超过许用应力的百分数一般限制在5%以内，即：,3）确定许用荷载。已知杆的材料和尺寸（即已知和A），要求确定杆所能承受的最大荷载。为此，可将强度条件改写为：FNmaxA由上式先计算出杆所能承受的最大轴力，再由荷载与轴力的关系，计算出杆所能承受的最大荷载。,【例5.5】图示三铰屋架的拉杆采用16锰圆钢，直径d=20mm。已知材料的许用应力=200MPa，试校核钢拉杆的强度。,【解】三铰屋架的计算简图如图所示。,1）求支座反力。取整个屋架为研究对象，利用对称性，得：,2）求拉杆的轴力。取半个屋架为研究对象画受力图：由平衡方程：,得：FN=57.1kN,4）校核拉杆的强度。因为max182MPa200MPa所以钢拉杆的强度是足够的。,3）求拉杆的最大正应力。钢拉杆是等直杆，横截面上的轴力相同，杆的最大正应力为：,【例5.6】图示钢桁架的所有各杆都是由两个等边角钢组成。已知角钢的材料为Q235钢，其许用应力170MPa，试为杆EH选择所需角钢的型号。,【解】1）求支座反力。取整个桁架为研究对象，由对称性，得:FAFBF220kN,2）求杆EH的轴力。假想用截面m-m将桁架截开，取左边部分为研究对象，列平衡方程：MC03mFNEH4mF0得：,3）计算杆EH的横截面积。,4）选择等边角钢的型号。工程中常用的型钢标准截面见p.250附录。等边角钢是型钢的一种，它的型号用边长的厘米数表示，在设计图上常用边长和厚度的毫米数来表示，例如符号807表示8号角钢，其边长为80mm，厚度为7mm。由型钢规格表查得，厚度为6mm的7.5号等边角钢的横截面面积为8.79710mm2879.7mm2，用两根7.5号等边角钢组成的杆的横截面面积为879.7mm221759.4mm2，稍大于1720mm2。因此，杆EF选用756。,【例5.7】如图所示三角形托架，AB为钢杆，其横截面面积为A1=400mm2，许用应力=170MPa；BC为木杆，其横截面面积为A2=10000mm2，许用压应力为C10MPa。求荷载F的最大值Fmax。,【解】1）求两杆的轴力与荷载的关系。取结点B为研究对象受力如图，列平衡方程:,Y=0FN2sin30F=0,得：,（压力）,X=0FN2cos30FN1=0,得：,（拉力）,BC杆的许用轴力为:许用荷载为:,为了保证两杆都能安全地工作，荷载F的最大值为:Fmax39.3kN,2）计算许用荷载。AB杆的许用轴力为:所以对于AB杆，许用荷载为:,【例5.8】图示一等直杆，其顶部受轴向荷载F的作用。已知杆的长度为l，横截面面积为A，材料的容重为，许用应力为，试写出考虑杆自重时的强度条件。,【解】杆的自重可看作沿轴线均匀分布的荷载图(a)。用截面法图(b)，求任一横截面m-m上的轴力：FN(x)(FAx),负号表示轴力为压力。画出杆的轴力图图(c)。根部横截面上的最大轴力为:FNmaxFAl（压）杆的强度条件为:,或,若有一定数量的值，则自重对强度的影响应加以考虑。,由此例可知，当考虑杆的自重时，相当于材料的许用应力减小了l。若，则自重对杆的影响很小，可以忽略；,当考虑杆的自重时，如果按杆根部横截面上的正应力max来设计截面，把杆制成等直杆，那么只有根部横截面上的应力达到材料的许用应力，其他横截面上的应力都比小，会造成材料的浪费。为了合理地利用材料，应使杆的每一横截面上的应力都等于材料的许用应力，这样设计的杆称为等强度杆图(a)。由于等强度杆的制作过程复杂而且昂贵，在工程中常采用与等强度杆相近的阶梯形杆图(b)或截锥形杆图(c)。,由于构件截面尺寸突然改变而引起的局部应力增大的现象，称为应力集中。如：开有圆孔和带有切口的板条图(a、d)，在受拉时，横跨圆孔或切口的截面上，靠近圆孔或切口的局部区域内，应力很大，而在离开这一区域稍远处，应力就小得多，且趋于均匀分布图(b、e)。在离圆孔或切口稍远的截面上，应力是均匀分布的图(c)。,5.7应力集中的概念,5.8连接件的强度计算,工程中的构件，常采用铆钉、螺栓、销轴以及键等部件进行连接。这种起连接作用的部件称为连接件。连接件在工作中主要承受剪切和挤压作用。由于连接件大多